Espacio de Teichmüller

Parametriza estructuras complejas en una superficie.

En matemáticas , el espacio de Teichmüller de una superficie topológica (o diferencial) (real) es un espacio que parametriza estructuras complejas hasta la acción de homeomorfismos que son isotópicos al homeomorfismo identidad . Los espacios de Teichmüller reciben su nombre de Oswald Teichmüller . ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Cada punto en un espacio de Teichmüller puede considerarse como una clase de isomorfismo de superficies de Riemann "marcadas" , donde una "marca" es una clase de isotopía de homeomorfismos de a sí mismo. Puede verse como un espacio de módulos para la estructura hiperbólica marcada en la superficie, y esto le otorga una topología natural para la cual es homeomorfo a una bola de dimensión para una superficie de género . De esta manera, el espacio de Teichmüller puede verse como el orbifold de recubrimiento universal del espacio de módulos de Riemann . ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

El espacio de Teichmüller tiene una estructura de variedad compleja canónica y una gran cantidad de métricas naturales . El estudio de las características geométricas de estas diversas estructuras es un cuerpo de investigación activo.

El subcampo de las matemáticas que estudia el espacio de Teichmüller se llama teoría de Teichmüller .

Historia

Los espacios de módulos para superficies de Riemann y grupos fuchsianos relacionados se han estudiado desde el trabajo de Bernhard Riemann (1826-1866), quien sabía que se necesitaban parámetros para describir las variaciones de estructuras complejas en una superficie de género . El estudio temprano del espacio de Teichmüller, a fines del siglo XIX y principios del XX, fue geométrico y se basó en la interpretación de las superficies de Riemann como superficies hiperbólicas. Entre los principales contribuyentes se encontraban Felix Klein , Henri Poincaré , Paul Koebe , Jakob Nielsen , Robert Fricke y Werner Fenchel . ${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

La principal contribución de Teichmüller al estudio de los módulos fue la introducción de las aplicaciones cuasiconformales en el tema. Éstas permiten dar mucha más profundidad al estudio de los espacios de módulos al dotarlo de características adicionales que no estaban presentes en los trabajos previos, más elementales. Después de la Segunda Guerra Mundial, el tema fue desarrollado más en esta línea analítica, en particular por Lars Ahlfors y Lipman Bers . La teoría continúa vigente, con numerosos estudios de la estructura compleja del espacio de Teichmüller (introducido por Bers).

La línea geométrica en el estudio del espacio de Teichmüller fue revivida a partir del trabajo de William Thurston a finales de los años 1970, quien introdujo una compactificación geométrica que utilizó en su estudio del grupo de clases de aplicación de una superficie. Otros objetos más combinatorios asociados a este grupo (en particular el complejo de curvas ) también se han relacionado con el espacio de Teichmüller, y este es un tema de investigación muy activo en la teoría de grupos geométricos .

Definiciones

Espacio de Teichmüller a partir de estructuras complejas

Sea una superficie lisa orientable (una variedad diferenciable de dimensión 2). De manera informal, el espacio de Teichmüller de es el espacio de estructuras superficiales de Riemann hasta la isotopía . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Formalmente se puede definir de la siguiente manera. Se dice que dos estructuras complejas son equivalentes si existe un difeomorfismo tal que: ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (S)}$

• Es holomórfica (la diferencial es lineal compleja en cada punto, para las estructuras en la fuente y en el destino); ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• es isotópico a la identidad de (existe un mapa continuo tal que ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \operatorname {Diff} (S)}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f,\gamma (1)=\mathrm {Id} }$

Entonces el espacio de clases de equivalencia de estructuras complejas está en para esta relación. ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$

Otra definición equivalente es la siguiente: es el espacio de pares donde es una superficie de Riemann y un difeomorfismo, y dos pares se consideran equivalentes si es isotópico a un difeomorfismo holomorfo. Tal par se llama superficie de Riemann marcada ; la marca es el difeomorfismo; otra definición de marcas es por sistemas de curvas. ^[1] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:S\to X}$ ${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$ ${\displaystyle h\circ g^{-1}:X\to Y}$

Hay dos ejemplos simples que se calculan inmediatamente a partir del teorema de uniformización : hay una única estructura compleja en la esfera (ver esfera de Riemann ) y hay dos en (el plano complejo y el disco unidad) y en cada caso el grupo de difeomorfismos positivos es contráctil . Por lo tanto, el espacio de Teichmüller de es un solo punto y el de contiene exactamente dos puntos. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un ejemplo un poco más complejo es el anillo abierto , para el cual el espacio de Teichmüller es el intervalo (la estructura compleja asociada a él es la superficie de Riemann ). ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\lambda <|z|<\lambda ^{-1}\}}$

El espacio de Teichmüller del toro y las métricas planas

El siguiente ejemplo es el toro. En este caso, cualquier estructura compleja se puede realizar mediante una superficie de Riemann de la forma (una curva elíptica compleja ) para un número complejo donde ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\},}$

es el semiplano superior complejo. Entonces tenemos una biyección: ^[2]

${\displaystyle \mathbb {H} \longrightarrow T(\mathbb {T} ^{2})}$

${\displaystyle \tau \longmapsto (\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} ),(x,y)\mapsto x+\tau y)}$

y por lo tanto el espacio de Teichmüller de es ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

Si nos identificamos con el plano euclidiano entonces cada punto en el espacio de Teichmüller también puede ser visto como una estructura plana marcada en Por lo tanto, el espacio de Teichmüller está en biyección con el conjunto de pares donde es una superficie plana y es un difeomorfismo hasta la isotopía en . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}.}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:\mathbb {T} ^{2}\to M}$ ${\displaystyle f}$

Superficies de tipo finito

Estas son las superficies para las que se estudia con más frecuencia el espacio de Teichmüller, que incluyen superficies cerradas. Una superficie es de tipo finito si es difeomorfa a una superficie compacta menos un conjunto finito. Si es una superficie cerrada de género , entonces la superficie obtenida al eliminar puntos de se denota generalmente y su espacio de Teichmüller por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{g,k}}$ ${\displaystyle T_{g,k}.}$

Espacios de Teichmüller y métricas hiperbólicas

Toda superficie orientable de tipo finito distinta de las anteriores admite métricas riemannianas completas de curvatura constante . Para una superficie dada de tipo finito existe una biyección entre tales métricas y estructuras complejas como se desprende del teorema de uniformización . Así, si el espacio de Teichmüller puede realizarse como el conjunto de superficies hiperbólicas marcadas de género con cúspides , es decir, el conjunto de pares donde es una superficie hiperbólica y es un difeomorfismo, módulo la relación de equivalencia donde y se identifican si es isotópico a una isometría. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 2g-2+k>0}$ ${\displaystyle T_{g,k}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:S\to M}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle (N,g)}$ ${\displaystyle f\circ g^{-1}}$

La topología en el espacio de Teichmüller

En todos los casos calculados anteriormente existe una topología obvia en el espacio de Teichmüller. En el caso general, hay muchas formas naturales de topología , tal vez la más simple sea mediante métricas hiperbólicas y funciones de longitud. ${\displaystyle T(S)}$

Si es una curva cerrada en y una superficie hiperbólica marcada, entonces se es homotópico con una geodésica cerrada única en (hasta la parametrización). El valor en de la función de longitud asociada a (la clase de homotopía de) es entonces: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=(M,f)}$ ${\displaystyle f_{*}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ell _{\alpha }(x)=\operatorname {Length} (\alpha _{x}).}$

Sea el conjunto de curvas cerradas simples en . Entonces el mapa ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle T(S)\to \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}}$

${\displaystyle x\mapsto \left(\ell _{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in {\mathcal {S}}}}$

es una incrustación. El espacio tiene la topología de producto y está dotado de la topología inducida . Con esta topología es homeomorfa a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle T(S_{g,k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6g-6+2k}.}$

De hecho, se puede obtener una incrustación con curvas, ^[3] e incluso [ ^4] En ambos casos se puede utilizar la incrustación para dar una prueba geométrica del homeomorfismo anterior. ${\displaystyle 9g-9}$ ${\displaystyle 6g-5+2k}$

Más ejemplos de pequeños espacios de Teichmüller

Hay una única métrica hiperbólica completa de volumen finito en la esfera de tres agujeros ^[5] y, por lo tanto, el espacio de Teichmüller de métricas completas de volumen finito de curvatura constante es un punto (esto también se desprende de la fórmula de dimensión del párrafo anterior). ${\displaystyle T(S_{0,3})}$

Los espacios de Teichmüller se realizan naturalmente como el semiplano superior, como se puede ver utilizando las coordenadas de Fenchel-Nielsen. ${\displaystyle T(S_{0,4})}$ ${\displaystyle T(S_{1,1})}$

Espacio de Teichmüller y estructuras conformes

En lugar de estructuras complejas de métricas hiperbólicas, se puede definir el espacio de Teichmüller utilizando estructuras conformes . De hecho, las estructuras conformes son lo mismo que las estructuras complejas en dos dimensiones (reales). ^[6] Además, el teorema de uniformización también implica que en cada clase conforme de métricas de Riemann sobre una superficie hay una métrica única de curvatura constante.

Los espacios de Teichmüller como espacios de representación

Otra interpretación del espacio de Teichmüller es como espacio de representación para grupos de superficies. Si es hiperbólico, de tipo finito y es el grupo fundamental de entonces el espacio de Teichmüller está en biyección natural con: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$

• El conjunto de representaciones inyectivas con imagen discreta, hasta conjugación por un elemento de , si es compacto ; ${\displaystyle \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S}$
• En general, el conjunto de tales representaciones, con la condición añadida de que aquellos elementos de los cuales están representados por curvas libremente homotópicas a una punción se envían a elementos parabólicos de , nuevamente hasta su conjugación por un elemento de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

El mapa envía una estructura hiperbólica marcada a la composición donde es la monodromía de la estructura hiperbólica y es el isomorfismo inducido por . ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle \rho \circ f_{*}}$ ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(M)\to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{*}:\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle f}$

Nótese que esto se realiza como un subconjunto cerrado del cual se le otorga una topología. Esto puede usarse para ver el homeomorfismo directamente. ^[7] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{2g+k-1}}$ ${\displaystyle T(S)\cong \mathbb {R} ^{6g-6+2k}}$

Esta interpretación del espacio de Teichmüller se generaliza mediante la teoría de Teichmüller superior, donde el grupo se reemplaza por un grupo de Lie semisimple arbitrario . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Una observación sobre las categorías

Todas las definiciones anteriores se pueden realizar en la categoría topológica en lugar de la categoría de variedades diferenciables, y esto no cambia los objetos.

Espacios de Teichmüller de dimensión infinita

Las superficies que no son de tipo finito también admiten estructuras hiperbólicas, que pueden ser parametrizadas por espacios de dimensión infinita (homeomorfos a ). Otro ejemplo de espacio de dimensión infinita relacionado con la teoría de Teichmüller es el espacio de Teichmüller de una laminación por superficies. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Acción del grupo de clases de mapeo y relación con el espacio de módulos

El mapa del espacio de módulos

Existe una función del espacio de Teichmüller al espacio de módulos de superficies de Riemann difeomorfas a , definidas por . Es una función de recubrimiento y, puesto que es simplemente conexa , es la función de recubrimiento universal orbifold para el espacio de módulos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,f)\mapsto X}$ ${\displaystyle T(S)}$

Acción del grupo de clases de mapeo

El grupo de clases de aplicación de es el grupo de clases laterales del grupo de difeomorfismos de por el subgrupo normal de aquellos que son isotópicos a la identidad (la misma definición se puede hacer con homeomorfismos en lugar de difeomorfismos y, para superficies, esto no cambia el grupo resultante). El grupo de difeomorfismos actúa naturalmente sobre el espacio de Teichmüller por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle MCG(S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle g\cdot (X,f)\mapsto (X,f\circ g^{-1}).}$

Si es una clase de aplicación y dos difeomorfismos que la representan, entonces son isotópicos. Por lo tanto, las clases de y son las mismas en el espacio de Teichmüller, y la acción anterior se factoriza a través del grupo de clases de aplicación. ${\displaystyle \gamma \in MCG(S)}$ ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle (X,f\circ g^{-1})}$ ${\displaystyle (X,f\circ h^{-1})}$

La acción del grupo de clases de mapeo sobre el espacio de Teichmüller es propiamente discontinua , y el cociente es el espacio de módulos. ${\displaystyle MCG(S)}$

Puntos fijos

El problema de realización de Nielsen plantea la pregunta de si cualquier subgrupo finito del grupo de clases de aplicación tiene un punto fijo global (un punto fijado por todos los elementos del grupo) en el espacio de Teichmüller. En términos más clásicos, la pregunta es: ¿puede cada subgrupo finito de realizarse como un grupo de isometrías de alguna métrica hiperbólica completa en (o equivalentemente como un grupo de difeomorfismos holomorfos de alguna estructura compleja)? Esto fue resuelto por Steven Kerckhoff . ^[10] ${\displaystyle MCG(S)}$ ${\displaystyle S}$

Coordenadas

Coordenadas de Fenchel-Nielsen

Las coordenadas de Fenchel–Nielsen (así llamadas en honor a Werner Fenchel y Jakob Nielsen ) en el espacio de Teichmüller están asociadas a una descomposición de la superficie en pants . Esta es una descomposición de en pares de pants , y a cada curva en la descomposición se le asocia su longitud en la métrica hiperbólica correspondiente al punto en el espacio de Teichmüller, y otro parámetro real llamado torsión que es más complicado de definir. ^[11] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

En el caso de una superficie cerrada de género, existen curvas en una descomposición de pants y obtenemos parámetros, cuya dimensión es . Las coordenadas de Fenchel–Nielsen definen de hecho un homeomorfismo . ^[12] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle T(S_{g})}$ ${\displaystyle T(S_{g})\to ]0,+\infty [^{3g-3}\times \mathbb {R} ^{3g-3}}$

En el caso de una superficie con perforaciones, algunos pantalones son "degenerados" (tienen una cúspide) y dan sólo dos parámetros de longitud y torsión. Nuevamente en este caso las coordenadas de Fenchel-Nielsen definen un homeomorfismo . ${\displaystyle T(S_{g,k})\to ]0,+\infty [^{3g-3+k}\times \mathbb {R} ^{3g-3+k}}$

Coordenadas de corte

Si la superficie admite triangulaciones ideales (cuyos vértices son exactamente los pinchazos). Por la fórmula de la característica de Euler, tal triangulación tiene triángulos. Una estructura hiperbólica en determina un difeomorfismo (único hasta la isotopía) que envía cada triángulo a un triángulo ideal hiperbólico , es decir, un punto en . Los parámetros para tal estructura son las longitudes de traslación para cada par de lados de los triángulos pegados en la triangulación. ^[13] Existen parámetros que pueden tomar cualquier valor en , y la completitud de la estructura corresponde a una ecuación lineal y, por lo tanto, obtenemos la dimensión correcta . Estas coordenadas se denominan coordenadas de corte . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle S=S_{g,k}}$ ${\displaystyle 4g-4+2k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle 6g-6+3k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 6g-6+2k}$

Para superficies cerradas, un par de pantalones se puede descomponer como la unión de dos triángulos ideales (se puede ver como una métrica hiperbólica incompleta en la esfera de tres agujeros ^[14] ). Por lo tanto, también obtenemos coordenadas de corte en . ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle T(S_{g})}$

Terremotos

Una trayectoria sísmica simple en el espacio de Teichmüller es una trayectoria determinada por la variación de una única coordenada de Fenchel-Nielsen de cizallamiento o longitud (para una triangulación ideal fija de una superficie). El nombre proviene de considerar los triángulos ideales o los pantalones como placas tectónicas y el cizallamiento como movimiento de las placas.

De manera más general, se pueden producir terremotos a lo largo de laminaciones geodésicas . Un teorema de Thurston establece que dos puntos en el espacio de Teichmüller están unidos por una única trayectoria sísmica.

Teoría analítica

Aplicaciones cuasiconformales

Una aplicación cuasiconforme entre dos superficies de Riemann es un homeomorfismo que deforma la estructura conforme de manera acotada sobre la superficie. Más precisamente, es diferenciable casi en todas partes y existe una constante , llamada dilatación , tal que ${\displaystyle K\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {|f_{z}|+|f_{\bar {z}}|}{|f_{z}|-|f_{\bar {z}}|}}\leq K}$

¿Dónde están las derivadas en una coordenada conforme y su conjugado ? ${\displaystyle f_{z},f_{\bar {z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Existen aplicaciones cuasiconformes en cada clase de isotopía, por lo que una definición alternativa para el espacio de Teichmüller es la siguiente. Fijemos una superficie de Riemann difeomorfa a , y el espacio de Teichmüller está en biyección natural con las superficies marcadas donde es una aplicación cuasiconforme, hasta la misma relación de equivalencia que la anterior. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (Y,g)}$ ${\displaystyle g:X\to Y}$

Diferenciales cuadráticos y la incrustación de Bers

Imagen de la incrustación de Bers del espacio de Teichmüller bidimensional de un toro perforado

Con la definición anterior, si hay una función natural del espacio de Teichmüller al espacio de soluciones -equivariantes de la ecuación diferencial de Beltrami. ^[15] Estas dan lugar, a través de la derivada de Schwarz, a diferenciales cuadráticas en . ^[16] El espacio de aquellas es un espacio complejo de dimensión compleja , y la imagen del espacio de Teichmüller es un conjunto abierto. ^[17] Esta función se denomina incrustación de Bers. ${\displaystyle X=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Una diferencial cuadrática en se puede representar mediante una superficie de traslación conforme a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Mapeos de Teichmüller

El teorema de Teichmüller ^[18] establece que entre dos superficies de Riemann marcadas y siempre hay una aplicación cuasiconforme única en cuya clase isotópica la dilatación es mínima. Esta aplicación se denomina aplicación de Teichmüller. ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle (Y,h)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle h\circ g^{-1}}$

En la imagen geométrica esto significa que por cada dos superficies de Riemann difeomórficas y difeomorfismo existen dos polígonos que representan y una función afín que envía una a la otra, que tiene la menor dilatación entre todas las funciones cuasiconformales . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$

Métrica

La métrica de Teichmüller

Si y la función de Teichmüller entre ellos tiene dilatación , entonces la distancia de Teichmüller entre ellos es por definición . Esto, de hecho, define una distancia en la que induce su topología y para la cual es completa. Esta es la métrica más comúnmente utilizada para el estudio de la geometría métrica del espacio de Teichmüller. En particular, es de interés para los teóricos de grupos geométricos. ${\displaystyle x,y\in T(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log K}$ ${\displaystyle T(S)}$

Hay una función definida de manera similar, que utiliza las constantes de Lipschitz de los mapas entre superficies hiperbólicas en lugar de las dilataciones cuasiconformales, en , que no es simétrica. ^[19] ${\displaystyle T(S)\times T(S)}$

La métrica de Weil-Petersson

Las diferenciales cuadráticas en una superficie de Riemann se identifican con el espacio cotangente en el espacio de Teichmüller. ^[20] La métrica de Weil-Petersson es la métrica de Riemann definida por el producto interno en diferenciales cuadráticas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Compactificaciones

Se han estudiado varias compactificaciones no equivalentes de los espacios de Teichmüller. Varias de las compactificaciones anteriores dependen de la elección de un punto en el espacio de Teichmüller, por lo que no son invariantes en el grupo modular, lo que puede resultar inconveniente. William Thurston encontró posteriormente una compactificación sin esta desventaja, que se ha convertido en la compactificación más utilizada.

Compactificación de Thurston

Al observar las longitudes hiperbólicas de curvas cerradas simples para cada punto en el espacio de Teichmüller y tomar el cierre en el espacio proyectivo (de dimensión infinita), Thurston (1988) introdujo una compactificación cuyos puntos en el infinito corresponden a laminaciones medidas proyectivas. El espacio compactificado es homeomorfo a una bola cerrada. Esta compactificación de Thurston es actuada continuamente por el grupo modular. En particular, cualquier elemento del grupo modular tiene un punto fijo en la compactificación de Thurston, que Thurston utilizó en su clasificación de elementos del grupo modular .

Compactación de Bers

La compactificación de Bers se obtiene tomando el cierre de la imagen de la incrustación de Bers del espacio de Teichmüller, estudiada por Bers (1970). La incrustación de Bers depende de la elección de un punto en el espacio de Teichmüller, por lo que no es invariante bajo el grupo modular y, de hecho, el grupo modular no actúa continuamente sobre la compactificación de Bers.

Compactificación de Teichmüller

Los "puntos en el infinito" en la compactificación de Teichmüller consisten en rayos geodésicos (para la métrica de Teichmüller) que comienzan en un punto base fijo. Esta compactificación depende de la elección del punto base, por lo que no es afectada por el grupo modular y, de hecho, Kerckhoff demostró que la acción del grupo modular sobre el espacio de Teichmüller no se extiende a una acción continua sobre esta compactificación.

Compactación de Gardiner-Masur

Gardiner y Masur (1991) consideraron una compactificación similar a la compactificación de Thurston, pero utilizando longitud extremal en lugar de longitud hiperbólica. El grupo modular actúa continuamente sobre esta compactificación, pero demostraron que su compactificación tiene estrictamente más puntos en el infinito.

Geometría a gran escala

Se han realizado amplios estudios sobre las propiedades geométricas del espacio de Teichmüller dotado de la métrica de Teichmüller. Entre las propiedades conocidas a gran escala se encuentran:

• El espacio de Teichmüller contiene subespacios planos de dimensión , y no hay planos incrustados cuasi-isométricamente de dimensiones superiores. ^[21] ${\displaystyle T(S_{g,k})}$ ${\displaystyle 3g-3+k}$
• En particular, si o entonces no es hiperbólico . ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle g=1,k>1}$ ${\displaystyle g=0,k>4}$ ${\displaystyle T(S_{g,k})}$

Por otra parte, el espacio de Teichmüller exhibe varias propiedades características de los espacios hiperbólicos, tales como:

• Algunas geodésicas se comportan como lo hacen en el espacio hiperbólico. ^[22]
• Los paseos aleatorios en el espacio de Teichmüller convergen casi con seguridad a un punto en el límite de Thurston. ^[23]

Algunas de estas características pueden explicarse mediante el estudio de los mapas del espacio de Teichmüller al complejo de curvas, que se sabe que es hiperbólico.

Geometría compleja

La incrustación de Bers proporciona una estructura compleja como un subconjunto abierto de ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3g-3}.}$

Métricas provenientes de la estructura compleja

Como el espacio de Teichmüller es una variedad compleja, lleva una métrica de Carathéodory . El espacio de Teichmüller es hiperbólico de Kobayashi y su métrica de Kobayashi coincide con la métrica de Teichmüller. ^[24] Este último resultado se utiliza en la prueba de Royden de que el grupo de clases de aplicación es el grupo completo de isometrías para la métrica de Teichmüller.

La incrustación de Bers realiza el espacio de Teichmüller como un dominio de holomorfía y, por lo tanto, también conlleva una métrica de Bergman .

Métricas de Kähler en el espacio de Teichmüller

La métrica de Weil-Petersson es de Kähler pero no es completa.

Cheng y Yau demostraron que existe una métrica de Kähler-Einstein completa única en el espacio de Teichmüller. ^[25] Tiene una curvatura escalar negativa constante.

El espacio de Teichmüller también lleva una métrica de Kähler completa de curvatura seccional acotada introducida por McMullen (2000) que es Kähler-hiperbólica.

Equivalencia de métricas

Con la excepción de la métrica incompleta de Weil-Petersson, todas las métricas del espacio de Teichmüller introducidas aquí son cuasi isométricas entre sí. ^[26]

Véase también

• Módulos de curvas algebraicas
• Teoría p-ádica de Teichmüller
• Teoría interuniversal de Teichmüller
• Forma modular de Teichmüller

Referencias

1. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 14.
2. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 13.
3. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 3.12.
4. Hamenstädt, Ursula (2003). "Funciones de longitud y parametrizaciones del espacio de Teichmüller para superficies con cúspides". Annales Acad. Scient. Fenn . 28 : 75–88.
5. Ratcliffe 2006, Teorema 9.8.8.
6. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 1.7.
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11. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 61.
12. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 3.10.
13. Thurston 1988, pág. 40.
14. Thurston 1988, pág. 42.
15. Ahlfors 2006, pág. 69.
16. Ahlfors 2006, pág. 71.
17. Ahlfors 2006, Capítulo VI.C.
18. Ahlfors 2006, pág. 96.
19. Thurston, William (1998) [1986], Mapas de estiramiento mínimos entre superficies hiperbólicas , arXiv : math/9801039 , Bibcode :1998math......1039T
20. Ahlfors 2006, Capítulo VI.D
21. Eskin, Alex ; Masur, Howard ; Rafi, Kasra (2017). "Rango a gran escala del espacio de Teichmüller". Duke Mathematical Journal . 166 (8): 1517–1572. arXiv : 1307.3733 . doi :10.1215/00127094-0000006X. S2CID  15393033.
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Fuentes

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• Gardiner, Frederic P.; Masur, Howard (1991), "Geometría de longitud extrema del espacio de Teichmüller", Complex Variables Theory Appl. , 16 (2–3): 209–237, doi :10.1080/17476939108814480, MR  1099913
• Imayoshi, Yôichi; Taniguchi, Masahiko (1992). Una introducción a los espacios de Teichmüller . Springer. pp. xiv+279. ISBN 978-4-431-70088-3.
• Kerckhoff, Steven P. (1983). "El problema de la realización de Nielsen". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 117 (2): 235–265. CiteSeerX  10.1.1.353.3593 . doi :10.2307/2007076. JSTOR  2007076. MR  0690845.
• McMullen, Curtis T. (2000), "El espacio de módulos de las superficies de Riemann es hiperbólico según Kähler", Annals of Mathematics , Segunda serie, 151 (1): 327–357, arXiv : math/0010022 , doi :10.2307/121120, JSTOR  121120, MR  1745010, S2CID  8032847
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edición . Springer. pp. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.
• Thurston, William P. (1988), "Sobre la geometría y dinámica de los difeomorfismos de superficies", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 19 (2): 417–431, doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15685-6 , MR  0956596

Lectura adicional

• Bers, Lipman (1981), "Espacios y generalizaciones de Teichmüller de dimensión finita", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 5 (2): 131–172, doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14933-8 , MR  0621883
• Gardiner, Frederick P. (1987), Teoría de Teichmüller y diferenciales cuadráticos, Pure and Applied Mathematics (Nueva York), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-84539-3, Sr.  0903027
• Hubbard, John Hamal (2006), Teoría de Teichmüller y aplicaciones a la geometría, la topología y la dinámica. Vol. 1, Matrix Editions, Ithaca, NY, ISBN 978-0-9715766-2-9, Sr.  2245223
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007–2016), Manual de teoría de Teichmüller. Vols. IV (PDF) , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 11, 13, 17, 19, 26, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR  2284826, S2CID  9203341El último volumen contiene traducciones de varios artículos de Teichmüller.
• Teichmüller, Oswald (1939), "Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale", Abh. Preuss. Akád. Wiss. Matemáticas.-Nat. kl. , 1939 (22): 197, JFM  66.1252.01, SEÑOR  0003242
• Teichmüller, Oswald (1982), Ahlfors, Lars V.; Gehring, Frederick W. (eds.), Gesammelte Abhandlungen, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-10899-3, Sr.  0649778
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Espacio de Teichmüller", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press