El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de simetrías del espacio-tiempo de la relatividad especial . Este grupo puede realizarse como una colección de matrices , transformaciones lineales u operadores unitarios en algún espacio de Hilbert ; tiene una variedad de representaciones . [nb 1] Este grupo es significativo porque la relatividad especial junto con la mecánica cuántica son las dos teorías físicas que están más completamente establecidas, [nb 2] y la conjunción de estas dos teorías es el estudio de las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Estas tienen importancia histórica en la física convencional, así como conexiones con teorías actuales más especulativas.
La teoría completa de las representaciones de dimensión finita del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se deduce utilizando el marco general de la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples . Las representaciones de dimensión finita del componente conexo del grupo de Lorentz completo O(3; 1) se obtienen empleando la correspondencia de Lie y la matriz exponencial . La teoría de representación de dimensión finita completa del grupo de recubrimiento universal (y también del grupo de espín , un recubrimiento doble) de se obtiene y se da explícitamente en términos de acción sobre un espacio de funciones en representaciones de SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} y s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Los representantes de la inversión temporal y la inversión espacial se dan en inversión espacial e inversión temporal, completando la teoría de dimensión finita para el grupo de Lorentz completo. Se describen las propiedades generales de las representaciones (m, n). Se considera la acción sobre espacios de funciones, con la acción sobre armónicos esféricos y las P-funciones de Riemann apareciendo como ejemplos. El caso de dimensión infinita de representaciones unitarias irreducibles se realiza para la serie principal y la serie complementaria . Finalmente, se da la fórmula de Plancherel para , y se clasifican y realizan representaciones de SO(3, 1) para álgebras de Lie.
El desarrollo de la teoría de la representación ha seguido históricamente el desarrollo de la teoría más general de la teoría de la representación de grupos semisimples , en gran parte debido a Élie Cartan y Hermann Weyl , pero el grupo de Lorentz también ha recibido especial atención debido a su importancia en la física. Los contribuyentes notables son el físico EP Wigner y el matemático Valentine Bargmann con su programa Bargmann-Wigner , [1] una conclusión de la cual es, aproximadamente, que una clasificación de todas las representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo equivale a una clasificación de todas las posibles ecuaciones de onda relativistas . [2] La clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz fue establecida por el estudiante de doctorado de Paul Dirac en física teórica, Harish-Chandra , más tarde convertido en matemático, [nb 3] en 1947. La clasificación correspondiente para fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Gelfand junto con Mark Naimark en el mismo año.
Muchas de las representaciones, tanto finitas como infinitas, son importantes en la física teórica. Las representaciones aparecen en la descripción de campos en la teoría clásica de campos , sobre todo el campo electromagnético , y de partículas en la mecánica cuántica relativista , así como de partículas y campos cuánticos en la teoría cuántica de campos y de varios objetos en la teoría de cuerdas y más allá. La teoría de la representación también proporciona la base teórica para el concepto de espín . La teoría entra en la relatividad general en el sentido de que en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, la física es la de la relatividad especial. [3]
Las representaciones no unitarias irreducibles de dimensión finita junto con las representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz no homogéneo , el grupo de Poincaré, son las representaciones que tienen relevancia física directa. [4] [5]
Las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz aparecen por restricción de las representaciones unitarias de dimensión infinita irreducibles del grupo de Poincaré que actúan sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos . Pero también son de interés matemático y de potencial relevancia física directa en otros roles que el de una mera restricción. [6] Hubo teorías especulativas, [7] [8] (los tensores y espinores tienen contrapartes infinitas en los expansores de Dirac y los expinores de Harish-Chandra) consistentes con la relatividad y la mecánica cuántica, pero no han encontrado ninguna aplicación física probada. Las teorías especulativas modernas potencialmente tienen ingredientes similares a los que se indican a continuación.
Aunque el campo electromagnético junto con el campo gravitacional son los únicos campos clásicos que proporcionan descripciones precisas de la naturaleza, otros tipos de campos clásicos también son importantes. En el enfoque de la teoría cuántica de campos (QFT) conocido como segunda cuantificación , el punto de partida es uno o más campos clásicos, donde, por ejemplo, las funciones de onda que resuelven la ecuación de Dirac se consideran campos clásicos antes de la (segunda) cuantificación. [9] Aunque la segunda cuantificación y el formalismo lagrangiano asociado a ella no es un aspecto fundamental de la QFT, [10] es el caso de que hasta ahora todas las teorías cuánticas de campos pueden abordarse de esta manera, incluido el modelo estándar . [11] En estos casos, existen versiones clásicas de las ecuaciones de campo que se derivan de las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas del lagrangiano utilizando el principio de mínima acción . Estas ecuaciones de campo deben ser relativísticamente invariantes, y sus soluciones (que calificarán como funciones de onda relativistas según la definición siguiente) deben transformarse bajo alguna representación del grupo de Lorentz.
La acción del grupo de Lorentz sobre el espacio de configuraciones de campo (una configuración de campo es la historia espaciotemporal de una solución particular, por ejemplo, el campo electromagnético en todo el espacio durante todo el tiempo es una configuración de campo) se asemeja a la acción sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica, excepto que los corchetes del conmutador se reemplazan por corchetes de Poisson teóricos de campo . [9]
Para los presentes propósitos se hace la siguiente definición: [12] Una función de onda relativista es un conjunto de n funciones ψ α en el espacio-tiempo que se transforma bajo una transformación arbitraria de Lorentz propia Λ como
donde D [Λ] es una matriz n -dimensional representativa de Λ perteneciente a alguna suma directa de las ( m , n ) representaciones que se presentarán a continuación.
Las teorías de una partícula de mecánica cuántica relativista más útiles (no existen teorías de este tipo completamente consistentes) son la ecuación de Klein-Gordon [13] y la ecuación de Dirac [14] en su configuración original. Son relativísticamente invariantes y sus soluciones se transforman bajo el grupo de Lorentz como escalares de Lorentz ( ( m , n ) = (0, 0) ) y bispinores ( (0, 1/2 ) ⊕ ( 1/2 , 0) ) respectivamente. El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, transformándose bajo (1, 0) ⊕ (0, 1) . [15]
Las representaciones de dimensión infinita se pueden utilizar en el análisis de la dispersión. [16]
En la teoría cuántica de campos , la exigencia de invariancia relativista entra, entre otras formas, en que la matriz S necesariamente debe ser invariante de Poincaré. [17] Esto tiene la implicación de que hay una o más representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz actuando sobre el espacio de Fock . [nb 4] Una forma de garantizar la existencia de tales representaciones es la existencia de una descripción lagrangiana (con modestos requisitos impuestos, ver la referencia) del sistema usando el formalismo canónico, de la cual se puede deducir una realización de los generadores del grupo de Lorentz. [18]
Las transformaciones de los operadores de campo ilustran el papel complementario desempeñado por las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz y las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré, lo que da testimonio de la profunda unidad entre las matemáticas y la física. [19] A modo de ilustración, considere la definición de un operador de campo de n componentes : [20] Un operador de campo relativista es un conjunto de funciones con valores de operador n en el espacio-tiempo que se transforma bajo transformaciones de Poincaré adecuadas (Λ, a ) de acuerdo con [21] [22]
Aquí U [Λ, a] es el operador unitario que representa (Λ, a) en el espacio de Hilbert en el que está definido Ψ y D es una representación n -dimensional del grupo de Lorentz. La regla de transformación es el segundo axioma de Wightman de la teoría cuántica de campos.
Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una única partícula con masa definida m y espín s (o helicidad), se deduce que [23] [nb 5]
donde a † , a se interpretan como operadores de creación y aniquilación respectivamente. El operador de creación a † se transforma según [23] [24]
y de manera similar para el operador de aniquilación. El punto a destacar es que el operador de campo se transforma de acuerdo con una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que el operador de creación se transforma bajo la representación unitaria de dimensión infinita del grupo de Poincaré caracterizado por la masa y el espín ( m , s ) de la partícula. La conexión entre los dos son las funciones de onda , también llamadas funciones de coeficientes.
que llevan tanto los índices ( x , α ) operados por transformaciones de Lorentz como los índices ( p , σ ) operados por transformaciones de Poincaré. Esto puede llamarse la conexión de Lorentz-Poincaré. [25] Para mostrar la conexión, someta ambos lados de la ecuación (X1) a una transformación de Lorentz que resulte en, por ejemplo , u ,
donde D es el grupo de Lorentz no unitario representante de Λ y D ( s ) es un representante unitario de la llamada rotación de Wigner R asociada a Λ y p que deriva de la representación del grupo de Poincaré, y s es el espín de la partícula.
Todas las fórmulas anteriores, incluyendo la definición del operador de campo en términos de operadores de creación y aniquilación, así como las ecuaciones diferenciales satisfechas por el operador de campo para una partícula con masa especificada, espín y la representación ( m , n ) bajo la cual se supone que se transforma, [nb 6] y también la de la función de onda, se pueden derivar únicamente de consideraciones teóricas de grupo una vez que se dan los marcos de la mecánica cuántica y la relatividad especial. [nb 7]
En las teorías en las que el espacio-tiempo puede tener más de D = 4 dimensiones, los grupos de Lorentz generalizados O( D − 1; 1) de la dimensión apropiada toman el lugar de O(3; 1) . [nb 8]
El requisito de la invariancia de Lorentz adquiere quizás su efecto más dramático en la teoría de cuerdas . Las cuerdas relativistas clásicas pueden manejarse en el marco lagrangiano utilizando la acción de Nambu-Goto . [26] Esto da como resultado una teoría relativista invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo. [27] Pero resulta que la teoría de cuerdas bosónicas abiertas y cerradas (la teoría de cuerdas más simple) es imposible de cuantificar de tal manera que el grupo de Lorentz esté representado en el espacio de estados (un espacio de Hilbert ) a menos que la dimensión del espacio-tiempo sea 26. [28] El resultado correspondiente para la teoría de supercuerdas se deduce nuevamente exigiendo la invariancia de Lorentz, pero ahora con supersimetría . En estas teorías, el álgebra de Poincaré se reemplaza por un álgebra de supersimetría que es un álgebra de Lie graduada en Z 2 que extiende el álgebra de Poincaré. La estructura de un álgebra de este tipo está determinada en gran medida por las exigencias de la invariancia de Lorentz. En particular, los operadores fermiónicos (grado 1 ) pertenecen a un (0, 1/2 ) o ( 1/2 , 0) espacio de representación del álgebra de Lie de Lorentz (ordinaria). [29] La única dimensión posible del espacio-tiempo en tales teorías es 10. [30]
La teoría de la representación de grupos en general, y de grupos de Lie en particular, es un tema muy rico. El grupo de Lorentz tiene algunas propiedades que lo hacen "agradable" y otras que lo hacen "poco agradable" dentro del contexto de la teoría de la representación; el grupo es simple y por lo tanto semisimple , pero no es conexo , y ninguno de sus componentes es simplemente conexo . Además, el grupo de Lorentz no es compacto . [31]
Para las representaciones de dimensión finita, la presencia de semisimplicidad significa que el grupo de Lorentz puede ser tratado de la misma manera que otros grupos semisimples usando una teoría bien desarrollada. Además, todas las representaciones se construyen a partir de las irreducibles , ya que el álgebra de Lie posee la propiedad de reducibilidad completa . [nb 9] [32] Pero, la no compacidad del grupo de Lorentz, en combinación con la falta de conectividad simple, no puede ser tratada en todos los aspectos como en el marco simple que se aplica a los grupos compactos simplemente conectados. La no compacidad implica, para un grupo de Lie simple conectado, que no existen representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. [33] La falta de conectividad simple da lugar a representaciones de espín del grupo. [34] La no conectividad significa que, para las representaciones del grupo de Lorentz completo, la inversión del tiempo y la inversión de la orientación espacial deben tratarse por separado. [35] [36]
El desarrollo de la teoría de representación de dimensión finita del grupo de Lorentz sigue en su mayor parte al de la teoría de representación en general. La teoría de Lie se originó con Sophus Lie en 1873. [37] [38] En 1888, la clasificación de álgebras de Lie simples fue esencialmente completada por Wilhelm Killing . [39] [40] En 1913, el teorema de mayor peso para representaciones de álgebras de Lie simples, el camino que se seguirá aquí, fue completado por Élie Cartan . [41] [42] Richard Brauer fue durante el período de 1935-38 en gran parte responsable del desarrollo de las matrices de Weyl-Brauer que describen cómo las representaciones de espín del álgebra de Lie de Lorentz pueden integrarse en las álgebras de Clifford . [43] [44] El grupo de Lorentz también ha recibido históricamente atención especial en la teoría de la representación, consulte Historia de las representaciones unitarias de dimensión infinita a continuación, debido a su importancia excepcional en la física. Los matemáticos Hermann Weyl [41] [45] [37] [46] [47] y Harish-Chandra [48] [49] y los físicos Eugene Wigner [50] [51] y Valentine Bargmann [52] [53] [54] hicieron contribuciones sustanciales tanto a la teoría de la representación general como en particular al grupo de Lorentz. [55] El físico Paul Dirac fue quizás el primero en unir manifiestamente todo en una aplicación práctica de gran importancia duradera con la ecuación de Dirac en 1928. [56] [57] [nb 10]
Esta sección aborda las representaciones lineales complejas irreducibles de la complejización del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Una base conveniente para está dada por los tres generadores J i de rotaciones y los tres generadores K i de impulsos . Se dan explícitamente en las convenciones y bases del álgebra de Lie.
El álgebra de Lie se complejiza y la base se cambia a los componentes de sus dos ideales [58]
Las componentes de A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) y B = ( B 1 , B 2 , B 3 ) satisfacen por separado las relaciones de conmutación del álgebra de Lie y, además, conmutan entre sí, [59]
donde i , j , k son índices que toman cada uno los valores 1, 2, 3 y ε ijk es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Sea y el intervalo lineal complejo de A y B respectivamente.
Se tienen los isomorfismos [60] [nb 11]
¿Dónde está la complejización de
La utilidad de estos isomorfismos proviene del hecho de que se conocen todas las representaciones irreducibles de , y por lo tanto todas las representaciones lineales complejas irreducibles de . La representación lineal compleja irreducible de es isomorfa a una de las representaciones de mayor peso . Estas se dan explícitamente en representaciones lineales complejas de s l ( 2 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}
El álgebra de Lie es el álgebra de Lie de Contiene el subgrupo compacto SU(2) × SU(2) con álgebra de Lie Esta última es una forma real compacta de Por lo tanto, a partir del primer enunciado del truco unitario, las representaciones de SU(2) × SU(2) están en correspondencia biunívoca con las representaciones holomorfas de
Por compacidad, el teorema de Peter-Weyl se aplica a SU(2) × SU(2) , [61] y, por lo tanto, se puede apelar a la ortonormalidad de los caracteres irreducibles . Las representaciones unitarias irreducibles de SU(2) × SU(2) son precisamente los productos tensoriales de las representaciones unitarias irreducibles de SU(2) . [62]
Apelando a la simple conexión, se aplica el segundo enunciado del truco unitario. Los objetos de la siguiente lista se corresponden uno a uno:
Los productos tensoriales de representaciones aparecen en el nivel del álgebra de Lie como cualquiera de los siguientes: [nb 12]
donde Id es el operador identidad. Aquí se pretende la última interpretación, que se desprende de (G6) . Las representaciones de mayor peso de están indexadas por μ para μ = 0, 1/2, 1, ... (Los pesos más altos son en realidad 2 μ = 0, 1, 2, ... , pero la notación aquí está adaptada a la de ) Los productos tensoriales de dos de estos factores lineales complejos forman entonces las representaciones lineales complejas irreducibles de
Finalmente, las representaciones -lineales de las formas reales de la extrema izquierda, , y de la extrema derecha, [nb 13] en (A1) se obtienen a partir de las representaciones -lineales de caracterizadas en el párrafo anterior.
Las representaciones lineales complejas de la complejización de obtenidas mediante isomorfismos en (A1) , se corresponden biunívocamente con las representaciones lineales reales de [63] El conjunto de todas las representaciones lineales irreducibles reales de están, por tanto, indexadas por un par ( μ , ν ) . Las lineales complejas, que corresponden precisamente a la complejización de las representaciones lineales reales, son de la forma ( μ , 0) , mientras que las lineales conjugadas son (0, ν ) . [63] Todas las demás son solo lineales reales. Las propiedades de linealidad se derivan de la inyección canónica, la extrema derecha en (A1) , de en su complejización. Las representaciones en la forma ( ν , ν ) o ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) están dadas por matrices reales (estas últimas no son irreducibles). Explícitamente, las representaciones lineales reales ( μ , ν ) de son donde son las representaciones irreducibles lineales complejas de y sus representaciones conjugadas complejas. (El etiquetado suele ser en la literatura matemática 0, 1, 2, ... , pero aquí se eligen semienteros para cumplir con el etiquetado del álgebra de Lie). Aquí el producto tensorial se interpreta en el sentido anterior de (A0) . Estas representaciones se realizan concretamente a continuación.
A través de los isomorfismos mostrados en (A1) y el conocimiento de las representaciones irreducibles lineales complejas de al resolver para J y K , se obtienen todas las representaciones irreducibles de y, por restricción, las de . Las representaciones de obtenidas de esta manera son lineales reales (y no lineales complejas o conjugadas) porque el álgebra no está cerrada tras la conjugación, pero siguen siendo irreducibles. [60] Dado que es semisimple , [60] todas sus representaciones pueden construirse como sumas directas de las irreducibles.
Así, las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lorentz se clasifican mediante un par ordenado de semienteros m = μ y n = ν , convencionalmente escritos como uno de donde V es un espacio vectorial de dimensión finita. Estos están dados de manera única, hasta una transformación de similitud , por [nb 14]
donde 1 n es la matriz unitaria de dimensión n y son las representaciones irreducibles de dimensión (2 n + 1) de las también denominadas matrices de espín o matrices de momento angular . Estas se dan explícitamente como [64] donde δ denota el delta de Kronecker . En componentes, con − m ≤ a , a′ ≤ m , − n ≤ b , b′ ≤ n , las representaciones se dan por [65]
Dado que para cualquier representación irreducible para la cual m ≠ n es esencial operar sobre el cuerpo de los números complejos , la suma directa de las representaciones ( m , n ) y ( n , m ) tiene particular relevancia para la física, ya que permite utilizar operadores lineales sobre números reales .
El enfoque de esta sección se basa en teoremas que, a su vez, se basan en la correspondencia de Lie fundamental . [67] La correspondencia de Lie es en esencia un diccionario entre grupos de Lie conectados y álgebras de Lie. [68] El vínculo entre ellos es la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie, denotada
Si para algún espacio vectorial V es una representación, una representación Π del componente conexo de G se define por
Esta definición se aplica independientemente de que la representación resultante sea proyectiva o no.
Desde un punto de vista práctico, es importante si la primera fórmula en (G2) se puede utilizar para todos los elementos del grupo . Se cumple para todos los , sin embargo, en el caso general, por ejemplo para , no todos los g ∈ G están en la imagen de exp .
Pero es sobreyectiva. Una forma de mostrar esto es hacer uso del isomorfismo, siendo este último el grupo de Möbius . Es un cociente de (ver el artículo vinculado). La función cociente se denota con La función es sobreyectiva. [69] Aplicar (Lie) con π siendo la diferencial de p en la identidad. Entonces
Como el lado izquierdo es sobreyectivo (tanto exp como p lo son), el lado derecho es sobreyectivo y, por lo tanto, es sobreyectivo. [70] Finalmente, recicle el argumento una vez más, pero ahora con el isomorfismo conocido entre SO(3; 1) + y para encontrar que exp es sobreyectivo para el componente conexo del grupo de Lorentz.
El grupo de Lorentz está doblemente conexo , es decir, π 1 (SO(3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como sus elementos.
Para representar el grupo fundamental de SO(3; 1) + , se considera la topología de su grupo de recubrimiento SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}. Por el teorema de descomposición polar , cualquier matriz puede expresarse de forma única como [71]
donde u es unitaria con determinante uno, por lo tanto en SU(2) , y h es hermítica con traza cero. Las condiciones de traza y determinante implican: [72]
La función biunívoca manifiestamente continua es un homeomorfismo con inverso continuo dado por (el lugar geométrico de u se identifica con )
mostrando explícitamente que está simplemente conectado. Pero, ¿dónde está el centro de ? Identificar λ y − λ equivale a identificar u con − u , lo que a su vez equivale a identificar puntos antípodas en Por lo tanto, topológicamente, [72]
donde el último factor no está simplemente conexo: Geométricamente, se ve (para fines de visualización, puede reemplazarse por ) que un camino desde u hasta − u en es un bucle en ya que u y − u son puntos antípodas, y que no es contráctil a un punto. Pero un camino desde u hasta − u , de allí a u nuevamente, un bucle en y un doble bucle (considerando p ( ue h ) = p (− ue h ) , donde es la función de recubrimiento) en que es contráctil a un punto (alejándose continuamente de − u "arriba" en y encogiendo el camino allí hasta el punto u ). [72] Por lo tanto, π 1 (SO(3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como sus elementos, o dicho de manera más simple, SO(3; 1) está doblemente conexo .
Como π 1 (SO(3; 1) + ) tiene dos elementos, algunas representaciones del álgebra de Lie producirán representaciones proyectivas . [73] [nb 18] Una vez que se sabe si una representación es proyectiva, la fórmula (G2) se aplica a todos los elementos del grupo y a todas las representaciones, incluidas las proyectivas, con el entendimiento de que el representante de un elemento del grupo dependerá de qué elemento del álgebra de Lie (la X en (G2) ) se utiliza para representar el elemento del grupo en la representación estándar.
Para el grupo de Lorentz, la representación ( m , n ) es proyectiva cuando m + n es un semientero. Véase § Espinores.
Para una representación proyectiva Π de SO(3; 1) + , se cumple que [72]
dado que cualquier bucle en SO(3; 1) + atravesado dos veces, debido a la doble conectividad, es contráctil a un punto, de modo que su clase de homotopía es la de una función constante. De ello se deduce que Π es una función de doble valor. No es posible elegir consistentemente un signo para obtener una representación continua de todo SO(3; 1) + , pero esto es posible localmente alrededor de cualquier punto. [33]
Consideremos como un álgebra de Lie real con base
donde las sigmas son las matrices de Pauli . De las relaciones
se obtiene
que son exactamente la forma de la versión tridimensional de las relaciones de conmutación para (ver las convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación). Por lo tanto, la función J i ↔ j i , K i ↔ k i , extendida por linealidad es un isomorfismo. Como es simplemente conexo, es el grupo de recubrimiento universal de SO(3; 1) + .
Sea p g ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 un camino desde 1 ∈ SO(3; 1) + hasta g ∈ SO(3; 1) + , denotemos su clase de homotopía por [ p g ] y sea π g el conjunto de todas esas clases de homotopía. Definamos el conjunto
y dotarlo de la operación de multiplicación
¿Dónde está la multiplicación de la ruta de y :
Con esta multiplicación, G se convierte en un grupo isomorfo al [74] grupo de recubrimiento universal de SO(3; 1) + . Dado que cada π g tiene dos elementos, por la construcción anterior, hay una función de recubrimiento 2:1 p : G → SO(3; 1) + . Según la teoría de grupos de recubrimiento , las álgebras de Lie y de G son todas isomorfas. La función de recubrimiento p : G → SO(3; 1) + está dada simplemente por p ( g , [ p g ]) = g .
Para una visión algebraica del grupo de recubrimiento universal, sea que actúe sobre el conjunto de todas las matrices hermíticas 2 × 2 mediante la operación [72]
La acción sobre es lineal. Un elemento de puede escribirse en la forma
La función P es un homomorfismo de grupo en Por lo tanto, es una representación de 4 dimensiones de . Su núcleo debe, en particular, tomar la matriz identidad para sí misma, A † IA = A † A = I y, por lo tanto, A † = A −1 . Por lo tanto, AX = XA para A en el núcleo, por lo que, por el lema de Schur , [nb 19] A es un múltiplo de la identidad, que debe ser ± I ya que det A = 1 . [75] El espacio se asigna al espacio de Minkowski M 4 , mediante
La acción de P ( A ) sobre preserva los determinantes. La representación inducida p de sobre a través del isomorfismo anterior, dada por
conserva el producto interno de Lorentz ya que
Esto significa que p ( A ) pertenece al grupo completo de Lorentz SO(3; 1) . Por el teorema principal de conexidad , dado que es conexo, su imagen bajo p en SO(3; 1) es conexa y, por lo tanto, está contenida en SO(3; 1) + .
Se puede demostrar que el mapa de Lie de es un isomorfismo del álgebra de Lie: [nb 20] El mapa P también es sobreyectivo. [nb 21]
Por lo tanto , puesto que está simplemente conexo, es el grupo de recubrimiento universal de SO(3; 1) + , isomorfo al grupo G de arriba.
La función exponencial no es sobreyectiva. [76] La matriz
está dentro pero no hay tal que q = exp( Q ) . [nb 22]
En general, si g es un elemento de un grupo de Lie conexo G con álgebra de Lie entonces, por (Lie) ,
La matriz q se puede escribir
Las representaciones lineales complejas de y son más sencillas de obtener que las representaciones. Pueden escribirse (y normalmente se escriben) desde cero. Las representaciones de grupo holomorfas (lo que significa que la representación del álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja) están relacionadas con las representaciones del álgebra de Lie lineal compleja por exponenciación. Las representaciones lineales reales de son exactamente las ( μ , ν ) -representaciones. También pueden ser exponenciadas. Las ( μ , 0) -representaciones son lineales complejas y son (isomorfas a) las representaciones de mayor peso. Estas suelen estar indexadas con un solo entero (pero aquí se utilizan medios enteros).
En esta sección se utiliza la convención matemática por conveniencia. Los elementos del álgebra de Lie difieren en un factor de i y no hay ningún factor de i en la función exponencial en comparación con la convención de física utilizada en otros lugares. Sea la base de [ 77]
Esta elección de base y de notación es estándar en la literatura matemática.
Las representaciones holomórficas irreducibles de dimensión ( n +1) se pueden realizar en el espacio de polinomios homogéneos de grado n en 2 variables [78] [79] cuyos elementos son
La acción de está dada por [80] [81]
La -acción asociada es, utilizando (G6) y la definición anterior, para los elementos base de [82]
Con una elección de base para , estas representaciones se convierten en álgebras de Lie matriciales.
Las representaciones ( μ , ν ) se realizan en un espacio de polinomios en homogéneos de grado μ en y homogéneos de grado ν en [79] Las representaciones están dadas por [83]
Empleando (G6) nuevamente se encuentra que
En particular para los elementos básicos,
Las representaciones ( m , n ) , definidas anteriormente a través de (A1) (como restricciones a la forma real ) de los productos tensoriales de las representaciones lineales complejas irreducibles π m = μ y π n = ν de son irreducibles, y son las únicas representaciones irreducibles. [61]
The (m, n) representations are (2m + 1)(2n + 1)-dimensional.[86] This follows easiest from counting the dimensions in any concrete realization, such as the one given in representations of SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} and s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . For a Lie general algebra the Weyl dimension formula,[87]applies, where R+ is the set of positive roots, ρ is the highest weight, and δ is half the sum of the positive roots. The inner product is that of the Lie algebra invariant under the action of the Weyl group on the Cartan subalgebra. The roots (really elements of ) are via this inner product identified with elements of For the formula reduces to dim πμ = 2μ + 1 = 2m + 1, where the present notation must be taken into account. The highest weight is 2μ.[88] By taking tensor products, the result follows.
If a representation Π of a Lie group G is not faithful, then N = ker Π is a nontrivial normal subgroup.[89] There are three relevant cases.
In the case of SO(3; 1)+, the first case is excluded since SO(3; 1)+ is semi-simple.[nb 25] The second case (and the first case) is excluded because SO(3; 1)+ is simple.[nb 26] For the third case, SO(3; 1)+ is isomorphic to the quotient But is the center of It follows that the center of SO(3; 1)+ is trivial, and this excludes the third case. The conclusion is that every representation Π : SO(3; 1)+ → GL(V) and every projective representation Π : SO(3; 1)+ → PGL(W) for V, W finite-dimensional vector spaces are faithful.
By using the fundamental Lie correspondence, the statements and the reasoning above translate directly to Lie algebras with (abelian) nontrivial non-discrete normal subgroups replaced by (one-dimensional) nontrivial ideals in the Lie algebra,[90] and the center of SO(3; 1)+ replaced by the center of The center of any semisimple Lie algebra is trivial[91] and is semi-simple and simple, and hence has no non-trivial ideals.
A related fact is that if the corresponding representation of is faithful, then the representation is projective. Conversely, if the representation is non-projective, then the corresponding representation is not faithful, but is 2:1.
The (m, n) Lie algebra representation is not Hermitian. Accordingly, the corresponding (projective) representation of the group is never unitary.[nb 27] This is due to the non-compactness of the Lorentz group. In fact, a connected simple non-compact Lie group cannot have any nontrivial unitary finite-dimensional representations.[33] There is a topological proof of this.[92] Let u : G → GL(V), where V is finite-dimensional, be a continuous unitary representation of the non-compact connected simple Lie group G. Then u(G) ⊂ U(V) ⊂ GL(V) where U(V) is the compact subgroup of GL(V) consisting of unitary transformations of V. The kernel of u is a normal subgroup of G. Since G is simple, ker u is either all of G, in which case u is trivial, or ker u is trivial, in which case u is faithful. In the latter case u is a diffeomorphism onto its image,[93] u(G) ≅ G and u(G) is a Lie group. This would mean that u(G) is an embedded non-compact Lie subgroup of the compact group U(V). This is impossible with the subspace topology on u(G) ⊂ U(V) since all embedded Lie subgroups of a Lie group are closed[94] If u(G) were closed, it would be compact,[nb 28] and then G would be compact,[nb 29] contrary to assumption.[nb 30]
In the case of the Lorentz group, this can also be seen directly from the definitions. The representations of A and B used in the construction are Hermitian. This means that J is Hermitian, but K is anti-Hermitian.[95] The non-unitarity is not a problem in quantum field theory, since the objects of concern are not required to have a Lorentz-invariant positive definite norm.[96]
The (m, n) representation is, however, unitary when restricted to the rotation subgroup SO(3), but these representations are not irreducible as representations of SO(3). A Clebsch–Gordan decomposition can be applied showing that an (m, n) representation have SO(3)-invariant subspaces of highest weight (spin) m + n, m + n − 1, ..., | m − n|,[97] where each possible highest weight (spin) occurs exactly once. A weight subspace of highest weight (spin) j is (2j + 1)-dimensional. So for example, the (1/2, 1/2) representation has spin 1 and spin 0 subspaces of dimension 3 and 1 respectively.
Since the angular momentum operator is given by J = A + B, the highest spin in quantum mechanics of the rotation sub-representation will be (m + n)ℏ and the "usual" rules of addition of angular momenta and the formalism of 3-j symbols, 6-j symbols, etc. applies.[98]
It is the SO(3)-invariant subspaces of the irreducible representations that determine whether a representation has spin. From the above paragraph, it is seen that the (m, n) representation has spin if m + n is half-integer. The simplest are (1/2, 0) and (0, 1/2), the Weyl-spinors of dimension 2. Then, for example, (0, 3/2) and (1, 1/2) are a spin representations of dimensions 2⋅3/2 + 1 = 4 and (2 + 1)(2⋅1/2 + 1) = 6 respectively. According to the above paragraph, there are subspaces with spin both 3/2 and 1/2 in the last two cases, so these representations cannot likely represent a single physical particle which must be well-behaved under SO(3). It cannot be ruled out in general, however, that representations with multiple SO(3) subrepresentations with different spin can represent physical particles with well-defined spin. It may be that there is a suitable relativistic wave equation that projects out unphysical components, leaving only a single spin.[99]
Construction of pure spin n/2 representations for any n (under SO(3)) from the irreducible representations involves taking tensor products of the Dirac-representation with a non-spin representation, extraction of a suitable subspace, and finally imposing differential constraints.[100]
The following theorems are applied to examine whether the dual representation of an irreducible representation is isomorphic to the original representation:
Here, the elements of the Weyl group are considered as orthogonal transformations, acting by matrix multiplication, on the real vector space of roots. If −I is an element of the Weyl group of a semisimple Lie algebra, then w0 = −I. In the case of the Weyl group is W = {I, −I}.[103] It follows that each πμ, μ = 0, 1, ... is isomorphic to its dual The root system of is shown in the figure to the right.[nb 32] The Weyl group is generated by where is reflection in the plane orthogonal to γ as γ ranges over all roots.[nb 33] Inspection shows that wα ⋅ wβ = −I so −I ∈ W. Using the fact that if π, σ are Lie algebra representations and π ≅ σ, then Π ≅ Σ,[104] the conclusion for SO(3; 1)+ is
If π is a representation of a Lie algebra, then is a representation, where the bar denotes entry-wise complex conjugation in the representative matrices. This follows from that complex conjugation commutes with addition and multiplication.[105] In general, every irreducible representation π of can be written uniquely as π = π+ + π−, where[106]with holomorphic (complex linear) and anti-holomorphic (conjugate linear). For since is holomorphic, is anti-holomorphic. Direct examination of the explicit expressions for and in equation (S8) below shows that they are holomorphic and anti-holomorphic respectively. Closer examination of the expression (S8) also allows for identification of and for as
Using the above identities (interpreted as pointwise addition of functions), for SO(3; 1)+ yieldswhere the statement for the group representations follow from exp(X) = exp(X). It follows that the irreducible representations (m, n) have real matrix representatives if and only if m = n. Reducible representations on the form (m, n) ⊕ (n, m) have real matrices too.
In general representation theory, if (π, V) is a representation of a Lie algebra then there is an associated representation of on End(V), also denoted π, given by
Likewise, a representation (Π, V) of a group G yields a representation Π on End(V) of G, still denoted Π, given by[107]
If π and Π are the standard representations on and if the action is restricted to then the two above representations are the adjoint representation of the Lie algebra and the adjoint representation of the group respectively. The corresponding representations (some or ) always exist for any matrix Lie group, and are paramount for investigation of the representation theory in general, and for any given Lie group in particular.
Applying this to the Lorentz group, if (Π, V) is a projective representation, then direct calculation using (G5) shows that the induced representation on End(V) is a proper representation, i.e. a representation without phase factors.
In quantum mechanics this means that if (π, H) or (Π, H) is a representation acting on some Hilbert space H, then the corresponding induced representation acts on the set of linear operators on H. As an example, the induced representation of the projective spin (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representation on End(H) is the non-projective 4-vector (1/2, 1/2) representation.[108]
For simplicity, consider only the "discrete part" of End(H), that is, given a basis for H, the set of constant matrices of various dimension, including possibly infinite dimensions. The induced 4-vector representation of above on this simplified End(H) has an invariant 4-dimensional subspace that is spanned by the four gamma matrices.[109] (The metric convention is different in the linked article.) In a corresponding way, the complete Clifford algebra of spacetime, whose complexification is generated by the gamma matrices decomposes as a direct sum of representation spaces of a scalar irreducible representation (irrep), the (0, 0), a pseudoscalar irrep, also the (0, 0), but with parity inversion eigenvalue −1, see the next section below, the already mentioned vector irrep, (1/2, 1/2), a pseudovector irrep, (1/2, 1/2) with parity inversion eigenvalue +1 (not −1), and a tensor irrep, (1, 0) ⊕ (0, 1).[110] The dimensions add up to 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16. In other words,
where, as is customary, a representation is confused with its representation space.
The six-dimensional representation space of the tensor (1, 0) ⊕ (0, 1)-representation inside has two roles. The[111]
where are the gamma matrices, the sigmas, only 6 of which are non-zero due to antisymmetry of the bracket, span the tensor representation space. Moreover, they have the commutation relations of the Lorentz Lie algebra,[112]
and hence constitute a representation (in addition to spanning a representation space) sitting inside the (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) spin representation. For details, see bispinor and Dirac algebra.
The conclusion is that every element of the complexified in End(H) (i.e. every complex 4×4 matrix) has well defined Lorentz transformation properties. In addition, it has a spin-representation of the Lorentz Lie algebra, which upon exponentiation becomes a spin representation of the group, acting on making it a space of bispinors.
There is a multitude of other representations that can be deduced from the irreducible ones, such as those obtained by taking direct sums, tensor products, and quotients of the irreducible representations. Other methods of obtaining representations include the restriction of a representation of a larger group containing the Lorentz group, e.g. and the Poincaré group. These representations are in general not irreducible.
The Lorentz group and its Lie algebra have the complete reducibility property. This means that every representation reduces to a direct sum of irreducible representations. The reducible representations will therefore not be discussed.
The (possibly projective) (m, n) representation is irreducible as a representation SO(3; 1)+, the identity component of the Lorentz group, in physics terminology the proper orthochronous Lorentz group. If m = n it can be extended to a representation of all of O(3; 1), the full Lorentz group, including space parity inversion and time reversal. The representations (m, n) ⊕ (n, m) can be extended likewise.[113]
For space parity inversion, the adjoint action AdP of P ∈ SO(3; 1) on is considered, where P is the standard representative of space parity inversion, P = diag(1, −1, −1, −1), given by
It is these properties of K and J under P that motivate the terms vector for K and pseudovector or axial vector for J. In a similar way, if π is any representation of and Π is its associated group representation, then Π(SO(3; 1)+) acts on the representation of π by the adjoint action, π(X) ↦ Π(g) π(X) Π(g)−1 for g ∈ SO(3; 1)+. If P is to be included in Π, then consistency with (F1) requires that
holds, where A and B are defined as in the first section. This can hold only if Ai and Bi have the same dimensions, i.e. only if m = n. When m ≠ n then (m, n) ⊕ (n, m) can be extended to an irreducible representation of SO(3; 1)+, the orthochronous Lorentz group. The parity reversal representative Π(P) does not come automatically with the general construction of the (m, n) representations. It must be specified separately. The matrix β = i γ0 (or a multiple of modulus −1 times it) may be used in the (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2)[114] representation.
If parity is included with a minus sign (the 1×1 matrix [−1]) in the (0,0) representation, it is called a pseudoscalar representation.
Time reversal T = diag(−1, 1, 1, 1), acts similarly on by[115]
By explicitly including a representative for T, as well as one for P, a representation of the full Lorentz group O(3; 1) is obtained. A subtle problem appears however in application to physics, in particular quantum mechanics. When considering the full Poincaré group, four more generators, the Pμ, in addition to the Ji and Ki generate the group. These are interpreted as generators of translations. The time-component P0 is the Hamiltonian H. The operator T satisfies the relation[116]
in analogy to the relations above with replaced by the full Poincaré algebra. By just cancelling the i's, the result THT−1 = −H would imply that for every state Ψ with positive energy E in a Hilbert space of quantum states with time-reversal invariance, there would be a state Π(T−1)Ψ with negative energy −E. Such states do not exist. The operator Π(T) is therefore chosen antilinear and antiunitary, so that it anticommutes with i, resulting in THT−1 = H, and its action on Hilbert space likewise becomes antilinear and antiunitary.[117] It may be expressed as the composition of complex conjugation with multiplication by a unitary matrix.[118] This is mathematically sound, see Wigner's theorem, but with very strict requirements on terminology, Π is not a representation.
When constructing theories such as QED which is invariant under space parity and time reversal, Dirac spinors may be used, while theories that do not, such as the electroweak force, must be formulated in terms of Weyl spinors. The Dirac representation, (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2), is usually taken to include both space parity and time inversions. Without space parity inversion, it is not an irreducible representation.
The third discrete symmetry entering in the CPT theorem along with P and T, charge conjugation symmetry C, has nothing directly to do with Lorentz invariance.[119]
If V is a vector space of functions of a finite number of variables n, then the action on a scalar function given by
produces another function Πf ∈ V. Here Πx is an n-dimensional representation, and Π is a possibly infinite-dimensional representation. A special case of this construction is when V is a space of functions defined on the a linear group G itself, viewed as a n-dimensional manifold embedded in (with m the dimension of the matrices).[120] This is the setting in which the Peter–Weyl theorem and the Borel–Weil theorem are formulated. The former demonstrates the existence of a Fourier decomposition of functions on a compact group into characters of finite-dimensional representations.[61] The latter theorem, providing more explicit representations, makes use of the unitarian trick to yield representations of complex non-compact groups, e.g.
The following exemplifies action of the Lorentz group and the rotation subgroup on some function spaces.
The subgroup SO(3) of three-dimensional Euclidean rotations has an infinite-dimensional representation on the Hilbert space
where are the spherical harmonics. An arbitrary square integrable function f on the unit sphere can be expressed as[121]
where the flm are generalized Fourier coefficients.
The Lorentz group action restricts to that of SO(3) and is expressed as
where the Dl are obtained from the representatives of odd dimension of the generators of rotation.
The identity component of the Lorentz group is isomorphic to the Möbius group M. This group can be thought of as conformal mappings of either the complex plane or, via stereographic projection, the Riemann sphere. In this way, the Lorentz group itself can be thought of as acting conformally on the complex plane or on the Riemann sphere.
In the plane, a Möbius transformation characterized by the complex numbers a, b, c, d acts on the plane according to[122]
and can be represented by complex matrices
since multiplication by a nonzero complex scalar does not change f. These are elements of and are unique up to a sign (since ±Πf give the same f), hence
The Riemann P-functions, solutions of Riemann's differential equation, are an example of a set of functions that transform among themselves under the action of the Lorentz group. The Riemann P-functions are expressed as[123]
where the a, b, c, α, β, γ, α′, β′, γ′ are complex constants. The P-function on the right hand side can be expressed using standard hypergeometric functions. The connection is[124]
The set of constants 0, ∞, 1 in the upper row on the left hand side are the regular singular points of the Gauss' hypergeometric equation.[125] Its exponents, i. e. solutions of the indicial equation, for expansion around the singular point 0 are 0 and 1 − c ,corresponding to the two linearly independent solutions,[nb 34] and for expansion around the singular point 1 they are 0 and c − a − b.[126] Similarly, the exponents for ∞ are a and b for the two solutions.[127]
One has thus
where the condition (sometimes called Riemann's identity)[128]on the exponents of the solutions of Riemann's differential equation has been used to define γ′.
The first set of constants on the left hand side in (T1), a, b, c denotes the regular singular points of Riemann's differential equation. The second set, α, β, γ, are the corresponding exponents at a, b, c for one of the two linearly independent solutions, and, accordingly, α′, β′, γ′ are exponents at a, b, c for the second solution.
Define an action of the Lorentz group on the set of all Riemann P-functions by first setting
where A, B, C, D are the entries in
for Λ = p(λ) ∈ SO(3; 1)+ a Lorentz transformation.
Define
where P is a Riemann P-function. The resulting function is again a Riemann P-function. The effect of the Möbius transformation of the argument is that of shifting the poles to new locations, hence changing the critical points, but there is no change in the exponents of the differential equation the new function satisfies. The new function is expressed as
where
The Lorentz group SO(3; 1)+ and its double cover also have infinite dimensional unitary representations, studied independently by Bargmann (1947), Gelfand & Naimark (1947) and Harish-Chandra (1947) at the instigation of Paul Dirac.[129][130] This trail of development begun with Dirac (1936) where he devised matrices U and B necessary for description of higher spin (compare Dirac matrices), elaborated upon by Fierz (1939), see also Fierz & Pauli (1939), and proposed precursors of the Bargmann-Wigner equations.[131] In Dirac (1945) he proposed a concrete infinite-dimensional representation space whose elements were called expansors as a generalization of tensors.[nb 35] These ideas were incorporated by Harish–Chandra and expanded with expinors as an infinite-dimensional generalization of spinors in his 1947 paper.
The Plancherel formula for these groups was first obtained by Gelfand and Naimark through involved calculations. The treatment was subsequently considerably simplified by Harish-Chandra (1951) and Gelfand & Graev (1953), based on an analogue for of the integration formula of Hermann Weyl for compact Lie groups.[132] Elementary accounts of this approach can be found in Rühl (1970) and Knapp (2001).
The theory of spherical functions for the Lorentz group, required for harmonic analysis on the hyperboloid model of 3-dimensional hyperbolic space sitting in Minkowski space is considerably easier than the general theory. It only involves representations from the spherical principal series and can be treated directly, because in radial coordinates the Laplacian on the hyperboloid is equivalent to the Laplacian on This theory is discussed in Takahashi (1963), Helgason (1968), Helgason (2000) and the posthumous text of Jorgenson & Lang (2008).
The principal series, or unitary principal series, are the unitary representations induced from the one-dimensional representations of the lower triangular subgroup B of Since the one-dimensional representations of B correspond to the representations of the diagonal matrices, with non-zero complex entries z and z−1, they thus have the formfor k an integer, ν real and with z = reiθ. The representations are irreducible; the only repetitions, i.e. isomorphisms of representations, occur when k is replaced by −k. By definition the representations are realized on L2 sections of line bundles on which is isomorphic to the Riemann sphere. When k = 0, these representations constitute the so-called spherical principal series.
The restriction of a principal series to the maximal compact subgroup K = SU(2) of G can also be realized as an induced representation of K using the identification G/B = K/T, where T = B ∩ K is the maximal torus in K consisting of diagonal matrices with | z | = 1. It is the representation induced from the 1-dimensional representation zkT, and is independent of ν. By Frobenius reciprocity, on K they decompose as a direct sum of the irreducible representations of K with dimensions |k| + 2m + 1 with m a non-negative integer.
Using the identification between the Riemann sphere minus a point and the principal series can be defined directly on by the formula[133]
Irreducibility can be checked in a variety of ways:
The for 0 < t < 2, the complementary series is defined on for the inner product[136]with the action given by[137][138]
The representations in the complementary series are irreducible and pairwise non-isomorphic. As a representation of K, each is isomorphic to the Hilbert space direct sum of all the odd dimensional irreducible representations of K = SU(2). Irreducibility can be proved by analyzing the action of on the algebraic sum of these subspaces[8][135] or directly without using the Lie algebra.[139][140]
The only irreducible unitary representations of are the principal series, the complementary series and the trivial representation. Since −I acts as (−1)k on the principal series and trivially on the remainder, these will give all the irreducible unitary representations of the Lorentz group, provided k is taken to be even.
To decompose the left regular representation of G on only the principal series are required. This immediately yields the decomposition on the subrepresentations the left regular representation of the Lorentz group, and the regular representation on 3-dimensional hyperbolic space. (The former only involves principal series representations with k even and the latter only those with k = 0.)
The left and right regular representation λ and ρ are defined on by
Now if f is an element of Cc(G), the operator defined byis Hilbert–Schmidt. Define a Hilbert space H bywhereand denotes the Hilbert space of Hilbert–Schmidt operators on [nb 36] Then the map U defined on Cc(G) byextends to a unitary of onto H.
The map U satisfies the intertwining property
If f1, f2 are in Cc(G) then by unitarity
Thus if denotes the convolution of and and then[141]
The last two displayed formulas are usually referred to as the Plancherel formula and the Fourier inversion formula respectively.
The Plancherel formula extends to all By a theorem of Jacques Dixmier and Paul Malliavin, every smooth compactly supported function on is a finite sum of convolutions of similar functions, the inversion formula holds for such f. It can be extended to much wider classes of functions satisfying mild differentiability conditions.[61]
The strategy followed in the classification of the irreducible infinite-dimensional representations is, in analogy to the finite-dimensional case, to assume they exist, and to investigate their properties. Thus first assume that an irreducible strongly continuous infinite-dimensional representation ΠH on a Hilbert space H of SO(3; 1)+ is at hand.[142] Since SO(3) is a subgroup, ΠH is a representation of it as well. Each irreducible subrepresentation of SO(3) is finite-dimensional, and the SO(3) representation is reducible into a direct sum of irreducible finite-dimensional unitary representations of SO(3) if ΠH is unitary.[143]
The steps are the following:[144]
One suitable choice of basis and labeling is given by
If this were a finite-dimensional representation, then j0 would correspond the lowest occurring eigenvalue j(j + 1) of J2 in the representation, equal to |m − n|, and j1 would correspond to the highest occurring eigenvalue, equal to m + n. In the infinite-dimensional case, j0 ≥ 0 retains this meaning, but j1 does not.[66] For simplicity, it is assumed that a given j occurs at most once in a given representation (this is the case for finite-dimensional representations), and it can be shown[145] that the assumption is possible to avoid (with a slightly more complicated calculation) with the same results.
The next step is to compute the matrix elements of the operators J1, J2, J3 and K1, K2, K3 forming the basis of the Lie algebra of The matrix elements of and (the complexified Lie algebra is understood) are known from the representation theory of the rotation group, and are given by[146][147]where the labels j0 and j1 have been dropped since they are the same for all basis vectors in the representation.
Due to the commutation relations the triple (K1, K2, K3) ≡ K is a vector operator[148] and the Wigner–Eckart theorem[149] applies for computation of matrix elements between the states represented by the chosen basis.[150] The matrix elements of
where the superscript (1) signifies that the defined quantities are the components of a spherical tensor operator of rank k = 1 (which explains the factor √2 as well) and the subscripts 0, ±1 are referred to as q in formulas below, are given by[151]
Here the first factors on the right hand sides are Clebsch–Gordan coefficients for coupling j′ with k to get j. The second factors are the reduced matrix elements. They do not depend on m, m′ or q, but depend on j, j′ and, of course, K. For a complete list of non-vanishing equations, see Harish-Chandra (1947, p. 375).
The next step is to demand that the Lie algebra relations hold, i.e. that
This results in a set of equations[152] for which the solutions are[153]where
The imposition of the requirement of unitarity of the corresponding representation of the group restricts the possible values for the arbitrary complex numbers j0 and ξj. Unitarity of the group representation translates to the requirement of the Lie algebra representatives being Hermitian, meaning
This translates to[154]leading to[155]where βj is the angle of Bj on polar form. For |Bj| ≠ 0 follows and is chosen by convention. There are two possible cases:
This shows that the representations of above are all infinite-dimensional irreducible unitary representations.
The metric of choice is given by η = diag(−1, 1, 1, 1), and the physics convention for Lie algebras and the exponential mapping is used. These choices are arbitrary, but once they are made, fixed. One possible choice of basis for the Lie algebra is, in the 4-vector representation, given by:
The commutation relations of the Lie algebra are:[158]
In three-dimensional notation, these are[159]
The choice of basis above satisfies the relations, but other choices are possible. The multiple use of the symbol J above and in the sequel should be observed.
For example, a typical boost and a typical rotation exponentiate as,symmetric and orthogonal, respectively.
By taking, in turn, m = 1/2, n = 0 and m = 0, n = 1/2 and by settingin the general expression (G1), and by using the trivial relations 11 = 1 and J(0) = 0, it follows
These are the left-handed and right-handed Weyl spinor representations. They act by matrix multiplication on 2-dimensional complex vector spaces (with a choice of basis) VL and VR, whose elements ΨL and ΨR are called left- and right-handed Weyl spinors respectively. Giventheir direct sum as representations is formed,[160]
This is, up to a similarity transformation, the (1/2,0) ⊕ (0,1/2) Dirac spinor representation of It acts on the 4-component elements (ΨL, ΨR) of (VL ⊕ VR), called bispinors, by matrix multiplication. The representation may be obtained in a more general and basis independent way using Clifford algebras. These expressions for bispinors and Weyl spinors all extend by linearity of Lie algebras and representations to all of Expressions for the group representations are obtained by exponentiation.
The classification and characterization of the representation theory of the Lorentz group was completed in 1947. But in association with the Bargmann–Wigner programme, there are yet unresolved purely mathematical problems, linked to the infinite-dimensional unitary representations.
The irreducible infinite-dimensional unitary representations may have indirect relevance to physical reality in speculative modern theories since the (generalized) Lorentz group appears as the little group of the Poincaré group of spacelike vectors in higher spacetime dimension. The corresponding infinite-dimensional unitary representations of the (generalized) Poincaré group are the so-called tachyonic representations. Tachyons appear in the spectrum of bosonic strings and are associated with instability of the vacuum.[161][162] Even though tachyons may not be realized in nature, these representations must be mathematically understood in order to understand string theory. This is so since tachyon states turn out to appear in superstring theories too in attempts to create realistic models.[163]
One open problem is the completion of the Bargmann–Wigner programme for the isometry group SO(D − 2, 1) of the de Sitter spacetime dSD−2. Ideally, the physical components of wave functions would be realized on the hyperboloid dSD−2 of radius μ > 0 embedded in and the corresponding O(D−2, 1) covariant wave equations of the infinite-dimensional unitary representation to be known.[162]
See Weinberg (2002, Chapter 5), Tung (1985, Section 10.5.2) and references given in these works.
It should be remarked that high spin theories (s > 1) encounter difficulties. See Weinberg (2002, Section 5.8), on general (m, n) fields, where this is discussed in some depth, and references therein. High spin particles do without a doubt exist, e.g. nuclei, the known ones are just not elementary.
One says that a group has the complete reducibility property if every representation decomposes as a direct sum of irreducible representations.
Hall 2015, Exercise 11, chapter 1.
Another consequence is that every compact Lie group has the complete reducibility property, meaning that all its finite-dimensional representations decompose as a direct sum of irreducible representations. Hall (2015, Definition 4.24., Theorem 4.28.)
It is also true that there are no infinite-dimensional irreducible unitary representations of compact Lie groups, stated, but not proved in Greiner & Müller (1994, Section 15.2.).
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