En matemáticas , las representaciones en serie principal de ciertos tipos de grupos topológicos G se dan en el caso en que G no es un grupo compacto . Allí, por analogía con la teoría espectral , se espera que la representación regular de G se descomponga según algún tipo de espectro continuo , de representaciones que involucran un parámetro continuo, así como un espectro discreto . Las representaciones en serie principal son algunas representaciones inducidas construidas de manera uniforme, con el fin de completar la parte continua del espectro.
En más detalle, el dual unitario es el espacio de todas las representaciones relevantes para descomponer la representación regular. La serie discreta consiste en 'átomos' del dual unitario (puntos con una medida de Plancherel > 0). En los primeros ejemplos estudiados, el resto (o la mayor parte) del dual unitario podía parametrizarse comenzando con un subgrupo H de G , más simple pero no compacto, y construyendo representaciones inducidas usando representaciones de H que fueran accesibles, en el sentido de ser fáciles de escribir, y que involucraran un parámetro. (Este proceso de inducción puede producir representaciones que no sean unitarias).
Para el caso de un grupo de Lie semisimple G , el subgrupo H se construye a partir de la descomposición de Iwasawa
con K un subgrupo compacto máximo . Entonces se elige H para que contenga AN (que es un grupo de Lie resoluble no compacto ), que se toma como
con M el centralizador en K de A . Se consideran representaciones ρ de H que son irreducibles y unitarias, y son la representación trivial en el subgrupo N . (Suponiendo el caso M un grupo trivial, tales ρ son análogas a las representaciones del grupo de matrices diagonales dentro del grupo lineal especial .) Las representaciones inducidas de tales ρ forman la serie principal. La serie principal esférica consiste en representaciones inducidas a partir de representaciones unidimensionales de MAN obtenidas al extender caracteres de A usando el homomorfismo de MAN sobre A .
Puede haber otras series continuas de representaciones relevantes para el dual unitario: como su nombre lo indica, las series principales son la contribución "principal".
Se ha descubierto que este tipo de construcción tiene aplicación en grupos G que no son grupos de Lie (por ejemplo, grupos finitos de tipo Lie , grupos sobre campos p-ádicos ).
Para ver ejemplos, véase la teoría de representación de SL 2 (R) . Para el grupo lineal general GL 2 sobre un cuerpo local , la dimensión del módulo de Jacquet de una representación en serie principal es dos. [1]