Representación adjunta

Término matemático

En matemáticas , la representación adjunta (o acción adjunta ) de un grupo de Lie G es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo , considerado como un espacio vectorial . Por ejemplo, si G es , el grupo de Lie de matrices reales n por n invertibles , entonces la representación adjunta es el homomorfismo de grupo que envía una matriz n por n invertible a un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de definido por: . ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando la diferencial de) la acción de G sobre sí misma por conjugación . La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre cuerpos arbitrarios .

Definición

Sea G un grupo de Lie , y sea

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

sea ​​la aplicación g ↦ Ψ _g , con Aut( G ) el grupo de automorfismos de G y Ψ _g : G → G dado por el automorfismo interno (conjugación)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

Este Ψ es un homomorfismo del grupo de Lie .

Para cada g en G , defina Ad _g como la derivada de Ψ _g en el origen:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

donde d es la diferencial y es el espacio tangente en el origen e ( siendo e el elemento identidad del grupo G ). Puesto que es un automorfismo de grupo de Lie, Ad _g es un automorfismo de álgebra de Lie ; es decir, una transformación lineal invertible de a sí misma que conserva el corchete de Lie . Además, puesto que es un homomorfismo de grupo, también es un homomorfismo de grupo. ^[1] Por lo tanto, la función ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

es una representación de grupo llamada representación adjunta de G.

Si G es un subgrupo de Lie inmerso del grupo lineal general (llamado grupo de Lie inmerso lineal), entonces el álgebra de Lie consta de matrices y la función exponencial es la exponencial matricial para matrices X con normas de operadores pequeñas. Calcularemos la derivada de en . Para g en G y X pequeña en , la curva tiene derivada en t = 0, entonces se obtiene: ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\to \exp(tX)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

donde a la derecha tenemos los productos de matrices. Si es un subgrupo cerrado (es decir, G es un grupo de Lie de matrices), entonces esta fórmula es válida para todo g en G y todo X en . ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sucintamente, una representación adjunta es una representación de isotropía asociada a la acción de conjugación de G alrededor del elemento identidad de G.

Derivado de Ad

Siempre se puede pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de Lie tomando la derivada en la identidad.

Tomando la derivada del mapa adjunto

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

en el elemento identidad se obtiene la representación adjunta del álgebra de Lie de G : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}$

donde es el álgebra de Lie de la cual puede identificarse con el álgebra de derivación de . Se puede demostrar que ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$

para todos , donde el lado derecho está dado (inducido) por el corchete de Lie de los campos vectoriales . De hecho, ^[2] recuerda que, viéndolo como el álgebra de Lie de los campos vectoriales invariantes por la izquierda en G , el corchete en se da como: ^[3] para los campos vectoriales invariantes por la izquierda X , Y , ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}$

donde denota el flujo generado por X . Como resulta, , aproximadamente porque ambos lados satisfacen la misma EDO que define el flujo. Es decir, donde denota la multiplicación correcta por . Por otro lado, dado que , por la regla de la cadena , ${\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}$ ${\displaystyle R_{h}}$ ${\displaystyle h\in G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}$

como Y es invariante a la izquierda. Por lo tanto,

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}$,

que es lo que se necesitaba mostrar.

Por lo tanto, coincide con el mismo definido en § Representación adjunta de un álgebra de Lie a continuación. Ad y ad están relacionados a través de la función exponencial : Específicamente, Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) para todo x en el álgebra de Lie. ^[4] Es una consecuencia del resultado general que relaciona los homomorfismos del grupo de Lie y del álgebra de Lie a través de la función exponencial. ^[5] ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$

Si G es un grupo de Lie inmersivamente lineal, entonces el cálculo anterior se simplifica: de hecho, como se señaló anteriormente, y por lo tanto con , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}$ ${\displaystyle g=e^{tX}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}$.

Tomando la derivada de esto en , tenemos: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}$.

El caso general también se puede deducir del caso lineal: de hecho, sea un grupo de Lie inmersivamente lineal que tiene la misma álgebra de Lie que la de G . Entonces la derivada de Ad en el elemento identidad para G y la de G ' coinciden; por lo tanto, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que G es G ' . ${\displaystyle G'}$

La notación mayúscula/minúscula se utiliza ampliamente en la literatura. Así, por ejemplo, un vector x en el álgebra genera un campo vectorial X en el grupo G . De manera similar, la función adjunta ad _x y = [ x , y ] de vectores en es homomórfica ^{[ aclaración necesaria ]} a la derivada de Lie L _X Y = [ X , Y ] de campos vectoriales en el grupo G considerado como una variedad . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Véase además la derivada del mapa exponencial .

Representación adjunta de un álgebra de Lie

Sea un álgebra de Lie sobre algún cuerpo. Dado un elemento x de un álgebra de Lie , se define la acción adjunta de x sobre como la función ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

para todo y en . Se llama endomorfismo adjunto o acción adjunta . ( también se denota a menudo como .) Dado que un corchete es bilineal, esto determina la aplicación lineal ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}$

dado por x ↦ ad _x . Dentro de Fin , el corchete está dado, por definición, por el conmutador de los dos operadores: ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

donde denota la composición de aplicaciones lineales. Utilizando la definición anterior del corchete, la identidad de Jacobi ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

toma la forma

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

donde x , y y z son elementos arbitrarios de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Esta última identidad dice que ad es un homomorfismo del álgebra de Lie, es decir, una aplicación lineal que lleva corchetes a corchetes. Por lo tanto, ad es una representación de un álgebra de Lie y se denomina representación adjunta del álgebra . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es de dimensión finita y se elige una base para ella, entonces es el álgebra de Lie de matrices cuadradas y la composición corresponde a la multiplicación de matrices . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

En un lenguaje más modular, la construcción dice que es un módulo sobre sí mismo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El núcleo de ad es el centro de (esto es simplemente reformular la definición). Por otra parte, para cada elemento z en , la aplicación lineal obedece la ley de Leibniz : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

para todos los x e y en el álgebra (la reformulación de la identidad de Jacobi). Es decir, ad _z es una derivación y la imagen de bajo ad es una subálgebra de Der , el espacio de todas las derivaciones de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cuando es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G , ad es la diferencial de Ad en el elemento identidad de G . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

Existe la siguiente fórmula similar a la fórmula de Leibniz : para escalares y elementos del álgebra de Lie , ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

Constantes de estructura

Los elementos explícitos de la matriz de la representación adjunta están dados por las constantes de estructura del álgebra. Es decir, sea {e ⁱ } un conjunto de vectores base para el álgebra, con

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

Entonces los elementos de la matriz para ad _{e ⁱ} están dados por

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

Así, por ejemplo, la representación adjunta de su(2) es la representación definitoria de so(3) .

Ejemplos

• Si G es abeliano de dimensión n , la representación adjunta de G es la representación trivial de n dimensiones.
• Si G es un grupo de Lie de matrices (es decir, un subgrupo cerrado de ), entonces su álgebra de Lie es un álgebra de matrices n × n con el conmutador para un corchete de Lie (es decir, una subálgebra de ). En este caso, la función adjunta está dada por Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$
• Si G es SL(2, R ) (matrices reales 2×2 con determinante 1), el álgebra de Lie de G consiste en matrices reales 2×2 con traza 0. La representación es equivalente a la dada por la acción de G por sustitución lineal en el espacio de formas cuadráticas binarias (es decir, de 2 variables) .

Propiedades

La siguiente tabla resume las propiedades de los distintos mapas mencionados en la definición

La imagen de G bajo la representación adjunta se denota por Ad( G ). Si G es conexo , el núcleo de la representación adjunta coincide con el núcleo de Ψ que es justamente el centro de G . Por lo tanto, la representación adjunta de un grupo de Lie conexo G es fiel si y solo si G no tiene centro. De manera más general, si G no es conexo, entonces el núcleo de la función adjunta es el centralizador del componente identidad G ₀ de G . Por el primer teorema de isomorfismo tenemos

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

Dada un álgebra de Lie real de dimensión finita , por el tercer teorema de Lie , existe un grupo de Lie conexo cuya álgebra de Lie es la imagen de la representación adjunta de (es decir, .) Se llama grupo adjunto de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ahora bien, si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie conexo G , entonces es la imagen de la representación adjunta de G : . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$

Raíces de un grupo de Lie semisimple

Si G es semisimple , los pesos distintos de cero de la representación adjunta forman un sistema raíz . ^[6] (En general, es necesario pasar a la complejización del álgebra de Lie antes de continuar). Para ver cómo funciona esto, considere el caso G = SL( n , R ). Podemos tomar el grupo de matrices diagonales diag( t ₁ , ...,  t _n ) como nuestro toro máximo T . La conjugación por un elemento de T envía

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, T actúa trivialmente en la parte diagonal del álgebra de Lie de G y con vectores propios t _i t _j ⁻¹ en las diversas entradas fuera de la diagonal. Las raíces de G son los pesos diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ⁻¹ . Esto explica la descripción estándar del sistema raíz de G  = SL _n ( R ) como el conjunto de vectores de la forma e _i − e _j .

Ejemplo SL(2, R)

Al calcular el sistema de raíces para uno de los casos más simples de grupos de Lie, el grupo SL(2, R ) de matrices bidimensionales con determinante 1 consiste en el conjunto de matrices de la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$

con a , b , c , d reales y ad  −  bc  = 1.

Un subgrupo de Lie abeliano conexo compacto máximo, o toro máximo T , está dado por el subconjunto de todas las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}$

con . El álgebra de Lie del toro máximo es la subálgebra de Cartan que consiste en las matrices ${\displaystyle t_{1}t_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

Si conjugamos un elemento de SL(2, R ) por un elemento del toro máximo obtenemos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}$

Las matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

son entonces 'vectores propios' de la operación de conjugación con valores propios . La función Λ que da es un carácter multiplicativo, u homomorfismo del toro del grupo al cuerpo subyacente R. La función λ que da θ es un peso del Álgebra de Lie con espacio de pesos dado por el lapso de las matrices. ${\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}$ ${\displaystyle t_{1}^{2}}$

Resulta satisfactorio demostrar la multiplicidad del carácter y la linealidad del peso. Además, se puede demostrar que la diferencial de Λ se puede utilizar para crear un peso. También resulta educativo considerar el caso de SL(3, R ).

Variantes y analogías

La representación adjunta también se puede definir para grupos algebraicos sobre cualquier cuerpo. ^{[ aclaración necesaria ]}

La representación coadjunta es la representación contragrediente de la representación adjunta. Alexandre Kirillov observó que la órbita de cualquier vector en una representación coadjunta es una variedad simpléctica . De acuerdo con la filosofía en teoría de la representación conocida como el método de la órbita (ver también la fórmula del carácter de Kirillov ), las representaciones irreducibles de un grupo de Lie G deberían estar indexadas de alguna manera por sus órbitas coadjuntas. Esta relación es más cercana en el caso de los grupos de Lie nilpotentes .

Véase también

• Fibrado adjunto  – Fibrado del álgebra de Lie asociado a cualquier fibrado principal por la representación adjuntaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. De hecho, por la regla de la cadena , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}$
2. Kobayashi y Nomizu 1996, página 41
3. Kobayashi y Nomizu 1996, Proposición 1.9.
4. Propuesta 3.35 del Salón 2015
5. Hall 2015 Teorema 3.28
6. Sala 2015 Sección 7.3

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva edición). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.