Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse usando funciones típicas ("análisis").
Los algoritmos estudiados aquí pueden usarse para calcular tal aproximación.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se presentan en muchas disciplinas científicas, por ejemplo, en física, química, biología y economía.
Por ejemplo, los métodos lineales multipaso implícitos incluyen el método de Adams-Moulton y la fórmula de diferenciación hacia atrás (FDA), mientras que el método de Runge-Kutta[2] incluye Runge-Kutta diagonalmente implícito (RKDI), Runge-Kutta diagonalmente implícito simple (RKDIS) y Gauss-Radau (basado en la cuadratura gaussiana).
Los ejemplos explícitos de la familia lineal multipaso incluyen el método lineal multipaso, y cualquier método de Runge-Kutta con una diagonal inferior es explícito.
Una regla general suelta dicta que las ecuaciones diferenciales rígidas requieren el uso de esquemas implícitos, mientras que los problemas no rígidos se pueden resolver de manera más eficiente con esquemas explícitos.
Se elige el tamaño de paso h y se construye la secuencia t0, t1 = t0 + h, t2 = t0 + 2h, ... Denotando por yn una estimación numérica de la solución exacta y(tn).
De acuerdo con (3), se calculan estas estimaciones mediante el siguiente esquema recursivo:
El método lleva el nombre de Leonhard Euler que lo describió en 1768.
Sin embargo, normalmente cuesta más tiempo resolver esta ecuación que los cálculos de los métodos explícitos.
Este costo debe tenerse en cuenta cuando se selecciona el método a utilizar.
[3] Su origen se remonta al menos a la década de 1960.
En lugar de (1), se asume que la ecuación diferencial es cualquiera de la forma o se ha linealizado localmente sobre una forma original para producir un término lineal
El integrador exponencial de primer orden se puede determinar manteniendo
constante durante todo el intervalo: El método de Euler a menudo no es lo suficientemente exacto.
Esto hizo que los matemáticos buscaran métodos de orden superior.
Quizás el más simple es el método del salto de rana, que es de segundo orden y (más o menos) se basa en dos valores previos cada vez.
Casi todos los métodos prácticos de varios pasos pertenecen a la familia del método lineal multipaso, que tienen la forma Otra posibilidad es usar más puntos en el intervalo [tn, tn+1].
Esto lleva a la familia del método de Runge-Kutta, llamada así por Carl Runge y Martin Wilhelm Kutta.
Otras características deseables incluyen: Algunos otros métodos no se detallan el presente artículo.
Entre estos métodos alternativos, se encuentran: Para aplicaciones que requieren computación paralela en supercomputadoras, el grado de complejidad requerido por un método numérico se vuelve relevante.
Tres conceptos son centrales en este estudio: Se dice que un método numérico es convergente si la solución numérica se aproxima a la solución exacta cuando el tamaño de paso h tiende a 0.
Más precisamente, se requiere que para cada EDO (1) con una función lipschitziana f y cada t* > 0, Todos los métodos mencionados anteriormente son convergentes.
La mayoría de los métodos utilizados en la práctica alcanzan un orden superior.
Este "comportamiento difícil" en la ecuación (que puede no ser necesariamente complejo en sí mismo) se describe como "rigidez", y a menudo es causado por la presencia de diferentes escalas de tiempo en el problema subyacente.
El procedimiento más utilizado para resolver numéricamente estos problemas en una dimensión se llama método de las diferencias finitas.
Por ejemplo, supongamos que la ecuación a resolver es: El siguiente paso sería discretizar el problema y usar aproximaciones lineales derivadas como y resolver el sistema resultante de ecuaciones lineales.
Esto llevaría a ecuaciones como: A primera vista, este sistema de ecuaciones parece tener dificultades asociadas con el hecho de que la ecuación no implica términos que no se multipliquen por variables, pero en realidad esto es falso.
y dado que estos dos valores son conocidos, simplemente se puede sustituirlos en esta ecuación y, como resultado, obtener un sistema lineal de ecuaciones no homogéneo que tiene soluciones no triviales.
