Los métodos lineales multipaso se utilizan para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Conceptualmente, los métodos numéricos comienzan tras la elección de un punto inicial y a continuación realizan un paso de aproximación para encontrar el siguiente punto que permita seguir acercándose a la solución.
El proceso continúa con los siguientes pasos para reconocer la solución.
Los métodos de un solo paso (como el método de Euler) se refieren solo a un punto anterior y a su derivada para determinar el valor buscado.
es el paso o incremento del tiempo elegido (a veces referido como
A menudo, muchos coeficientes son cero para simplificar el método.
, entonces el método se llama "explícito", ya que la fórmula puede calcular directamente
entonces el método se llama "implícito", ya que el valor de
Con esta opción, el método de Adams-Bashforth produce (redondeado a cuatro dígitos):
Esto es siempre el caso si el tamaño del paso es lo suficientemente pequeño.
Los métodos de Adams-Bashforth con s = 1, 2, 3, 4, 5 son (Hairer, Nørsett y Wanner, 1993, §III.1;Butcher, 2003, p. 103): Los coeficientes
se pueden determinar como sigue: utilícese la interpolación polinómica para encontrar el polinomio p de grado
La fórmula de Lagrange para la interpolación polinómica resulta El polinomio p es localmente una buena aproximación del lado derecho de la ecuación diferencial
Esta ecuación puede ser resuelta exactamente; la solución es simplemente la integral de p. Esto sugiere que: El método de Adams-Bashforth surge cuando se sustituye p en la fórmula.
De nuevo se eligen los coeficientes "b" para obtener el orden más alto posible.
Adams utilizó el método de Newton para resolver la ecuación implícita (Hairer, Nørsett y Wanner, 1993, §III.1).
y los otros coeficientes elegidos de manera que el método obtenga el orden s (el máximo posible).
Estos métodos se utilizan especialmente para la resolución de ecuaciones diferenciales rígidas.
Un cálculo utilizando la serie de Taylor muestra que un método lineal multipaso es coherente si y solo si: Todos los métodos mencionados anteriormente son consistentes (Hairer, Nørsett y Wanner, 1993, §III.2).
Estas condiciones se formulan a menudo utilizando los "polinomios característicos": En términos de estos polinomios, la condición anterior para que el método tenga orden p se convierte en: En particular, el método es coherente si tiene orden al menos uno, que es el caso si
Un método lineal multipaso es "cero-estable" para una determinada ecuación diferencial en un intervalo de tiempo dado, si una perturbación en los valores iniciales del tamaño ε hace que la solución numérica sobre ese intervalo de tiempo cambie por no más de Kε para algún valor de K, que no depende del tamaño del paso h. Esto se llama "estabilidad cero" porque es suficiente para comprobar la condición de la ecuación diferencial
Si las raíces del polinomio característico ρ tienen un módulo menor o igual a 1 y las raíces del módulo 1 son de multiplicidad 1, se dice que la condición raíz está satisfecha.
Supóngase ahora que un método lineal multipaso coherente se aplica a una ecuación diferencial suficientemente suave y que los valores iniciales
Un método multipaso aplicado a esta ecuación diferencial con el tamaño de paso h produce una relación de recurrencia lineal con polinomio característico Este polinomio se denomina polinomio de estabilidad del método multipaso.
Si todas sus raíces tienen un módulo menor que uno, entonces la solución numérica del método de varios pasos convergerá a cero y se dice que el método de varios pasos es "absolutamente estable" para ese valor de hλ.
Se dice que el método es A-estable si es absolutamente estable para todos los hλ con la parte real negativa.
La región de estabilidad absoluta es el conjunto de todos los hλ para los cuales el método multipaso es absolutamente estable (Süli y Mayers, 2003, pp.
Para obtener más detalles, consúltese la sección sobre ecuaciones diferenciales rígidas.
Si el método también es explícito, entonces no puede alcanzar un orden mayor que q (Hairer, Nørsett y Wanner, 1993, Thm III.3.5).
No hay métodos explícitos A-estables y multipaso lineales.