Distribuciones de Pearson
El sistema Pearson fue originalmente ideado en un esfuerzo para modelar observaciones visiblemente asimétricas.
Excepto en los casos patológicos, una familia de escala de posición puede estar hecha para acomodar la media (primer cumulante) y la varianza (segundo cumulante) arbitrariamente bien.
Sin embargo, no era conocido cómo construir distribuciones de probabilidad en las cuales la asimetría (tercer cumulante estándar) y la curtosis (cuarto cumulante estándar) pudieron estar ajustados igualmente.
Esta necesidad surgió al intentar acomodar modelos teóricos conocidos a datos observados que exhibieron asimetría.
En su escrito original, Pearson (1895, p. 360) identificó cuatro tipos de distribuciones (numeradas del I al IV) además de la distribución normal (la cual era originalmente conocida como tipo V).
La clasificación dependió en si las distribuciones estaban definidas en un intervalo definido, en una semirrecta, o en los reales y si estaban potencialmente asimétricas o necesariamente simétricas.
Conjuntamente los primeros dos documentos de identificación cubren los cinco tipos principales del sistema Pearson (I, III, VI, V y IV).
En un tercer escrito, Pearson (1916) introdujo aún más casos especiales y subtipos (del VII al XII).
430–432) ideó una forma sencilla de visualizar el espacio de parámetros del sistema Pearson, el cual fue adoptado por Pearson (1916, plate 1 and pp.
Los tipos de Pearson son caracterizados por dos cantidades, comúnmente referidas como β1 y β2.
EL diagrama a la derecha muestra dada una distribución concreta a qué tipo de Pearson pertenece (identificado por el punto (β1, β2)).
La distribución beta ganó prominencia debido a su pertenencia al sistema Pearson y era conocida hasta los años 1940 como la distribución Pearson tipo I.
[2] El artículo de Pearson escrito en 1895 introdujo la distribución de tipo IV, la cual contiene la distribución t-Student como caso especial, precediendo por varios años a William Sealy Gosset.
En la ecuación (1), el parámetro a determina un punto estacionario, y por lo tanto bajo ciertas condiciones un moda de la distribución, ya que sale directamente de la ecuación diferencial.
Dado que nos enfrentamos a una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables, su solución es directa: La integral en esta solución simplifica considerablemente cuando ciertos casos especiales de integrando son considerados.
Pearson (1895, p. 367) distingue dos casos principales, determinados por el signo del discriminante (y por tanto el número de raíces reales) de la función cuadrática.
Aplicando estas tres sustituciones, la función cuadrática (2) es transformada en La ausencia de raíces reales es obvio en esta formulación ya que α2 es necesariamente positiva.
Ahora expresamos la solución de la ecuación diferencial (1) en función de y: Pearson (1895, p. 362) lo llamó el "caso trigonométrico" , debido a la integral Involucra la función trigonométrica inversa arcotangente.
Entonces Finalmente sea Aplicando estas sustituciones, obtenemos la función paramétrica : Esta función de densidad sin normalizar tiene soporte en toda la línea real.
Si fijamos su valor a cero, obtenemos una familia simétrica de tres parámetros.
Este caso especial es conocido como Distribución de Pearson tipo VII (cf.
Una parametrización alternativa (y una ligera especialización) de la distribución tipo VII es obtenida permitiendo Lo cual requiere m>3/2.
Ahora el parámetro m solo controla la curtosis de la distribución.
Si m tiende a infinito como λ y σ se mantiene constante, la distribución normal emerge como un caso especial: Esta es la función de densidad de la distribución normal con media λ y desviación estándar σ.
Más aún, la distribución de Pearson tipo VII parametrizada en términos de (λ, σ, γ2) tiene como media λ, como desviación estándar σ, asimetría cero y curtosis exceso es γ2).
La distribución de Pearson tipo VII es equivalente a la distribución t-Student no estandarizada con parámetros ν > 0, μ, σ2 aplicando las siguientes sustituciones a su parametrización original.
Observe que la restricción m > ½ se satisface.
En particular, la distribución t-Student estándar emerge como un subcaso cuando μ = 0 y σ2 = 1, equivalente a las siguientes sustituciones.
), tiene como raíces reales a1 y a2 (no necesariamente distintas): En presencia de raíces reales, la función cuadrática (2) puede ser escrita como y por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es: Pearson (1895, p. 362) la llamó el "caso logarítmico", debido a la integral involucra solo la función logarítmica, y no la función arcotangente como en el caso anterior.
Aplicando la sustitución la cual produce una solución en términos de y que está soportada en el intervalo (0, 1): Uno puede definir Reagrupando las constantes y parámetros, esto se simplifica a: Así
