Distribución χ²
variables aleatorias independientes con distribución normal estándar.
Dado que el estadístico de prueba (como t) se distribuye asintóticamente con normalidad, siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande, la distribución utilizada para el contraste de hipótesis puede aproximarse mediante una distribución normal.
La comprobación de hipótesis utilizando una distribución normal se entiende bien y es relativamente fácil.
Por lo tanto, siempre que se pueda utilizar una distribución normal para una prueba de hipótesis, se puede utilizar una distribución chi-cuadrado.
es una variable aleatoria muestreada de la distribución normal estándar, donde la media es
El subíndice 1 indica que esta distribución chi-cuadrado particular se construye a partir de sólo 1 distribución normal estándar.
Se dice que una distribución chi-cuadrado construida elevando al cuadrado una única distribución normal estándar tiene 1 grado de libertad.
Al igual que los valores extremos de la distribución normal tienen baja probabilidad (y dan valores p pequeños), los valores extremos de la distribución chi-cuadrado tienen baja probabilidad.
[1] Las LRT tienen varias propiedades deseables; en particular, las LRT simples suelen proporcionar la mayor potencia para rechazar la hipótesis nula (lema de Neyman-Pearson) y esto conduce también a propiedades de optimalidad de las LRT generalizadas.
Sin embargo, las aproximaciones normal y chi-cuadrado sólo son válidas asintóticamente.
Por este motivo, es preferible utilizar la distribución t en lugar de la aproximación normal o la aproximación chi-cuadrado para un tamaño de muestra pequeño.
[2] Lancaster muestra las conexiones entre las distribuciones binomial, normal y chi-cuadrado, como sigue.
Específicamente demostraron la normalidad asintótica de la variable aleatoria donde
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene
, afirmada por la hipótesis nula de que la fracción del tipo
En el caso de un resultado binomial (lanzar una moneda al aire), la distribución binomial puede aproximarse mediante una distribución normal (para
Dado que el cuadrado de una distribución normal estándar es la distribución chi-cuadrado con un grado de libertad, la probabilidad de un resultado como 1 cara en 10 intentos puede aproximarse utilizando directamente la distribución normal o la distribución chi-cuadrado para la diferencia normalizada al cuadrado entre el valor observado y el esperado.
Sin embargo, muchos problemas implican más de los dos resultados posibles de una binomial y, en su lugar, requieren 3 o más categorías, lo que da lugar a la distribución multinomial.
Al igual que de Moivre y Laplace buscaron y encontraron la aproximación normal a la binomial, Pearson buscó y encontró una aproximación normal multivariante degenerada a la distribución multinomial (los números de cada categoría suman el tamaño total de la muestra, que se considera fijo).
Pearson demostró que la distribución chi-cuadrado surgía de dicha aproximación normal multivariante a la distribución multinomial, teniendo muy en cuenta la dependencia estadística (correlaciones negativas) entre los números de observaciones en diferentes categorías.
del párrafo anterior está bien definida y es una función de densidad para cualquier
Una variable aleatoria con esta función de densidad se dice que tiene distribución
no es un número natural, la interpretación del término grados de libertad como el número de sumandos de variables independientes normales estándar al cuadrado se pierde, pero se continua usando esa expresión.
una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución
está dado por La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística.
Por lo tanto, dado que la función de distribución acumulativa (CDF) para los grados de libertad apropiados (df, del inglés degree of freedom) da la probabilidad de haber obtenido un valor menos extremo que este punto, restando el valor de CDF de 1 da el valor p. Un valor p bajo, por debajo del nivel de significación elegido, indica significación estadística, es decir, evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.
La siguiente tabla da un número de valores p que coinciden con
Estos valores se pueden calcular evaluando la función cuantil (también conocida como "FDC inversa" o "ICDF") de la distribución ji-cuadrado;[6] por ejemplo, el χ2 ICDF de p = 0.05 y df = 7 rinde 2.1673 ≈ 2.17 como en la tabla anterior, observando que 1 – p es el valor p de la tabla.
Así, en alemán, esto se conocía tradicionalmente como Helmert'sche ("Helmertiano") o "distribución de Helmert".
El nombre "ji-cuadrado" deriva en última instancia de la abreviatura de Pearson para el exponente en una distribución normal multivariada con la letra griega ji, escribiendo −½χ2 por lo que aparecería en la notación moderna como −½xTΣ−1x (Σ siendo la matriz de covarianza).
