En las situaciones más comunes, se pide que una distribución sea un subfibrado vectorial del fibrado tangente
Las distribuciones que satisfacen una condición adicional de integrabilidad dan lugar a foliaciones, es decir, particiones de la variedad en subvariedades más pequeñas.
Aunque comparten el mismo nombre, las distribuciones presentadas en este artículo no tienen nada que ver con las distribuciones en el sentido del análisis.
y una colección de campos vectoriales suaves en tal entorno,
Tal conjunto de campos vectoriales suaves locales
De manera más compacta, una distribución regular es un subfibrado vectorial
A menos que se indique lo contrario, por "distribución" nos referimos en adelante a una distribución regular suave (en el sentido explicado anteriormente).
, sus secciones consisten en los campos vectoriales que son tangentes a
del espacio de todos los campos vectoriales suaves en
es también una subálgebra de Lie: en otras palabras, para dos campos vectoriales cualesquiera
Las distribuciones involutivas son un ingrediente fundamental en el estudio de los sistemas integrables.
hay una variedad integral al que este pertenezca.
Es sencillo ver que cualquier distribución integrable es automáticamente involutiva.
Lo contrario es menos trivial pero también es cierto; resultado que se conoce como teorema de Frobenius.
, es relativamente sencillo probar que los espacios tangentes a las hojas de la foliación dan lugar a una distribución involutiva.
Recíprocamente, toda distribución involutiva determina una foliación cuyas hojas son precisamente las subvariedades integrales conexas y maximales de tal distribución.
Este último enunciado se conoce como teorema de Frobenius global.
, considere su bandera de Lie asociada (téngase en cuenta que algunos autores usan una graduación decreciente negativa en su lugar):
[1] Téngase en cuenta que, en tal caso, la bandera de Lie asociada se estabiliza en un punto determinado
Cualquier distribución débilmente regular tiene un fibrado vectorial graduado asociado:
, sin embargo, en general no es localmente trivial, ya que las álgebras de Lie
es suficiente para generar todo el espacio de campos vectoriales en
Con la notación presentada anteriormente, tal condición se puede escribir como
Aunque ser débilmente regular y ser generadora de corchetes son dos propiedades independientes (véanse los ejemplos a continuación), cuando una distribución satisface ambas, el número entero
, y esos campos vectoriales ya no serán linealmente independientes en todas partes.
No es difícil ver que la dimensión de
Sin embargo, el teorema de Frobenius no se cumple en este contexto y, en general, la involutividad no es suficiente para la integrabilidad (existen contraejemplos en dimensiones bajas).
es integrable si y solo si se cumplen las siguientes dos propiedades: De manera similar al caso regular, una distribución singular integrable define una foliación singular, que intuitivamente consiste en una partición de
En realidad, en la literatura hay una plétora de variaciones, reformulaciones y generalizaciones del teorema de Stefan-Sussman, utilizando diferentes nociones de foliaciones singulares según las aplicaciones que se tengan en mente, e.g.
[12][13] Este artículo incluye material de Distribution en PlanetMath, permitido bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike Licence.