A grandes rasgos, para medir distancias en una variedad subriemanniana, solo se permite moverse a través de curvas tangentes a los llamados subespacios horizontales.
Las variedades subriemannianas (y, a fortiori, también las variedades Riemannianas) poseen una métrica intrínseca llamada métrica de Carnot–Carathéodory.
En estos espacios métricos, la dimensión de Hausdorff es siempre un entero más grande que su dimensión topológica (a menos que sea una variedad riemanniana propiamente).
Las variedades subriemannianas se encuentran a menudo durante el estudio de sistemas constreñidos en mecánica clásica, tales como el movimiento de vehículos en una superficie, el movimiento de brazos mecánicos o la dinámica orbital de satélites.
El grupo de Heisenberg, dentro de la mecánica cuántica, posee una estructura subriemanniana natural.
se entiende un subfribado del fibrado tangente de
se llama horizontal.
se llama completamente no-integrable si para todo
se cumple que todo vector tangente puede representarse como una combinación lineal de vectores del tipo
{\displaystyle A,B,C,D,\dots }
Una variedad subriemanniana es una tripla
es una distribución "horizontal" completamente no-integrable y
una sección suave de formas cuadráticas definidas positivas.
Toda variedad subriemanniana posee la métrica intrínseca, llamada la métrica de Carnot–Carathéodory, definida como donde el ínfimo se toma a lo largo de todas las curvas horizontales
La posición de un auto en el plano está determinada por tres parámetros: dos coordenadas
que describe la orientación del auto.
De este modo, la posición del auto puede ser descrita por un punto en una variedad Nos podemos preguntar cuál es la distancia mínima para llegar de una posición a otra.
Esto define una métrica Carnot–Carathéodory en la variedad Un ejemplo cercano relacionado de una métrica subriemanniana puede ser construido en un grupo de Heisenberg: se toman dos elementos
en la correspondiente álgebra de Lie tales que generen toda el álgebra.
generada por desplazamientos por la izquierda de
Al escoger cualquier forma cuadrática positiva lisa en
se obtiene una métrica subriemanniana en el grupo.
Para toda variedad subriemanniana, existe un hamiltoniano llamado el hamiltoniano subriemanniano, construido a partir de la métrica de la variedad.
A su vez, todo hamiltoniano cuadrático de este tipo induce una variedad subriemanniana.
La existencia de geodésicas correspondientes a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para el hamiltoniano subriemanniano está dada por el teorema de Chow–Rashevskii.