Cuaternión

, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales, tal que: como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley.

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k: Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.

Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices.

q = a + b i + c j + d k

si todas las otras coordenadas son iguales a cero.

igual a cero, se consideran imaginarios puros.

, junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término: El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por: Una forma ligeramente más reducida puede ser: El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo.

Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matriz compleja 2 por 2 que representa al cuaternión.

Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualquier cuaterniones z y w. Usando como norma el valor absoluto, los cuaterniones conforman un álgebra de Banach real.

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por: Usando la forma del inverso, es posible escribir dos cocientes de cuaterniones como: La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas.

Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser: (*)

a + b i + c j + d k

La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso.

= |z - w|, los cuaterniones forman un espacio métrico y todas las operaciones aritméticas son continuas.

Este grupo actúa, mediante conjugación, sobre la copia de

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + bi + cj + dk donde a, b, c y d son, o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2.

Un conjunto que posee todas las propiedades de un cuerpo excepto por

se conoce como un anillo con división o un cuerpo asimétrico.

La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternión no nulo puede comprobarse de manera semejante a como se realiza para los complejos como sigue.

Recordemos que para cualquier número complejo z = a + bi se define su norma como la raíz cuadrada de

El conjunto de los cuaterniones constituye un espacio lineal tetradimensional con base 1, i, j, k. Los cuaterniones no son únicamente una curiosidad algebraica.

Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema de los cuatro cuadrados dado por Lagrange, que dice que todo número natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional.

Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices, en términos computacionales.

Vinculado a esto brotó la idea de generalizar más todavía los números reales.

En este proceso de expansión se construyeron los cuaterniones.

[6]​ Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones.

Según una historia relatada por el propio Hamilton, la solución al problema que le ocupaba le sobrevino un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación: i² = j² = k² = ijk = -1.