Base (álgebra)

que cumple las siguientes condiciones: Así pues, todo vector del espacio vectorial se puede escribir como combinación lineal de vectores de la base.Los coeficientes de esta combinación se llaman componentes o coordenadas del vector en baseUn resultado importante afirma que, aunque un espacio vectorial puede tener más de una base, todas tienen el mismo número de elementos (o el mismo cardinal, en el caso de que sean infinitas).A esta cantidad, que sólo depende del espacio vectorial, la llamaremos dimensión del espacio vectorial.debe cumplir dos condiciones: Independencia lineal: Para cada subconjunto finitose llaman coordenadas o componentes del vector, y están unívocamente determinados por la propiedad de independencia lineal.Veremos que ambas representaciones son la misma, es decir, hay una única forma de escribirConsideremos los vectores que se están en ambas combinaciones lineales, es decir,, donde se han permutado los índices de los escalares cuando haya sido necesario.Pasando todos los términos al lado izquierdo:) y los vectores que no coincidían en ambos lados de la ecuación en realidad no aportaban nada, porque sus coeficientes eranHabitualmente es conveniente o incluso necesario tener un orden en los vectores de la base.Por ejemplo, cuando se habla de orientación o cuando se consideran los coeficientes escalares de un vector respecto a una base sin referirse explícitamente a los elementos de la misma.En este caso, el orden es necesario para asociar cada coeficiente con el correspondiente elemento de la base.La ordenación se puede hacer numerando los elementos de la base.Para enfatizar que se ha elegido un orden, se puede hablar de base ordenada, que por tanto, no sólo un conjunto sin estructura, sino una secuencia o una familia indexada.Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base.Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad como corolario del teorema de intercambio de Steinitz.Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn: Por ejemplo, siestará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan aComo se especificó antes, se denomina espacio vectorial de dimensión finita a todo aquel generado por un conjunto finito de vectores.En este caso puede definirse la dimensión del espacio como el cardinal del conjunto de vectores que constituye la base.Por ejemplo, una recta homogénea en el plano, es decir que pasa por el origen determinado en este, tiene dimensión uno, por ser su base un único vector.Evidentemente, esta dimensión es menor a la del plano en el cual la recta se encuentra contenida.Considérese ahora el problema inverso: dada una base, se busca el espacio que genera., el objetivo entonces es hallar el conjunto de combinaciones linealesEn el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, como los que aparecen en análisis funcional existen algunas distinciones pertinentes que es importante señalar.Puede probarse que todas las bases de Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o cardinal se llama dimensión lineal o dimensión de Hamel.En dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en (1) se da siempre la igualdad.