Álgebra de Boole

Según Edward Vermilye Huntington, el término Boolean algebra fue sugerido por primera vez por Henry M. Sheffer en 1913, aunque Charles Sanders Peirce dio el título A Boolian Algebra with One Constant al primer capítulo de su The Simplest Mathematics en 1880.El álgebra elemental, por otro lado, utiliza operadores aritméticos como la suma, la multiplicación, la resta y la división.Se denomina así en honor a George Boole (1815-1864), matemático inglés autodidacta que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto de 1847, The Mathematical Analysis of Logic,[1]​ publicado en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton.Esta lógica se puede aplicar a dos campos: Dado un conjuntoen el que se han definido dos leyes de composición internaes un Retículo distributivo,[5]​ y complementario, esto es: Basándose en esta definición se determina lo siguiente.Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:son un álgebra de boole, si cumple los siguientes axiomas: Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales: Sea:Si se cumple que: Para los valores a, b deSi se cumple que: Para los valores a, b delas variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}.en este caso está formado por dos elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin pérdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho: Donde: La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.es un álgebra de Boole al cumplir los siguientes axiomas: Luegoálgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas condiciones: entonces a es menor o igual que b.es: Para conjuntos de más elementos se aplica el mismo criterio.En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), le asigna un B de P(U).Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la unión A y B. Definiendo la unión de dos conjuntos como: El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la intersección A y B. Definiendo la intersección de dos conjuntos como: El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y de B.conocido, como álgebra de Boole si cumple las siguientes axiomas: Concluyendo quePartiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas: DadoPara toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.es un álgebra de Boole al cumple los siguientes axiomas: LuegoPartiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas: Sabiendo queEl álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones internas: una unaria y dos binarias, como ya hemos visto, siendo cómoda esta definición.Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de Boole consideraremos la lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, etc. Que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las conectivas lógicas sobre esas proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a, b, c, etc.La negación conjunta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NOR.La conjunción opuesta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NAND.y donde a, b, c, d, ... son variables o constantes que pueden tomar valores del conjunto, donde se han definido las siguientes operaciones internas: podemos decir que son fórmulas bien formadas: fbf: 1: Una variable o constante: 2: La negación de una variable o constante: 3: La operación binaria entre dos variables o constantes: 4: El resultado de sustituir en una fórmula bien formada, una variable o constante por una fórmula bien formada: La aplicación repetida de estos criterios dará siempre una fórmula bien formada.Si existen paréntesis, deben resolverse primero los más internos y trabajar hacia fuera.