Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.o informalmente como: «no (A y B)» es lo mismo que «(no A) o (no B)»y también,«no (A o B)» es lo mismo que «(no A) y (no B)» Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma: donde: Entre las aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales.son proposiciones expresadas en algún sistema formal.Aunque una forma de sustitución más clara para la conjunción y la disyunción es la que se muestra abajo: La conjunción de dos proposiciones es equivalente a la negación de la disyunción de los términos negados La disyunción de dos proposiciones es equivalente a la negación de la conjunción de la negación de P y la negación de Q Conjunción con P negada La conjunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la disyunción de P y la negación de Q Conjunción con Q negada La conjunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la disyunción de la negación de P y Q Conjunción tanto de P como de Q negadas La conjunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la negación de la disyunción de P y Q Disyunción con P negada La disyunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la conjunción de P y la negación de Q Esta forma también es equivalente al implica de la negación del término P y la negación del término Q Disyunción con Q negada La disyunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la conjunción de la negación de P y Q Disyunción tanto de P como de Q negadas La disyunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la conjunción de la disyunción de P y Q Esto pone de relieve la necesidad de invertir tanto en las entradas como en las salidas, así como también cambiar el operador, haciendo una sustitución.En la teoría de conjuntos y el álgebra de Boole, a menudo se indica como «intercambio de unión e intersección bajo complementarios»,[4] que puede ser expresado formalmente como: donde: La forma generalizada es: donde I es un conjunto indexado, posiblemente no numerable.Se puede recordar la ley de De Morgan, en notación de conjunto, mediante la regla nemotécnica "romper la línea, cambiar el signo".[5] En ingeniería electrónica e informática, la ley de De Morgan se escribe comúnmente como: Que se puede leer como:Aunque Aristóteles ya había hecho una observación similar y eran conocidas por los lógicos griegos y medievales[7] (en el siglo XIV, Guillermo de Ockham escribió las palabras que resultarían leyendo las leyes a cabo),[8] a De Morgan se le da crédito de afirmar formalmente las leyes y de su incorporación al lenguaje de la lógica.Las leyes de De Morgan pueden ser probadas fácilmente, e incluso pueden parecer triviales.[9] Sin embargo, estas leyes son útiles para hacer inferencias válidas en las pruebas y los argumentos deductivos.En el caso de su aplicación a una disyunción, considere la siguiente afirmación: «es falso que uno de A o B es verdadero», que se escribe como: En que se ha establecido que ni A ni B es cierto, entonces debe seguir que tanto A no es verdad como B no es verdad, que puede ser escrito directamente como: Presentadas en español, esto sigue la lógica de que «Como es falso que dos cosas sean verdaderas, al menos uno de ellos debe ser falsa».Trabajando en dirección opuesta, la segunda expresión afirma que A es falsa y B es falsa (o equivalentemente que «no A» y «no B» son verdaderas).Sabiendo esto, una disyunción de A y B también debe ser falsas.Por lo tanto, la negación de dicha separación debe ser verdad, y el resultado es idéntico al de la primera reivindicación.se realiza por primera probando que, y luego probando queobviamente este procedimiento es válido.Debido a que esto es cierto para cualquier arbitrarioPara probar la dirección inversa, asumir quede tal forma queDe ello resulta que, contradiciendo la hipótesis de queEn extensiones de la lógica proposicional, se mantiene la dualidad clásica, (es decir, a cualquier operador lógico siempre podemos encontrar su doble), ya que en la presencia de las identidades que rigen la negación, siempre se puede introducir un operador que sea el doble de De Morgan del otro.Esto conduce a una importante propiedad de la lógica basada en la lógica clásica, a saber, la existencia de formas normales de negación: cualquier fórmula es equivalente a otra fórmula en la que solo se producen negaciones aplicadas a las atómicas no lógicas de la fórmula.La existencia de formas normales negadas conduce a muchas aplicaciones, por ejemplo en el diseño de circuitos digitales, donde se utiliza para manipular los tipos de compuertas lógicas, y en la lógica formal, donde es un requisito previo para encontrar la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva de una fórmula.Los programadores de computadoras los utilizan para simplificar o bien negar complicadas condiciones lógicas.También suelen ser útiles para los cálculos en la teoría de probabilidad elemental.Vamos a definir el dual de cualquier operador P(p, q, ...) en función de las proposiciones elementales p, q, ... para ser el operadordefinido por Esta idea se puede generalizar a los cuantificadores, así que, por ejemplo el cuantificador universal y cuantificador existencial son duales: Relacionar estas dualidades del cuantificador a las leyes de De Morgan, establecer un modelo con un pequeño número de elementos en su dominio D, tales como Entonces y Pero, usando las leyes de De Morgan, y verificando las dualidades del cuantificador en el modelo.Entonces, las dualidades del cuantificador pueden ser extendidas aún más a la lógica modal, que relaciona el cuadro de los operadores («necesariamente») y diamante («posiblemente»): En su aplicación a las modalidades aléticas de posibilidad y necesidad, Aristóteles observó este caso, y en el caso de la lógica modal normal, se puede entender la relación de estos operadores modales a la cuantificación mediante la creación de modelos utilizando la semántica de Kripke. ]
Las leyes de De Morgan representadas como un circuito con puertas lógicas
