Una generalización directa admite que
sea cualquier anillo conmutativo.
Algunos autores[1] utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".
, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:
Tal que es bilineal, es decir, tal que para todo
es el cuerpo base del álgebra
Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario
y una operación bilineal sobre el espacio vectorial como la arriba descrita; entonces
son isomorfas si existe una aplicación lineal biyectiva
Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.
Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de
Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para
, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en
, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.
, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos
Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en
El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión
es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación).
Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.
En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo
, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=c_{i,j}^{k}}
Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en:
{\displaystyle (\mathbf {xy} )^{k}=c_{i,j}^{k}x^{i}y^{j}}
es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si
Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de
; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.
Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa.
Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.
Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar: Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos.