En matemáticas , una superficie es un modelo matemático del concepto común de superficie . Es una generalización de un plano , pero, a diferencia de un plano, puede ser curvo ; esto es análogo a una curva que generaliza una línea recta .
Existen varias definiciones más precisas, dependiendo del contexto y de las herramientas matemáticas que se utilicen para el estudio. Las superficies matemáticas más simples son planos y esferas en el espacio tridimensional euclidiano . La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Normalmente, en geometría algebraica , una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otras singularidades ), mientras que, en topología y geometría diferencial , puede que no.
Una superficie es un espacio topológico de dimensión dos; esto significa que un punto en movimiento sobre una superficie puede moverse en dos direcciones (tiene dos grados de libertad ). En otras palabras, alrededor de casi todos los puntos existe un parche de coordenadas en el que se define un sistema de coordenadas bidimensional . Por ejemplo, la superficie de la Tierra se parece (idealmente) a una esfera, y la latitud y la longitud proporcionan coordenadas bidimensionales (excepto en los polos y a lo largo del meridiano 180 ).
A menudo, una superficie se define mediante ecuaciones que se satisfacen con las coordenadas de sus puntos. Este es el caso de la gráfica de una función continua de dos variables. El conjunto de los ceros de una función de tres variables es una superficie, a la que se le llama superficie implícita . [1] Si la función definitoria de tres variables es un polinomio , la superficie es una superficie algebraica . Por ejemplo, la esfera unitaria es una superficie algebraica, tal como puede definirse mediante la ecuación implícita
Una superficie también puede definirse como la imagen , en algún espacio de dimensión al menos 3, de una función continua de dos variables (se requieren algunas condiciones adicionales para asegurar que la imagen no sea una curva ). En este caso se dice que se tiene una superficie paramétrica , que está parametrizada por estas dos variables, llamadas parámetros . Por ejemplo, la esfera unitaria puede parametrizarse mediante los ángulos de Euler , también llamados longitud u y latitud v por
Las ecuaciones paramétricas de superficies suelen ser irregulares en algunos puntos. Por ejemplo, todos menos dos puntos de la esfera unitaria son la imagen, según la parametrización anterior, de exactamente un par de ángulos de Euler ( módulo 2 π ). Para los dos puntos restantes (los polos norte y sur ), uno tiene cos v = 0 , y la longitud u puede tomar cualquier valor. Además, hay superficies para las que no puede existir una única parametrización que cubra toda la superficie. Por lo tanto, a menudo se consideran superficies que están parametrizadas por varias ecuaciones paramétricas, cuyas imágenes cubren la superficie. Esto se formaliza mediante el concepto de variedad : en el contexto de variedades, típicamente en topología y geometría diferencial , una superficie es una variedad de dimensión dos; esto significa que una superficie es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto del plano euclidiano (ver Superficie (topología) y Superficie (geometría diferencial) ). Esto permite definir superficies en espacios de dimensión superior a tres, e incluso superficies abstractas , que no están contenidas en ningún otro espacio. Por otro lado, esto excluye superficies que tienen singularidades , como el vértice de una superficie cónica o los puntos donde una superficie se cruza consigo misma.
En geometría clásica , una superficie se define generalmente como el lugar geométrico de un punto o una línea. Por ejemplo, una esfera es el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia determinada de un punto fijo, llamado centro; una superficie cónica es el lugar geométrico de una línea que pasa por un punto fijo y cruza una curva ; una superficie de revolución es el lugar geométrico de una curva que gira alrededor de una línea. Una superficie reglada es el lugar geométrico de una línea en movimiento que satisface algunas restricciones; En terminología moderna, una superficie reglada es una superficie que es una unión de líneas.
Hay varios tipos de superficies que se consideran en matemáticas. Por tanto, es necesaria una terminología inequívoca para distinguirlos cuando sea necesario. Una superficie topológica es una superficie que es una variedad de dimensión dos (ver § Superficie topológica). Una superficie diferenciable es una superficie que es una variedad diferenciable (ver § Superficie diferenciable). Toda superficie diferenciable es una superficie topológica, pero lo contrario es falso.
A menudo se supone implícitamente que una "superficie" está contenida en un espacio euclidiano de dimensión 3, normalmente R 3 . Una superficie que está contenida en un espacio proyectivo se llama superficie proyectiva (ver § Superficie proyectiva). Una superficie que se supone no debe estar incluida en otro espacio se llama superficie abstracta .
Una superficie paramétrica es la imagen de un subconjunto abierto del plano euclidiano (típicamente ) mediante una función continua , en un espacio topológico , generalmente un espacio euclidiano de dimensión al menos tres. Por lo general, se supone que la función es continuamente diferenciable , y este será siempre el caso en este artículo.
Específicamente, una superficie paramétrica está dada por tres funciones de dos variables u y v , llamadas parámetros
Como la imagen de dicha función puede ser una curva (por ejemplo, si las tres funciones son constantes con respecto a v ), se requiere una condición adicional, generalmente que, para casi todos los valores de los parámetros, la matriz jacobiana
tiene rango dos. Aquí "casi todos" significa que los valores de los parámetros donde el rango es dos contienen un subconjunto abierto denso del rango de parametrización. Para superficies en un espacio de dimensión superior, la condición es la misma, excepto por el número de columnas de la matriz jacobiana.
Un punto p donde la matriz jacobiana anterior tiene rango dos se llama regular o, más propiamente, la parametrización se llama regular en p .
El plano tangente en un punto regular p es el único plano que pasa por p y tiene una dirección paralela a los dos vectores fila de la matriz jacobiana. El plano tangente es un concepto afín , porque su definición es independiente de la elección de una métrica . En otras palabras, cualquier transformación afín mapea el plano tangente a la superficie en un punto al plano tangente a la imagen de la superficie en la imagen del punto.
La recta normal a un punto de una superficie es la única recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano tangente; el vector normal es un vector paralelo a la normal.
Para otras invariantes diferenciales de superficies, en las proximidades de un punto, véase Geometría diferencial de superficies .
Un punto de una superficie paramétrica que no es regular es irregular . Hay varios tipos de puntos irregulares.
Puede ocurrir que un punto irregular se vuelva regular, si se cambia la parametrización. Éste es el caso de los polos en la parametrización de la esfera unitaria mediante los ángulos de Euler : basta con permutar el papel de los diferentes ejes de coordenadas para cambiar los polos.
Por otro lado, considere el cono circular de la ecuación paramétrica
El vértice del cono es el origen (0, 0, 0) , y se obtiene para t = 0 . Es un punto irregular que permanece irregular sea cual sea la parametrización que se elija (de lo contrario existiría un único plano tangente). Un punto tan irregular, donde el plano tangente no está definido, se dice singular .
Hay otro tipo de puntos singulares. Están los puntos de autocruce , es decir los puntos donde la superficie se cruza consigo misma. En otras palabras, estos son los puntos que se obtienen para (al menos) dos valores diferentes de los parámetros.
Sea z = f ( x , y ) una función de dos variables reales. Esta es una superficie paramétrica, parametrizada como
Cada punto de esta superficie es regular, ya que las dos primeras columnas de la matriz jacobiana forman la matriz identidad de rango dos.
Una superficie racional es una superficie que puede parametrizarse mediante funciones racionales de dos variables. Es decir, si f i ( t , u ) son, para i = 0, 1, 2, 3 , polinomios en dos indeterminados, entonces la superficie paramétrica, definida por
es una superficie racional.
Una superficie racional es una superficie algebraica , pero la mayoría de las superficies algebraicas no son racionales.
Una superficie implícita en un espacio euclidiano (o, más generalmente, en un espacio afín ) de dimensión 3 es el conjunto de los ceros comunes de una función diferenciable de tres variables.
Implícito significa que la ecuación define implícitamente una de las variables en función de las otras variables. Esto se hace más exacto mediante el teorema de la función implícita : si f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 , y la derivada parcial en z de f no es cero en ( x 0 , y 0 , z 0 ) , entonces existe una función diferenciable φ ( x , y ) tal que
en una vecindad de ( x 0 , y 0 , z 0 ) . En otras palabras, la superficie implícita es la gráfica de una función cerca de un punto de la superficie donde la derivada parcial en z es distinta de cero. Por tanto, una superficie implícita tiene, localmente, una representación paramétrica, excepto en los puntos de la superficie donde las tres derivadas parciales son cero.
Un punto de la superficie donde al menos una derivada parcial de f es distinta de cero se llama regular . En tal punto , el plano tangente y la dirección de la normal están bien definidos y pueden deducirse, con el teorema de función implícito de la definición dada anteriormente, en § Plano tangente y vector normal. La dirección de la normal es el gradiente , es decir el vector.
El plano tangente está definido por su ecuación implícita
Un punto singular de una superficie implícita (en ) es un punto de la superficie donde se cumple la ecuación implícita y las tres derivadas parciales de su función definitoria son todas cero. Por tanto, los puntos singulares son las soluciones de un sistema de cuatro ecuaciones en tres indeterminadas. Como la mayoría de estos sistemas no tienen solución, muchas superficies no tienen ningún punto singular. Una superficie sin ningún punto singular se llama regular o no singular .
El estudio de superficies cercanas a sus puntos singulares y la clasificación de los puntos singulares es la teoría de la singularidad . Un punto singular está aislado si no hay otro punto singular en su vecindad. De lo contrario, los puntos singulares pueden formar una curva. Este es especialmente el caso de superficies que se cruzan solas.
Originalmente, una superficie algebraica era una superficie que podía definirse mediante una ecuación implícita
donde f es un polinomio en tres indeterminados , con coeficientes reales.
El concepto se ha ampliado en varias direcciones, definiendo superficies sobre campos arbitrarios y considerando superficies en espacios de dimensión arbitraria o en espacios proyectivos . También se consideran superficies algebraicas abstractas, que no están explícitamente incrustadas en otro espacio.
Se aceptan polinomios con coeficientes en cualquier campo para definir una superficie algebraica. Sin embargo, el campo de coeficientes de un polinomio no está bien definido, ya que, por ejemplo, un polinomio con coeficientes racionales también puede considerarse como un polinomio con coeficientes reales o complejos . Por tanto, el concepto de punto de la superficie se ha generalizado de la siguiente forma. [2] [ página necesaria ]
Dado un polinomio f ( x , y , z ) , sea k el campo más pequeño que contiene los coeficientes, y K sea una extensión algebraicamente cerrada de k , de grado de trascendencia infinita . [3] Entonces un punto de la superficie es un elemento de K 3 que es solución de la ecuación
Si el polinomio tiene coeficientes reales, el cuerpo K es el cuerpo complejo , y un punto de la superficie a la que pertenece (un punto habitual) se llama punto real . Un punto que pertenece a k 3 se llama racional sobre k , o simplemente punto racional , si k es el cuerpo de números racionales .
Una superficie proyectiva en un espacio proyectivo de dimensión tres es el conjunto de puntos cuyas coordenadas homogéneas son ceros de un único polinomio homogéneo en cuatro variables. De manera más general, una superficie proyectiva es un subconjunto de un espacio proyectivo, que es una variedad proyectiva de dimensión dos.
Las superficies proyectivas están fuertemente relacionadas con las superficies afines (es decir, superficies algebraicas ordinarias). Se pasa de una superficie proyectiva a la superficie afín correspondiente estableciendo en una alguna coordenada o indeterminada de los polinomios definitorios (normalmente el último). Por el contrario, se pasa de una superficie afín a su superficie proyectiva asociada (llamada terminación proyectiva ) homogeneizando el polinomio definitorio (en el caso de superficies en un espacio de dimensión tres), o homogeneizando todos los polinomios del ideal definitorio (para superficies en un espacio de dimensión superior).
No se puede definir el concepto de superficie algebraica en un espacio de dimensión superior a tres sin una definición general de variedad algebraica y de dimensión de variedad algebraica . De hecho, una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos .
Más precisamente, una superficie algebraica en un espacio de dimensión n es el conjunto de ceros comunes de al menos n – 2 polinomios, pero estos polinomios deben satisfacer condiciones adicionales que pueden no ser inmediatas de verificar. En primer lugar, los polinomios no deben definir una variedad o un conjunto algebraico de dimensión superior, lo que suele ser el caso si uno de los polinomios está en el ideal generado por los demás. Generalmente, n – 2 polinomios definen un conjunto algebraico de dimensión dos o superior. Si la dimensión es dos, el conjunto algebraico puede tener varios componentes irreducibles . Si solo hay un componente, los n – 2 polinomios definen una superficie, que es una intersección completa . Si hay varios componentes, entonces se necesitan más polinomios para seleccionar un componente específico.
La mayoría de los autores consideran como superficie algebraica sólo las variedades algebraicas de dimensión dos, pero algunos también consideran como superficies todos los conjuntos algebraicos cuyos componentes irreducibles tienen la dimensión dos.
En el caso de superficies en un espacio de dimensión tres, toda superficie es una intersección completa, y una superficie está definida por un único polinomio, que es irreducible o no, dependiendo de si se consideran superficies los conjuntos algebraicos no irreducibles de dimensión dos. O no.
En topología , una superficie se define generalmente como una variedad de dimensión dos. Esto significa que una superficie topológica es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de un plano euclidiano .
Cada superficie topológica es homeomorfa a una superficie poliédrica de modo que todas las facetas son triángulos . El estudio combinatorio de tales disposiciones de triángulos (o, más generalmente, de símplex de dimensiones superiores ) es el objeto inicial de la topología algebraica . Esto permite la caracterización de las propiedades de las superficies en términos de invariantes puramente algebraicas , como el género y los grupos de homología .
Las clases de homeomorfismo de las superficies se han descrito completamente (ver Superficie (topología) ).
En matemáticas , la geometría diferencial de superficies se ocupa de la geometría diferencial de superficies lisas con varias estructuras adicionales, la mayoría de las veces, una métrica de Riemann . Las superficies se han estudiado ampliamente desde varias perspectivas: extrínsecamente , en relación con su incrustación en el espacio euclidiano , e intrínsecamente , reflejando sus propiedades determinadas únicamente por la distancia dentro de la superficie medida a lo largo de curvas en la superficie. Uno de los conceptos fundamentales investigados es la curvatura gaussiana , estudiada en profundidad por primera vez por Carl Friedrich Gauss , [4] quien demostró que la curvatura era una propiedad intrínseca de una superficie, independiente de su incrustación isométrica en el espacio euclidiano.
Las superficies surgen naturalmente como gráficas de funciones de un par de variables y, a veces, aparecen en forma paramétrica o como lugares geométricos asociados a curvas espaciales . Los grupos de Lie (en el espíritu del programa de Erlangen ), a saber, los grupos de simetría del plano euclidiano , la esfera y el plano hiperbólico, desempeñaron un papel importante en su estudio . Estos grupos de Lie se pueden utilizar para describir superficies de curvatura gaussiana constante; También proporcionan un ingrediente esencial en el enfoque moderno de la geometría diferencial intrínseca a través de conexiones . Por otro lado, también se han estudiado ampliamente las propiedades extrínsecas que dependen de la incrustación de una superficie en el espacio euclidiano. Esto está bien ilustrado por las ecuaciones no lineales de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones : aunque Euler desarrolló las ecuaciones de una variable para comprender las geodésicas , definidas independientemente de una incrustación, una de las principales aplicaciones de Lagrange de las ecuaciones de dos variables fue a superficies mínimas. , un concepto que sólo puede definirse en términos de incrustación.
Un paisaje fractal o una superficie fractal se genera utilizando un algoritmo estocástico diseñado para producir un comportamiento fractal que imita la apariencia del terreno natural . En otras palabras, la superficie resultante del procedimiento no es una superficie determinista, sino aleatoria, que exhibe un comportamiento fractal. [5]
Muchos fenómenos naturales exhiben alguna forma de autosemejanza estadística que puede modelarse mediante superficies fractales . [6] Además, las variaciones en la textura de la superficie proporcionan importantes señales visuales sobre la orientación y las pendientes de las superficies, y el uso de patrones fractales casi autosemejantes puede ayudar a crear efectos visuales de apariencia natural. [7] El modelado de las superficies rugosas de la Tierra mediante el movimiento browniano fraccionario fue propuesto por primera vez por Benoit Mandelbrot . [8]
Debido a que el resultado previsto del proceso es producir un paisaje, en lugar de una función matemática, con frecuencia se aplican procesos a tales paisajes que pueden afectar la estacionariedad e incluso el comportamiento fractal general de dicha superficie , con el fin de producir una imagen más convincente. paisaje.
Según RR Shearer , la generación de superficies y paisajes de apariencia natural fue un importante punto de inflexión en la historia del arte, donde la distinción entre imágenes geométricas generadas por computadora y arte natural creado por el hombre se volvió borrosa. [9] El primer uso de un paisaje generado por fractales en una película fue en 1982 para la película Star Trek II: La ira de Khan . Loren Carpenter refinó las técnicas de Mandelbrot para crear un paisaje alienígena. [10]
Gauss, Carl Friedrich (1902), Investigaciones generales de superficies curvas de 1825 y 1827, Biblioteca de la Universidad de Princeton
![{\displaystyle {\begin{alineado}x&=f_{1}(u,v),\\[4pt]y&=f_{2}(u,v),\\[4pt]z&=f_{3}( u,v)\,.\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8946cd2573c372525b0dec0e79413ba390f32f8)
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