Puerta lógica cuántica

Circuito básico en computación cuántica.

En la computación cuántica y específicamente en el modelo de computación del circuito cuántico , una puerta lógica cuántica (o simplemente puerta cuántica ) es un circuito cuántico básico que opera en una pequeña cantidad de qubits . Las puertas lógicas cuánticas son los componentes básicos de los circuitos cuánticos, al igual que las puertas lógicas clásicas lo son para los circuitos digitales convencionales.

A diferencia de muchas puertas lógicas clásicas, las puertas lógicas cuánticas son reversibles . Es posible realizar computación clásica utilizando únicamente puertas reversibles. Por ejemplo, la puerta Toffoli reversible puede implementar todas las funciones booleanas , a menudo a costa de tener que utilizar bits ancilla . La puerta de Toffoli tiene un equivalente cuántico directo, lo que demuestra que los circuitos cuánticos pueden realizar todas las operaciones realizadas por los circuitos clásicos.

Las puertas cuánticas son operadores unitarios y se describen como matrices unitarias relativas a alguna base ortonormal . Por lo general , se utiliza la base computacional , lo que, a menos que se compare con algo, solo significa que para un sistema cuántico de nivel d (como un qubit , un registro cuántico o qutrits y qudits ) ^{[1] : 22–23} los vectores de base ortonormal están etiquetados o utilizan notación binaria . ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

Historia

Puertas de lógica cuántica comunes por nombre (incluida la abreviatura), forma(s) de circuito y las matrices unitarias correspondientes

La notación actual para las puertas cuánticas fue desarrollada por muchos de los fundadores de la ciencia de la información cuántica, incluidos Adriano Barenco, Charles Bennett , Richard Cleve , David P. DiVincenzo , Norman Margolus , Peter Shor , Tycho Sleator, John A. Smolin y Harald Weinfurter. ^[2] basándose en la notación introducida por Richard Feynman en 1986. ^[3]

Representación

Los estados de qubits únicos que no están entrelazados y carecen de fase global se pueden representar como puntos en la superficie de la esfera de Bloch , escritos como Las rotaciones alrededor de los ejes x, y, z de la esfera de Bloch se representan mediante las puertas del operador de rotación . ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle .}$

Las puertas de lógica cuántica están representadas por matrices unitarias . Una puerta que actúa sobre qubits está representada por una matriz unitaria, y el conjunto de todas esas puertas con la operación grupal de multiplicación de matrices ^[a] es el grupo unitario U(2 ⁿ ). ^[2] Los estados cuánticos sobre los que actúan las puertas son vectores unitarios en dimensiones complejas , con la norma euclidiana compleja (la norma 2 ). ^{[4] : 66  [5] : 56, 65} Los vectores base (a veces llamados estados propios ) son los posibles resultados si se mide el estado de los qubits , y un estado cuántico es una combinación lineal de estos resultados. Las puertas cuánticas más comunes operan en espacios vectoriales de uno o dos qubits, al igual que las puertas lógicas clásicas comunes operan en uno o dos bits . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Aunque las puertas lógicas cuánticas pertenecen a grupos de simetría continua , el hardware real es inexacto y, por lo tanto, tiene una precisión limitada. La aplicación de puertas suele introducir errores y la fidelidad de los estados cuánticos disminuye con el tiempo. Si se utiliza la corrección de errores , las puertas utilizables se restringen aún más a un conjunto finito. ^{[4] : cap. 10  [1] : cap. 14} Más adelante en este artículo, esto se ignora ya que la atención se centra en las propiedades de las puertas cuánticas ideales.

Los estados cuánticos suelen estar representados por "kets", de una notación conocida como bra–ket .

La representación vectorial de un solo qubit es

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}.}$

Aquí, y están las amplitudes de probabilidad complejas del qubit. Estos valores determinan la probabilidad de medir un 0 o un 1, al medir el estado del qubit. Consulte las medidas a continuación para obtener más detalles. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}}$

El valor cero está representado por el ket y el valor uno está representado por el ket . ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

El producto tensorial (o producto de Kronecker ) se utiliza para combinar estados cuánticos. El estado combinado de un registro de qubit es el producto tensorial de los qubits que lo constituyen. El producto tensorial se denota con el símbolo . ${\displaystyle \otimes }$

La representación vectorial de dos qubits es: ^[6]

${\displaystyle |\psi \rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}.}$

La acción de la puerta sobre un estado cuántico específico se encuentra multiplicando el vector , que representa el estado, por la matriz que representa la puerta. El resultado es un nuevo estado cuántico : ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle .}$

Ejemplos notables

Existe un número incontablemente infinito de puertas. Algunos de ellos han sido nombrados por varios autores, ^{[2] [1] [4] [5] [7] [8] [9]} y a continuación se muestran algunos de los más utilizados en la literatura.

Puerta de identidad

La puerta de identidad es la matriz de identidad , generalmente escrita como I , y se define para un solo qubit como

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

donde I es independiente de la base y no modifica el estado cuántico. La puerta de identidad es más útil cuando se describe matemáticamente el resultado de varias operaciones de puerta o cuando se analizan circuitos de múltiples qubits.

Puertas de Pauli ( X , Y , Z )

Puertas cuánticas (de arriba a abajo): Puerta de identidad, NO puerta, Pauli Y, Pauli Z

Las puertas de Pauli son las tres matrices de Pauli y actúan sobre un solo qubit. Los Pauli X , Y y Z equivalen, respectivamente, a una rotación alrededor de los ejes x , y y z de la esfera de Bloch en radianes. ^[b] ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \pi }$

La puerta Pauli- X es el equivalente cuántico de la puerta NOT para ordenadores clásicos con respecto a la base estándar , que distingue el eje z en la esfera de Bloch . A veces se le llama bit-flip, ya que se asigna hacia y hacia . De manera similar, Pauli- Y se asigna a y a . Pauli Z deja el estado base sin cambios y lo asigna a . Debido a esta naturaleza, a Pauli Z a veces se le llama cambio de fase. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle i|1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle -i|0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle -|1\rangle }$

Estas matrices generalmente se representan como

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Las matrices de Pauli son involutivas , lo que significa que el cuadrado de una matriz de Pauli es la matriz identidad .

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

Las matrices de Pauli también son anti-conmutaciones , por ejemplo ${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

La matriz exponencial de una matriz de Pauli es un operador de rotación , a menudo escrito como ${\displaystyle \sigma _{j}}$ ${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

Puertas controladas

Representación del circuito de la puerta U controlada

Las puertas controladas actúan sobre 2 o más qubits, donde uno o más qubits actúan como control para alguna operación. ^[2] Por ejemplo, la puerta NOT controlada (o CNOT o CX) actúa en 2 qubits y realiza la operación NOT en el segundo qubit solo cuando el primer qubit es , y en caso contrario la deja sin cambios. Con respecto a la base , , , , está representada por la matriz unitaria hermitiana : ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

La puerta CNOT (o Pauli- X controlada ) se puede describir como la puerta que mapea los estados básicos , donde es XOR . ${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$ ${\displaystyle \oplus }$

El CNOT se puede expresar en base de Pauli como:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

Al ser un operador unitario hermitiano, CNOT tiene la propiedad de que y , y es involutivo . ${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$ ${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}}$

De manera más general, si U es una puerta que opera en un solo qubit con representación matricial

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

entonces la puerta U controlada es una puerta que opera en dos qubits de tal manera que el primer qubit sirve como control. Mapea los estados base de la siguiente manera.

Diagramas de circuitos de puertas Pauli controladas (de izquierda a derecha): CNOT (o X controlada), Y controlada y Z controlada.

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

La matriz que representa la U controlada es

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

Cuando U es uno de los operadores de Pauli, X , Y , Z , a veces se utilizan los términos respectivos "controlado- X ", "controlado- Y " o "controlado- Z ". ^{[4] : 177–185} A veces esto se reduce a solo C X , CY y C Z .

En general, cualquier puerta unitaria de qubit único se puede expresar como , donde H es una matriz hermitiana , y luego la U controlada es ${\displaystyle U=e^{iH}}$ ${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

El control se puede extender a puertas con un número arbitrario de qubits ^[2] y funciones en lenguajes de programación. ^[10] Las funciones pueden estar condicionadas a estados de superposición. ^{[11] [12]}

Control clásico

Ejemplo: Se mide el qubit y el resultado de esta medición es un valor booleano , que es consumido por la computadora clásica. Si las medidas son 1, entonces la computadora clásica le dice a la computadora cuántica que aplique la puerta U en . En los diagramas de circuitos, las líneas simples son qubits y las líneas duplicadas son bits . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Las puertas también pueden controlarse mediante la lógica clásica. Una computadora cuántica está controlada por una computadora clásica y se comporta como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas ejecutar en qué qubits. ^{[13] : 42–43  [14]} El control clásico es simplemente la inclusión u omisión de puertas en la secuencia de instrucciones de la computadora cuántica. ^{[4] : 26–28  [1] : 87–88}

Puertas de cambio de fase

El cambio de fase es una familia de puertas de un solo qubit que mapean los estados básicos y . La probabilidad de medir a o no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo modifica la fase del estado cuántico. Esto equivale a trazar un círculo horizontal (una línea de latitud constante) o una rotación alrededor del eje z en la esfera de Bloch en radianes. La puerta de cambio de fase está representada por la matriz: ${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

¿ Dónde está el cambio de fase con el período 2π ? Algunos ejemplos comunes son la puerta T donde (históricamente conocida como puerta), la puerta de fase (también conocida como puerta S, escrita como S , aunque S a veces se usa para puertas SWAP) donde y la puerta Pauli-Z donde . ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi /8}$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$

Las puertas de cambio de fase están relacionadas entre sí de la siguiente manera:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

Tenga en cuenta que la puerta de fase no es hermitiana (excepto para todos ). Estas puertas son diferentes de sus conjugados hermitianos: . Las dos puertas adjuntas (o transpuestas conjugadas ) a veces se incluyen en conjuntos de instrucciones. ^{[15] [16]} ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{\dagger }}$

Puerta Hadamard

La puerta Hadamard o Walsh-Hadamard, que lleva el nombre de Jacques Hadamard ( en francés: [adamaʁ] ) y Joseph L. Walsh , actúa sobre un solo qubit. Mapea los estados base y (crea un estado de superposición igual si se le da un estado base computacional). Los dos estados y a veces se escriben y respectivamente. La puerta de Hadamard realiza una rotación alrededor del eje en la esfera de Bloch y, por tanto, es involutiva . Está representado por la matriz de Hadamard : ${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$

Representación del circuito de la puerta de Hadamard.

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Si se utiliza la puerta hermitiana (así ) Hadamard para realizar un cambio de base , se voltea y . Por ejemplo, y ${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle HZH=X}$ ${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

Puerta de intercambio

Representación del circuito de la puerta SWAP.

La puerta de intercambio intercambia dos qubits. Con respecto a la base , , , , está representada por la matriz ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

La puerta de intercambio se puede descomponer en forma de suma:

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

Puerta de Toffoli (CCNOT)

Representación del circuito de la puerta de Toffoli.

La puerta de Toffoli, llamada así en honor a Tommaso Toffoli y también llamada puerta CCNOT o puerta Deutsch , es una puerta de 3 bits que es universal para la computación clásica pero no para la computación cuántica. La puerta cuántica de Toffoli es la misma puerta, definida para 3 qubits. Si nos limitamos a aceptar solo qubits de entrada que sean y , entonces si los dos primeros bits están en el estado, aplica un Pauli- X (o NO) en el tercer bit; de lo contrario, no hace nada. Es un ejemplo de puerta CC-U (Unitaria controlada-controlada). Dado que es el análogo cuántico de una puerta clásica, está completamente especificada por su tabla de verdad. La puerta Toffoli es universal cuando se combina con la puerta Hadamard de un solo qubit. ^[17] ${\displaystyle D(\pi /2)}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

La puerta de Toffoli está relacionada con las operaciones clásicas AND ( ) y XOR ( ), ya que realiza el mapeo de estados en la base computacional. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$

La puerta de Toffoli se puede expresar usando matrices de Pauli como

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

Puertas cuánticas universales

Tanto CNOT como son puertas universales de dos qubits y pueden transformarse entre sí. ${\displaystyle {\sqrt {\mbox{SWAP}}}}$

Un conjunto de puertas cuánticas universales es cualquier conjunto de puertas al que se puede reducir cualquier operación posible en una computadora cuántica, es decir, cualquier otra operación unitaria se puede expresar como una secuencia finita de puertas del conjunto. Técnicamente, esto es imposible con algo menos que un conjunto incontable de puertas, ya que el número de puertas cuánticas posibles es incontable, mientras que el número de secuencias finitas de un conjunto finito es contable . Para resolver este problema, sólo requerimos que cualquier operación cuántica pueda aproximarse mediante una secuencia de puertas de este conjunto finito. Además, para unidades unitarias con un número constante de qubits, el teorema de Solovay-Kitaev garantiza que esto se puede hacer de manera eficiente. Se puede comprobar si un conjunto de puertas cuánticas es universal utilizando métodos de teoría de grupos ^[18] y/o en relación con diseños t unitarios (aproximados) ^[19].

Algunos conjuntos de puertas cuánticas universales incluyen:

• Los operadores de rotación R _x ( θ ) , R _y ( θ ) , R _z ( θ ) , la puerta de desplazamiento de fase P ( φ ) ^[c] y CNOT se utilizan comúnmente para formar un conjunto de puertas cuánticas universales. ^{[20] [d]}
• El conjunto de Clifford {CNOT, H , S } + T puerta. El conjunto de Clifford por sí solo no es un conjunto de puertas cuánticas universales, ya que puede simularse de manera eficiente de manera clásica según el teorema de Gottesman-Knill .
• La puerta Toffoli + la puerta Hadamard. ^[17] La ​​puerta de Toffoli por sí sola forma un conjunto de puertas universales para circuitos lógicos algebraicos booleanos reversibles , que abarca toda la computación clásica.

Puerta alemana

También se puede formular un conjunto de puertas cuánticas universales de puerta única utilizando la puerta Deutsch de tres qubits parametrizada , ^[21] que lleva el nombre del físico David Deutsch . Es un caso general de CC-U , o puerta unitaria controlada-controlada , y se define como ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Desafortunadamente, una puerta alemana que funcione sigue fuera de nuestro alcance debido a la falta de un protocolo. Hay algunas propuestas para realizar una puerta Deutsch con interacción dipolo-dipolo en átomos neutros. ^[22]

Una puerta lógica universal para la computación clásica reversible, la puerta de Toffoli, es reducible a la puerta de Deutsch , lo que demuestra que todas las operaciones lógicas clásicas reversibles se pueden realizar en una computadora cuántica universal. ${\displaystyle D(\pi /2)}$

También existen puertas únicas de dos qubits suficientes para la universalidad. En 1996, Adriano Barenco demostró que la puerta Deutsch se puede descomponer utilizando una única puerta de dos qubits ( puerta Barenco ), pero es difícil realizarlo experimentalmente. ^{[1] : 93} Esta característica es exclusiva de los circuitos cuánticos, ya que no existe una puerta clásica de dos bits que sea a la vez reversible y universal. ^{[1] : 93} Se podrían implementar puertas universales de dos qubits para mejorar los circuitos reversibles clásicos en microprocesadores rápidos de baja potencia. ^{[1] : 93}

Composición del circuito

Portones cableados en serie

Dos puertas Y y X en serie. El orden en que aparecen en el cable se invierte al multiplicarlos.

Supongamos que tenemos dos puertas A y B que actúan sobre qubits. Cuando B se coloca después de A en un circuito en serie, entonces el efecto de las dos puertas puede describirse como una sola puerta C. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=B\cdot A}$

¿ Dónde está la multiplicación de matrices ? La puerta resultante C tendrá las mismas dimensiones que A y B. El orden en que aparecerían las puertas en un diagrama de circuito se invierte al multiplicarlas. ^{[4] : 17–18,22–23,62–64  [5] : 147–169} ${\displaystyle \cdot }$

Por ejemplo, colocar la puerta Pauli X después de la puerta Pauli Y , las cuales actúan en un solo qubit, se puede describir como una única puerta combinada C :

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

A menudo se omite el símbolo del producto ( ). ${\displaystyle \cdot }$

Exponentes de puertas cuánticas

Todos los exponentes reales de matrices unitarias también son matrices unitarias, y todas las puertas cuánticas son matrices unitarias.

Los exponentes enteros positivos son equivalentes a secuencias de puertas conectadas en serie (p. ej. ), y los exponentes reales son una generalización del circuito en serie. Por ejemplo, y ambas son puertas cuánticas válidas. ${\displaystyle X^{3}=X\cdot X\cdot X}$ ${\displaystyle X^{\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}=X^{1/2}}$

${\displaystyle U^{0}=I}$para cualquier matriz unitaria . La matriz identidad ( ) se comporta como un NOP ^{[23] [24]} y puede representarse como un cable desnudo en circuitos cuánticos, o no mostrarse en absoluto. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

Todas las puertas son matrices unitarias, por lo que y , donde es la transpuesta conjugada . Esto significa que los exponentes negativos de las puertas son inversos unitarios de sus contrapartes exponenciadas positivamente: . Por ejemplo, algunos exponentes negativos de las puertas de cambio de fase son y . ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$ ${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle U^{-n}=(U^{n})^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{-1}=T^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{-2}=(T^{2})^{\dagger }=S^{\dagger }}$

Tenga en cuenta que para una matriz hermitiana y debido a la unitaridad, lo mismo ocurre con todas las puertas hermitianas. Son involutivos . Ejemplos de puertas hermitianas son las puertas Pauli, Hadamard, CNOT, SWAP y Toffoli. Cada matriz unitaria hermitiana tiene la propiedad de que donde ${\displaystyle H^{\dagger }=H,}$ ${\displaystyle HH^{\dagger }=I,}$ ${\displaystyle H^{2}=I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{i\theta H}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )H}$ ${\displaystyle H=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}.}$

Puertas paralelas

Dos puertas y en paralelo equivalen a la puerta . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\otimes X}$

El producto tensorial (o producto de Kronecker ) de dos puertas cuánticas es la puerta que es igual a las dos puertas en paralelo. ^{[4] : 71–75  [5] : 148}

Si, como en la imagen, combinamos la puerta Pauli- Y con la puerta Pauli- X en paralelo, entonces esto se puede escribir como:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Tanto la puerta Pauli- X como la Pauli- Y actúan sobre un solo qubit. La puerta resultante actúa sobre dos qubits. ${\displaystyle C}$

A veces se omite el símbolo del producto tensorial y en su lugar se utilizan índices para los operadores. ^[25]

Transformada de Hadamard

La puerta es la puerta de Hadamard ( ) aplicada en paralelo a 2 qubits. Se puede escribir como: ${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

Esta "puerta Hadamard paralela de dos qubits", cuando se aplica, por ejemplo, al vector cero de dos qubits ( ), ${\displaystyle |00\rangle }$ creará un estado cuántico que tiene la misma probabilidad de ser observado en cualquiera de sus cuatro resultados posibles; , , , y . Podemos escribir esta operación como: ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

Ejemplo: la transformada de Hadamard en un registro de 3 qubits . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Aquí la amplitud para cada estado medible es 1 ⁄ 2 . La probabilidad de observar cualquier estado es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de los estados medibles, lo que en el ejemplo anterior significa que hay uno de cada cuatro que observamos cualquiera de los cuatro casos individuales. Ver medidas para más detalles.

${\displaystyle H_{2}}$Realiza la transformación Hadamard en dos qubits. De manera similar, la puerta realiza una transformación Hadamard en un registro de qubits. ${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{1}^{n}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Cuando se aplica a un registro de qubits todos inicializados en , la transformada de Hadamard coloca el registro cuántico en una superposición con igual probabilidad de ser medido en cualquiera de sus posibles estados: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

Este estado es una superposición uniforme y se genera como primer paso en algunos algoritmos de búsqueda, por ejemplo en amplificación de amplitud y estimación de fase .

La medición de este estado da como resultado un número aleatorio entre y . ^[e] Qué tan aleatorio sea el número depende de la fidelidad de las puertas lógicas. Si no se mide, es un estado cuántico con igual amplitud de probabilidad para cada uno de sus posibles estados. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$

La transformada de Hadamard actúa sobre un registro con qubits de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

Aplicación en estados entrelazados

Si dos o más qubits se consideran un único estado cuántico, este estado combinado es igual al producto tensorial de los qubits constituyentes. Cualquier estado que pueda escribirse como un producto tensorial a partir de los subsistemas constituyentes se denomina estados separables . Por otro lado, un estado entrelazado es cualquier estado que no puede ser factorizado por tensor, o en otras palabras: un estado entrelazado no puede escribirse como un producto tensorial de sus estados de qubits constituyentes. Se debe tener especial cuidado al aplicar puertas a qubits constituyentes que forman estados entrelazados.

Si tenemos un conjunto de N qubits que están entrelazados y deseamos aplicar una puerta cuántica en M < N qubits en el conjunto, tendremos que extender la puerta para tomar N qubits. Esta aplicación se puede realizar combinando la puerta con una matriz identidad de modo que su producto tensor se convierta en una puerta que actúe sobre N qubits. La matriz de identidad ( ) ${\displaystyle I}$ es una representación de la puerta que asigna cada estado a sí misma (es decir, no hace nada en absoluto). En un diagrama de circuito, la puerta o matriz de identidad suele aparecer como un simple cable desnudo.

El ejemplo dado en el texto. La puerta de Hadamard sólo actúa sobre 1 qubit, pero es un estado cuántico entrelazado que abarca 2 qubits. En nuestro ejemplo, . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Por ejemplo, la puerta Hadamard ( ) ${\displaystyle H}$ actúa sobre un solo qubit, pero si le alimentamos con el primero de los dos qubits que constituyen el estado de Bell entrelazado , no podemos escribir esa operación fácilmente. Necesitamos ampliar la puerta de Hadamard con la puerta de identidad para que podamos actuar sobre estados cuánticos que abarquen dos qubits: ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

La puerta ahora se puede aplicar a cualquier estado de dos qubits, entrelazados o no. La puerta dejará intacto el segundo qubit y aplicará la transformación de Hadamard al primer qubit. Si se aplica al estado Bell en nuestro ejemplo, podemos escribirlo como: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

Complejidad computacional y el producto tensorial.

La complejidad temporal para multiplicar dos matrices es al menos , ^[26] si se utiliza una máquina clásica. Debido a que el tamaño de una puerta que opera en qubits es , significa que el tiempo para simular un paso en un circuito cuántico (mediante la multiplicación de las puertas) que opera en estados entrelazados genéricos es . Por este motivo, se cree que es imposible simular grandes sistemas cuánticos entrelazados utilizando ordenadores clásicos. Sin embargo, los subconjuntos de las puertas, como las puertas de Clifford , o el caso trivial de circuitos que sólo implementan funciones booleanas clásicas (por ejemplo, combinaciones de X, CNOT, Toffoli), se pueden simular eficientemente en computadoras clásicas. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega (n^{2}\log n)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$ ${\displaystyle \Omega ({2^{q}}^{2}\log({2^{q}}))}$

El vector de estado de un registro cuántico con qubits son entradas complejas. Almacenar las amplitudes de probabilidad como una lista de valores de punto flotante no es manejable para grandes empresas . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Inversión unitaria de puertas.

Ejemplo: El inverso unitario del producto Hadamard-CNOT. Las tres puertas , y son sus propias inversas unitarias. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {CNOT} }$

Debido a que todas las puertas lógicas cuánticas son reversibles , cualquier composición de múltiples puertas también es reversible. Todos los productos y productos tensoriales (es decir, combinaciones en series y paralelos) de matrices unitarias también son matrices unitarias. Esto significa que es posible construir una inversa de todos los algoritmos y funciones, siempre que contengan sólo puertas.

La inicialización, la medición, la E/S y la decoherencia espontánea son efectos secundarios de los ordenadores cuánticos. Sin embargo, las puertas son puramente funcionales y biyectivas .

Si es una matriz unitaria , entonces y . La daga ( ) denota la transpuesta conjugada . También se le llama adjunto hermitiano . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$ ${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$ ${\displaystyle \dagger }$

Si una función es producto de puertas, se puede construir la inversa unitaria de la función : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$ ${\displaystyle F^{\dagger }}$

Porque tenemos, después de repetidas aplicaciones sobre sí mismo. ${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

De manera similar, si la función consta de dos puertas y en paralelo, entonces y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G=A\otimes B}$ ${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$

Las puertas que son sus propios inversos unitarios se denominan operadores hermitianos o autoadjuntos . Algunas puertas elementales como las puertas de Hadamard ( H ) y Pauli ( I , X , Y , Z ) son operadores hermitianos, mientras que otras, como las puertas de cambio de fase ( S , T , P , CPhase ), generalmente no lo son.

Por ejemplo, un algoritmo de suma se puede utilizar para restar, si se "ejecuta al revés", como su inverso unitario. La transformada cuántica inversa de Fourier es la inversa unitaria. Las inversas unitarias también se pueden utilizar para no realizar cálculos . Los lenguajes de programación para computadoras cuánticas, como Q# de Microsoft , ^[10] QCL de Bernhard Ömer , ^{[13] : 61} y Qiskit de IBM , ^[27] contienen inversión de funciones como conceptos de programación.

Medición

Representación del circuito de medida. Las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico y la única línea del lado izquierdo representa un qubit.

La medición (a veces llamada observación ) es irreversible y, por tanto, no es una puerta cuántica, porque asigna el estado cuántico observado a un único valor. La medición toma un estado cuántico y lo proyecta a uno de los vectores base , con una probabilidad igual al cuadrado de la longitud del vector (en la norma 2 ^{[4] : ​​66  [5] : 56, 65} ) a lo largo de ese vector base. ^{[1] : 15–17  [28] [29] [30]} Esto se conoce como la regla de Born y aparece ^[e] como una operación estocástica no reversible, ya que establece probabilísticamente el estado cuántico igual al vector base que representa el estado medido. En el instante de la medición, se dice que el estado " colapsa " hasta el valor único definido que se midió. Por qué y cómo, o incluso si ^{[31] [32]} el estado cuántico colapsa en la medición, se denomina problema de medición .

La probabilidad de medir un valor con amplitud de probabilidad es , donde está el módulo . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 1\geq |\phi |^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Medir un solo qubit, cuyo estado cuántico está representado por el vector , dará como resultado con probabilidad y con probabilidad . ${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |b|^{2}}$

Por ejemplo, medir un qubit con el estado cuántico arrojará con la misma probabilidad o . ${\displaystyle {\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Para un solo qubit, tenemos una esfera unitaria con el estado cuántico tal que . El estado se puede reescribir como , o y . Nota: es la probabilidad de medir y es la probabilidad de medir . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$ ${\displaystyle |\cos \theta |^{2}+|\sin \theta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |a|^{2}=\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle |b|^{2}=\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle |a|^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |b|^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Un estado cuántico que abarca n qubits se puede escribir como un vector en dimensiones complejas : . Esto se debe a que el producto tensorial de n qubits es un vector en dimensiones. De esta manera, un registro de n qubits se puede medir en estados distintos, de forma similar a cómo un registro de n bits clásicos puede contener estados distintos. A diferencia de los bits de las computadoras clásicas, los estados cuánticos pueden tener amplitudes de probabilidad distintas de cero en múltiples valores mensurables simultáneamente. Esto se llama superposición . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

La suma de todas las probabilidades para todos los resultados siempre debe ser igual a1 . ^[f] Otra forma de decir esto es que el teorema de Pitágoras generalizado dice que todos los estados cuánticos con n qubits deben satisfacer ^[g] donde es la amplitud de probabilidad para un estado medible . Una interpretación geométrica de esto es que el posible espacio de valores de un estado cuántico con n qubits es la superficie de la esfera unitaria y que las transformadas unitarias (es decir, puertas lógicas cuánticas) que se le aplican son rotaciones en la esfera. Las rotaciones que realizan las compuertas forman el grupo de simetría U(2 n ) . La medición es entonces una proyección probabilística de los puntos en la superficie de esta esfera compleja sobre los vectores base que abarcan el espacio (y etiquetan los resultados). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\textstyle 1=\sum _{x=0}^{2^{n}-1}|a_{x}|^{2},}$ ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$

En muchos casos, el espacio se representa como un espacio de Hilbert en lugar de un espacio complejo de dimensiones específicas . El número de dimensiones (definidas por los vectores básicos y, por tanto, también por los posibles resultados de la medición) suele estar implícito en los operandos, por ejemplo como el espacio de estados necesario para resolver un problema . En el algoritmo de Grover , Grover nombró a este conjunto de vectores base genérico "la base de datos" . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

La selección de vectores básicos con los que medir un estado cuántico influirá en el resultado de la medición. ^{[1] : 30–35  [4] : 22, 84–85, 185–188  [33]} Véase cambio de base y entropía de Von Neumann para más detalles. En este artículo, siempre usamos la base computacional , lo que significa que hemos etiquetado los vectores base de un registro de n -qubits , o usamos la representación binaria . ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0_{10}\rangle =|0\dots 00_{2}\rangle ,|1_{10}\rangle =|0\dots 01_{2}\rangle ,|2_{10}\rangle =|0\dots 10_{2}\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle =|111\dots 1_{2}\rangle }$

En mecánica cuántica , los vectores de base constituyen una base ortonormal .

Un ejemplo de uso de una base de medición alternativa se encuentra en el cifrado BB84 .

El efecto de la medición en los estados entrelazados.

La puerta Hadamard-CNOT, que cuando se le da la entrada produce un estado de Bell ${\displaystyle |00\rangle }$

Si dos estados cuánticos (es decir , qubits o registros ) están entrelazados (lo que significa que su estado combinado no puede expresarse como un producto tensorial ), la medición de un registro afecta o revela el estado del otro registro al colapsar parcial o totalmente su estado también. Este efecto se puede utilizar para el cálculo y se utiliza en muchos algoritmos.

La combinación Hadamard-CNOT actúa sobre el estado cero de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

El estado de Bell en el texto es donde y . Por lo tanto, se puede describir mediante el plano abarcado por los vectores base y , como en la imagen. La esfera unitaria (en ) que representa el posible espacio de valores del sistema de 2 qubits cruza el plano y se encuentra en la superficie de las esferas unitarias. Porque existe la misma probabilidad de medir este estado en o , y porque hay cero probabilidad de medirlo en o . ${\displaystyle |\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$ ${\displaystyle a=d={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}=|d|^{2}=1/2}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$

Este estado resultante es el estado de Bell . No puede describirse como un producto tensorial de dos qubits. No hay solución para ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

porque, por ejemplo, w debe ser cero y distinto de cero en el caso de xw y yw .

El estado cuántico abarca los dos qubits. Esto se llama enredo . Medir uno de los dos qubits que componen este estado de Bell dará como resultado que el otro qubit lógicamente debe tener el mismo valor, ambos deben ser iguales: O se encontrará en el estado , o en el estado . Si medimos que uno de los qubits sea, por ejemplo , entonces el otro qubit también debe serlo , porque su estado combinado se convirtió en . La medición de uno de los qubits colapsa todo el estado cuántico que abarca los dos qubits. ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

El estado GHZ es un estado cuántico entrelazado similar que abarca tres o más qubits.

Este tipo de asignación de valores se produce instantáneamente en cualquier distancia y, desde 2018, QUESS lo ha verificado experimentalmente para distancias de hasta 1200 kilómetros. ^{[34] [35] [36]} Que los fenómenos parezcan ocurrir instantáneamente en lugar del tiempo que tomaría recorrer la distancia que separa los qubits a la velocidad de la luz se llama paradoja EPR , y es una pregunta abierta en física. cómo resolver esto. Originalmente se resolvió renunciando al supuesto del realismo local , pero también han surgido otras interpretaciones . Para obtener más información, consulte los experimentos de prueba de Bell . El teorema de la no comunicación demuestra que este fenómeno no se puede utilizar para la comunicación de información clásica más rápido que la luz .

Medición en registros con qubits entrelazados por pares

El efecto de una transformada unitaria F en un registro A que está en una superposición de estados y entrelazado por pares con el registro B. Aquí, n es 3 (cada registro tiene 3 qubits). ${\displaystyle 2^{n}}$

Tome un registro A con n qubits todos inicializados y páselo a través de una puerta Hadamard paralela . El registro A luego ingresará al estado que tenga la misma probabilidad de estar en cualquiera de sus posibles estados cuando se mida; a . Tome un segundo registro B, también con n qubits inicializados y CNOT en pares de sus qubits con los qubits en el registro A, de modo que para cada p los qubits y formen el estado . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\textstyle H^{\otimes n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Si ahora medimos los qubits en el registro A, entonces se encontrará que el registro B contiene el mismo valor que A. Sin embargo, si en cambio aplicamos una puerta lógica cuántica F en A y luego medimos, entonces , ¿ dónde está el inverso unitario de F ? ${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$ ${\displaystyle F^{\dagger }}$

Debido a cómo actúan las inversas unitarias de las puertas , Por ejemplo, digamos , entonces . ${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$ ${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$

La igualdad se mantendrá sin importar en qué orden se realice la medición (en los registros A o B), suponiendo que F se haya completado. Las mediciones pueden incluso entrelazarse aleatoria y simultáneamente qubit por qubit, ya que la asignación de mediciones de un qubit limitará el posible espacio de valores de los otros qubits entrelazados.

Aunque se mantienen las igualdades, las probabilidades para medir los posibles resultados pueden cambiar como resultado de la aplicación de F , como puede ser la intención en un algoritmo de búsqueda cuántica.

Este efecto de compartir valor mediante entrelazamiento se utiliza en el algoritmo de Shor , la estimación de fase y el conteo cuántico . Utilizar la transformada de Fourier para amplificar las amplitudes de probabilidad de los estados de solución de algún problema es un método genérico conocido como " pesca de Fourier ". ^[37]

Síntesis de funciones lógicas

Un sumador cuántico completo , propuesto por Feynman en 1986. ^[3] Consta únicamente de puertas Toffoli y CNOT. La puerta que está rodeada por el cuadrado punteado en esta imagen se puede omitir si no se requiere un cálculo para restaurar la salida B.

Las funciones y rutinas que sólo utilizan puertas pueden describirse como matrices, al igual que las puertas más pequeñas. La matriz que representa una función cuántica que actúa sobre qubits tiene tamaño . Por ejemplo, una función que actúa sobre un "qubyte" (un registro de 8 qubits) estaría representada por una matriz con elementos. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$ ${\displaystyle 2^{8}\times 2^{8}=256\times 256}$

Las transformaciones unitarias que no están en el conjunto de puertas disponibles de forma nativa en la computadora cuántica (las puertas primitivas) pueden sintetizarse o aproximarse combinando las puertas primitivas disponibles en un circuito . Una forma de hacerlo es factorizar la matriz que codifica la transformación unitaria en un producto de productos tensoriales (es decir, circuitos en serie y en paralelo) de las puertas primitivas disponibles. El grupo U(2 ^q ) es el grupo de simetría de las puertas que actúan sobre los qubits. ^[2] La factorización es entonces el problema de encontrar un camino en U(2 ^q ) desde el conjunto generador de puertas primitivas. El teorema de Solovay-Kitaev muestra que dado un conjunto suficiente de puertas primitivas, existe una aproximación eficiente para cualquier puerta. Para el caso general con un gran número de qubits, este enfoque directo de la síntesis de circuitos es intratable . ^{[38] [39]} Esto pone un límite a la forma en que las funciones grandes pueden factorizarse por fuerza bruta en puertas cuánticas primitivas. Por lo general, los programas cuánticos se construyen utilizando funciones cuánticas relativamente pequeñas y simples, similares a la programación clásica normal. ${\displaystyle q}$

Debido a la naturaleza unitaria de las puertas , todas las funciones deben ser reversibles y siempre ser asignaciones biyectivas de entrada a salida. Siempre debe existir una función tal que . Las funciones que no son invertibles pueden volverse invertibles agregando qubits auxiliares a la entrada o la salida, o ambas. Una vez que la función se ha ejecutado hasta su finalización, los qubits auxiliares pueden no calcularse o dejarse intactos. Medir o colapsar de otro modo el estado cuántico de un qubit ancilla (por ejemplo, reiniciando su valor o mediante su decoherencia espontánea ) que no se ha calculado puede generar errores, ^{[40] [41]} ya que su estado puede estar entrelazado con los qubits que todavía se utilizan en los cálculos. ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle F^{-1}(F(|\psi \rangle ))=|\psi \rangle }$

Las operaciones lógicamente irreversibles, por ejemplo, el módulo de suma de dos registros -qubit a y b ,, ^[h] se pueden hacer lógicamente reversibles agregando información a la salida, de modo que la entrada se pueda calcular a partir de la salida (es decir, existe una función ) . En nuestro ejemplo, esto se puede hacer pasando uno de los registros de entrada a la salida: . Luego, la salida se puede utilizar para calcular la entrada (es decir, dada la salida y , podemos encontrar fácilmente la entrada; se da y ) y la función se vuelve biyectiva. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(a,b)=a+b{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle F(|a\rangle \otimes |b\rangle )=|a+b{\pmod {2^{n}}}\rangle \otimes |a\rangle }$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a+b)-a=b}$

Todas las expresiones algebraicas booleanas se pueden codificar como transformadas unitarias (puertas de lógica cuántica), por ejemplo, utilizando combinaciones de las puertas de Pauli-X, CNOT y Toffoli. Estas puertas están funcionalmente completas en el dominio de la lógica booleana.

Hay muchas transformaciones unitarias disponibles en las bibliotecas de Q# , QCL , Qiskit y otros lenguajes de programación cuántica . También aparece en la literatura. ^{[42] [43]}

Por ejemplo, donde es el número de qubits que constituye el registro , se implementa de la siguiente manera en QCL: ^{[44] [13] [12]} ${\displaystyle \mathrm {inc} (|x\rangle )=|x+1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$ ${\displaystyle x_{\text{length}}}$ ${\displaystyle x}$

El circuito generado, cuando . Los símbolos y denotan XOR , AND y NOT respectivamente, y provienen de la representación booleana de Pauli- X con cero o más qubits de control cuando se aplican a estados que se encuentran en la base computacional. ${\displaystyle x_{\text{length}}=4}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \neg }$

cond qufunct inc ( qureg x ) { // incrementar registro int i ; para i = # x - paso de 1 a 0 - 1 { CNot ( x [ i ], x [ 0 :: i ]); // aplicar controlado-no desde } // MSB a LSB }                     

En QCL, la disminución se realiza "deshaciendo" el incremento. El prefijo !se utiliza para ejecutar la inversa unitaria de la función. !inc(x)es el inverso de inc(x)y en su lugar realiza la operación . La palabra clave significa que la función puede ser condicional. ^[11] ${\displaystyle \mathrm {inc} ^{\dagger }|x\rangle =\mathrm {inc} ^{-1}(|x\rangle )=|x-1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$cond

En el modelo de computación utilizado en este artículo (el modelo de circuito cuántico ), una computadora clásica genera la composición de puertas para la computadora cuántica, y la computadora cuántica se comporta como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas primitivas aplicar a qué qubits. ^{[13] : 36–43  [14]} La medición de registros cuánticos da como resultado valores binarios que la computadora clásica puede usar en sus cálculos. Los algoritmos cuánticos suelen contener una parte clásica y otra cuántica. La E/S no medida (envío de qubits a computadoras remotas sin colapsar sus estados cuánticos) se puede utilizar para crear redes de computadoras cuánticas . Luego, el intercambio de entrelazamiento se puede utilizar para realizar algoritmos distribuidos con computadoras cuánticas que no están conectadas directamente. Ejemplos de algoritmos distribuidos que sólo requieren el uso de un puñado de puertas lógicas cuánticas son la codificación superdensa , el acuerdo bizantino cuántico y el protocolo de intercambio de claves de cifrado BB84 .

Ver también

• Computación cuántica adiabática
• BQP
• autómata celular
• Computación cuántica basada en la nube
• Definitividad contrafactual
• Computación cuántica contrafactual
• principio de landauer
• Conectivo lógico
• Computadora cuántica unidireccional
• Algoritmo cuántico
• Autómata celular cuántico
• canal cuántico
• Autómatas cuánticos finitos
• Lógica cuántica
• memoria cuántica
• Red cuántica
• Efecto Zenón cuántico
• Computación reversible
• Transformación unitaria (mecánica cuántica)

Notas

1. La multiplicación de matrices de puertas cuánticas se define como circuitos en serie.
2. Tenga en cuenta que aquí una rotación completa alrededor de la esfera de Bloch es radianes, a diferencia de las puertas del operador de rotación donde una vuelta completa es ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 4\pi .}$
3. Se puede utilizar la puerta P o Ph ^{, como [2] : 11  [1] : 76–83} ${\displaystyle R_{z}(\delta )\operatorname {Ph} (\delta /2)=P(\delta )}$
4. Este conjunto genera exactamente todas las puertas unitarias posibles. Sin embargo, como la fase global es irrelevante en el resultado de la medición, se pueden construir subconjuntos cuánticos universales, por ejemplo, el conjunto que contiene R _y ( θ ) , R _z ( θ ) y CNOT solo abarca todos los unitarios con determinante ±1, pero es suficiente para el cálculo cuántico. .
5. Si esto realmente es un efecto estocástico depende de qué interpretación de la mecánica cuántica sea correcta (y si alguna interpretación puede ser correcta). Por ejemplo, la teoría de De Broglie-Bohm y la interpretación de muchos mundos afirman el determinismo . (En la interpretación de muchos mundos, una computadora cuántica es una máquina que ejecuta programas ( circuitos cuánticos ) que seleccionan una realidad donde la probabilidad de que tenga los estados de solución de un problema es grande. Es decir, la máquina la mayoría de las veces termina en una realidad donde da la respuesta correcta. Debido a que todos los resultados se realizan en universos separados de acuerdo con la interpretación de muchos mundos, el resultado total es determinista. Sin embargo, esta interpretación no cambia la mecánica mediante la cual opera la máquina).
6. Ver Axiomas de probabilidad § Segundo axioma
7. La hipotenusa tiene longitud 1 porque las probabilidades suman 1, por lo que el vector de estado cuántico es un vector unitario .
8. La entrada son qubits, pero la salida son solo qubits. El borrado de información no es una operación reversible (o unitaria ) y, por lo tanto, no está permitido. Véase también principio de Landauer . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Colin P. Williams (2011). Exploraciones en Computación Cuántica . Saltador . ISBN 978-1-84628-887-6.
2. Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, normando; Corto, Peter; Sleator, Tycho; Smolin, John A.; Weinfurter, Harald (1 de noviembre de 1995). "Puertas elementales para la computación cuántica". Revisión física A. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv : quant-ph/9503016 . Código bibliográfico : 1995PhRvA..52.3457B. doi :10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
3. Feynman, Richard P. (1986). "Computadoras mecánicas cuánticas". Fundamentos de la Física . Springer Science y Business Media LLC. 16 (6): 507–531. Código bibliográfico : 1986FoPh...16..507F. doi :10.1007/bf01886518. ISSN  0015-9018. S2CID  122076550.
4. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333.
5. Yanofsky, Noson S.; Mannucci, Mirco (2013). Computación cuántica para informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-87996-5.
6. Preskill, John (6 de junio de 2021). "Computación cuántica 40 años después". págs. 10-15. arXiv : 2106.10522 [cuántico-ph].
7. "Biblioteca de circuitos". IBM ( Qiskit ).
8. "cQASM: operaciones de puerta Qubit". QuTech.
9. "Espacio de nombres Microsoft.Quantum.Intrinsic". Microsoft ( Q# ). 28 de julio de 2023.
10. Operaciones y funciones (documentación de Q#)
11. Ömer, Bernhard (2 de septiembre de 2009). "Programación cuántica estructurada" (PDF) . Instituto de Física Teórica, Universidad Tecnológica de Viena. págs. 72, 92-107. Archivado desde el original (PDF) el 27 de marzo de 2022.
12. Ömer, Bernhard (29 de abril de 2003). "Conceptos clásicos de programación cuántica". Revista Internacional de Física Teórica . 44 (7): 943–955. arXiv : quant-ph/0211100 . doi :10.1007/s10773-005-7071-x. S2CID  119373370.
13. Ömer, Bernhard (20 de enero de 2000). Programación cuántica en QCL (PDF) (Tesis). Instituto de Física Teórica, Universidad Tecnológica de Viena. Archivado desde el original (PDF) el 1 de junio de 2022 . Consultado el 24 de mayo de 2021 .
14. Pauka SJ, Das W, Kalra R, Moini A, Yang Y, Trainer M, Bousquet A, Cantaloube C, Dick N, Gardner GC, Manfra MJ, Reilly DJ (2021). "Un chip CMOS criogénico para generar señales de control para múltiples qubits". Electrónica de la naturaleza . 4 (4): 64–70. arXiv : 1912.01299 . doi :10.1038/s41928-020-00528-y. S2CID  231715555.
15. "Puerta Tdg". Documentación en línea de Qiskit .
16. "Puerta de la daga T".Documentación en línea de cQASM.
17. Aharonov, Dorit (9 de enero de 2003). "Una prueba simple de que Toffoli y Hadamard son Quantum Universal". arXiv : quant-ph/0301040 .
18. Sawicki, Adán; Karnas, Katarzyna (1 de noviembre de 2017). "Universalidad de las puertas de Qudit único". Anales Henri Poincaré . 18 (11): 3515–3552. arXiv : 1609.05780 . Código Bib : 2017AnHP...18.3515S. doi :10.1007/s00023-017-0604-z. ISSN  1424-0661. S2CID  253594045.
19. Sawicki, Adán; Mattioli, Lorenzo; Zimborás, Zoltán (12 de mayo de 2022). "Verificación de la universalidad de un conjunto de puertas cuánticas". Revisión física A. 105 (5): 052602. arXiv : 2111.03862 . Código bibliográfico : 2022PhRvA.105e2602S. doi : 10.1103/PhysRevA.105.052602. S2CID  248761038.
20. Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P. (ed.), "Quantum Gates", Exploraciones en computación cuántica , Textos en informática, Londres: Springer, págs. 51-122, doi :10.1007/978 -1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, consultado el 14 de mayo de 2021
21. Deutsch, David (8 de septiembre de 1989), "Redes computacionales cuánticas", Proc. R. Soc. Londres. A , 425 (1989): 73–90, Bibcode :1989RSPSA.425...73D, doi :10.1098/rspa.1989.0099, S2CID  123073680
22. Shi, Xiao-Feng (22 de mayo de 2018). "Deutsch, Toffoli y cnot Gates a través del bloqueo de átomos neutrales de Rydberg". Revisión Física Aplicada . 9 (5): 051001. arXiv : 1710.01859 . Código Bib : 2018PhRvP...9e1001S. doi : 10.1103/PhysRevApplied.9.051001. ISSN  2331-7019. S2CID  118909059.
23. "Yo opero". docs.microsoft.com . 28 de julio de 2023.
24. "IGate". www.qiskit.org . Documentación en línea de Qiskit .
25. Pérdida, Daniel; DiVincenzo, David P. (1 de enero de 1998). "Computación cuántica con puntos cuánticos". Revisión física A. 57 (1): 120-126. arXiv : cond-mat/9701055 . Código Bib : 1998PhRvA..57..120L. doi : 10.1103/physreva.57.120 . ISSN  1050-2947.Ejemplo en la ecuación. 2.
26. Raz, corrió (2002). "Sobre la complejidad del producto matricial". Actas del trigésimo cuarto Simposio anual ACM sobre Teoría de la Computación . págs. 144-151. doi :10.1145/509907.509932. ISBN 1581134959. S2CID  9582328.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
27. "UnitaryGate § UnitaryGate adjunto ()". docs.quantum.ibm.com .
28. Griffiths, DJ (2008). Introducción a las Partículas Elementales (2ª ed.) . John Wiley e hijos . págs. 115-121, 126. ISBN 978-3-527-40601-2.
29. David Alberto (1994). Mecánica cuántica y experiencia . Prensa de la Universidad de Harvard . pag. 35.ISBN​ 0-674-74113-7.
30. Sean M. Carroll (2019). Espaciotiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 376–394. ISBN 978-1-108-48839-6.
31. David Wallace (2012). El multiverso emergente: teoría cuántica según la interpretación de Everett . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 9780199546961.
32. Sean M. Carroll (2019). Algo profundamente oculto: los mundos cuánticos y el surgimiento del espacio-tiempo . Casa aleatoria de pingüinos . ISBN 9781524743017.
33. Q# Manual en línea: Medición
34. Juan Yin; Yuan Cao; Yu-Huai Li; Sheng-Kai Liao; Liang Zhang; Ji-Gang Ren; Wen-Qi Cai; Wei-Yue Liu; Bo Li; Hui Dai; Guang-Bing Li; Qi-Ming Lu; Yun-Hong Gong; Yu Xu; Shuang-Lin Li; Feng-Zhi Li; Ya-Yun Yin; Zi-Qing Jiang; Ming Li; Jian-Jun Jia; Ge Ren; Dong He; Yi-Lin Zhou; Xiao-Xiang Zhang; Na Wang; Xiang Chang; Zhen-Cai Zhu; Nai-Le Liu; Yu-Ao Chen; Chao-Yang Lu; Rong Shu; Cheng-Zhi Peng; Jian-Yu Wang; Jian-Wei Pan (2017). "Distribución de entrelazamientos por satélite a lo largo de 1200 kilómetros". Óptica Cuántica . 356 (6343): 1140–1144. arXiv : 1707.01339 . doi : 10.1126/ciencia.aan3211. PMID  28619937. S2CID  5206894.
35. Billings, Lee (23 de abril de 2020). "China rompe el récord de" acción espeluznante a distancia "y se prepara para la Internet cuántica". Científico americano .
36. Popkin, Gabriel (15 de junio de 2017). "El satélite cuántico de China logra una 'acción espeluznante' a una distancia récord". Ciencia – AAAS .
37. Aaronson, Scott (2009). "BQP y la jerarquía polinómica". arXiv : 0910.4698 [cuántico-ph].
38. Dawson, Christopher M.; Nielsen, Michael (1 de enero de 2006). "El algoritmo de Solovay-Kitaev". Información y Computación Cuántica . 6 (1). Sección 5.1, ecuación 23. arXiv : quant-ph/0505030 . doi :10.26421/QIC6.1-6.
39. Matteo, Olivia Di (2016). "Paralelización de la síntesis de circuitos cuánticos". Ciencia y tecnología cuánticas . 1 (1): 015003. arXiv : 1606.07413 . Código Bib : 2016QS&T....1a5003D. doi :10.1088/2058-9565/1/1/015003. S2CID  62819073.
40. Aaronson, Scott (2002). "Límite inferior cuántico para muestreo recursivo de Fourier". Información y Computación Cuántica . 3 (2): 165-174. arXiv : quant-ph/0209060 . Código Bib : 2002quant.ph..9060A. doi :10.26421/QIC3.2-7.
41. Manual en línea de Q#: Gestión de memoria cuántica
42. Ryo, Asaka; Kazumitsu, Sakai; Ryoko, Yahagi (2020). "Circuito cuántico para la transformada rápida de Fourier". Procesamiento de información cuántica . 19 (277): 277. arXiv : 1911.03055 . Código Bib : 2020QuiP...19..277A. doi :10.1007/s11128-020-02776-5. S2CID  207847474.
43. Montaser, Rasha (2019). "Nuevo diseño de sumador/restador completo reversible mediante puerta R". Revista Internacional de Física Teórica . 58 (1): 167–183. arXiv : 1708.00306 . Código Bib : 2019IJTP...58..167M. doi :10.1007/s10773-018-3921-1. S2CID  24590164.
44. Código fuente de QCL 0.6.4, el archivo "lib/examples.qcl"

Fuentes

• Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0521632358. OCLC  43641333.
• Williams, Colin P. (2011). Exploraciones en Computación Cuántica . Saltador . ISBN 978-1-84628-887-6.
• Yanofsky, Noson S.; Mannucci, Mirco (2013). Computación cuántica para informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-87996-5.