Lista de puertas de lógica cuántica

En la computación cuántica basada en puertas , se utilizan comúnmente varios conjuntos de puertas lógicas cuánticas para expresar operaciones cuánticas. Las siguientes tablas enumeran varias puertas lógicas cuánticas unitarias, junto con su nombre común, cómo se representan y algunas de sus propiedades. Es posible que las versiones controladas o de transposición conjugada ( adjuntas ) de algunas de estas puertas no aparezcan en la lista.

Puerta de identidad y fase global

La puerta de identidad es la operación de identidad , la mayoría de las veces esta puerta no se indica en los diagramas de circuito, pero es útil al describir resultados matemáticos. ${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

Se ha descrito como un "ciclo de espera", ^[2] y un NOP . ^{[3] [1]}

La puerta de fase global introduce una fase global en todo el estado cuántico del qubit. Un estado cuántico se define de forma única hasta una fase. Debido a la regla de Born , un factor de fase no tiene efecto sobre el resultado de una medición : para cualquiera . ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ ${\displaystyle |e^{i\varphi }|=1}$ ${\displaystyle \varphi }$

Porque cuando la puerta de fase global se aplica a un solo qubit en un registro cuántico , la fase global de todo el registro cambia. ${\displaystyle e^{i\delta }|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle =e^{i\delta }(|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle ),}$

También, ${\displaystyle \mathrm {Ph} (0)=I.}$

Estas puertas se pueden extender a cualquier número de qubits o qudits .

Puertas qubit de Clifford

Esta tabla incluye puertas Clifford de uso común para qubits. ^{[1] [4] [5]}

Otras puertas Clifford, incluidas las de dimensiones superiores, no se incluyen aquí pero, por definición, se pueden generar usando y . ${\textstyle H,S}$ ${\textstyle \mathrm {CNOT} }$

Tenga en cuenta que si una puerta Clifford A no está en el grupo Pauli, o no está controlada, A no está en las puertas Clifford. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$

El conjunto de Clifford no es un conjunto de puertas cuánticas universales.

Puertas qubit que no son de Clifford

Puertas de fase relativas

El cambio de fase es una familia de puertas de un solo qubit que mapean los estados básicos y . La probabilidad de medir a o no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo modifica la fase del estado cuántico. Esto equivale a trazar un círculo horizontal (una línea de latitud) o una rotación a lo largo del eje z en la esfera de Bloch en radianes. Un ejemplo común es la puerta T (históricamente conocida como puerta), la puerta de fase. Tenga en cuenta que algunas puertas de Clifford son casos especiales de la puerta de cambio de fase: ${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi /8}$ ${\displaystyle P(0)=I,\;P(\pi )=Z;P(\pi /2)=S.}$

El argumento de la puerta de cambio de fase está en U(1) y la puerta realiza una rotación de fase en U(1) a lo largo del estado base especificado (por ejemplo, gira la fase aproximadamente ) . Extender a una rotación alrededor de una fase genérica de ambos estados básicos de un sistema cuántico de 2 niveles (un qubit ) se puede hacer con un circuito en serie :. Cuando esta puerta es la puerta del operador de rotación y si es una fase global. ^{[a] [b]} ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle P(\beta )\cdot X\cdot P(\alpha )\cdot X={\begin{bmatrix}e^{i\alpha }&0\\0&e^{i\beta }\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \alpha =-\beta }$ ${\displaystyle R_{z}(2\beta )}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

El nombre histórico de puerta de la puerta T proviene de la identidad , donde . ${\displaystyle \pi /8}$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /4)\operatorname {Ph} \left({\frac {\pi }{8}}\right)=P(\pi /4)}$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /4)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /8}&0\\0&e^{i\pi /8}\end{bmatrix}}}$

Las puertas arbitrarias de cambio de fase de un solo qubit están disponibles de forma nativa para los procesadores cuánticos transmon mediante la sincronización de pulsos de control de microondas. ^[13] Puede explicarse en términos de cambio de marco . ^{[14] [15]} ${\displaystyle P(\varphi )}$

Al igual que con cualquier puerta de qubit única, se puede construir una versión controlada de la puerta de cambio de fase. Con respecto a la base computacional, la puerta de cambio de fase controlada de 2 qubits: cambia la fase solo si actúa sobre el estado : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto {\begin{cases}e^{i\varphi }|a,b\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

La puerta controlada Z (o CZ) es el caso especial en el que . ${\displaystyle \varphi =\pi }$

La puerta controlada S es el caso de la puerta controlada cuando y es una puerta de uso común. ^[6] ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$

Puertas con operador de rotación

Las puertas del operador de rotación y son las matrices de rotación analógicas en tres ejes cartesianos de SO(3) ^[c] , a lo largo de los ejes x, y o z de la proyección de la esfera de Bloch . ${\displaystyle R_{x}(\theta ),R_{y}(\theta )}$ ${\displaystyle R_{z}(\theta )}$

Como las matrices de Pauli están relacionadas con el generador de rotaciones, estos operadores de rotación se pueden escribir como matrices exponenciales con matrices de Pauli en el argumento. Cualquier matriz unitaria en SU(2) se puede escribir como un producto (es decir, circuito en serie) de tres compuertas de rotación o menos. Tenga en cuenta que para sistemas de dos niveles como qubits y espinores , estas rotaciones tienen un período de 4π . Una rotación de 2π (360 grados) devuelve el mismo vector de estado con una fase diferente . ^[dieciséis] ${\displaystyle 2\times 2}$

También tenemos y para todos. ${\displaystyle R_{b}(-\theta )=R_{b}(\theta )^{\dagger }}$ ${\displaystyle R_{b}(0)=I}$ ${\displaystyle b\in \{x,y,z\}.}$

Las matrices de rotación se relacionan con las matrices de Pauli de la siguiente manera: ${\displaystyle R_{x}(\pi )=-iX,R_{y}(\pi )=-iY,R_{z}(\pi )=-iZ.}$

Es posible calcular la acción adjunta de las rotaciones sobre el vector de Pauli , es decir, la rotación efectiva duplicando el ángulo a para aplicar la fórmula de rotación de Rodrigues :

${\displaystyle R_{n}(-a){\vec {\sigma }}R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$

Tomar el producto escalar de cualquier vector unitario con la fórmula anterior genera la expresión de cualquier puerta de qubit única cuando se intercala dentro de puertas de rotación adjuntas. Por ejemplo, se puede demostrar que . Además, usando la relación anticonmutación tenemos . ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)={\hat {x}}\cdot ({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }})=Z}$ ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)=XR_{y}(+\pi /2)R_{y}(\pi /2)=X(-iY)=Z}$

Los operadores de rotación tienen identidades interesantes. Por ejemplo, y además, utilizando las relaciones anti-conmutación que tenemos y ${\displaystyle R_{y}(\pi /2)Z=H}$ ${\displaystyle XR_{y}(\pi /2)=H.}$ ${\displaystyle ZR_{y}(-\pi /2)=H}$ ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)X=H.}$

La fase global y el cambio de fase se pueden transformar entre sí con el operador de rotación Z: . ^{[5] : 11  [1] : 77–83} ${\displaystyle R_{z}(\gamma )\operatorname {Ph} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=P(\gamma )}$

La puerta representa una rotación de π/2 alrededor del eje x en la esfera de Bloch . ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}=e^{i\pi /4}R_{x}(\pi /2)}$

Existen puertas de operador de rotación similares para SU (3) que utilizan matrices de Gell-Mann . Son los operadores de rotación utilizados con qutrits .

Puertas de interacción de dos qubits

El acoplamiento Ising qubit-qubit o puertas de interacción de Heisenberg R _xx , R _yy y R _zz son puertas de 2 qubits que se implementan de forma nativa en algunas computadoras cuánticas de iones atrapados , utilizando, por ejemplo, el procedimiento de puerta Mølmer-Sørensen . ^{[17] [18]}

Tenga en cuenta que estas puertas también se pueden expresar en forma sinusoidal, por ejemplo . ${\displaystyle R_{xx}(\phi )=\exp \left(-i{\frac {\phi }{2}}X\otimes X\right)=\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)I\otimes I-i\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)X\otimes X}$

La puerta CNOT se puede descomponer aún más como productos de puertas de operador de rotación y exactamente una única puerta de interacción de dos qubits, por ejemplo.

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

La puerta SWAP se puede construir a partir de otras puertas, por ejemplo utilizando puertas de interacción de dos qubits: . ${\displaystyle {\text{SWAP}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}}R_{xx}(\pi /2)R_{yy}(\pi /2)R_{zz}(\pi /2)}$

En los circuitos superconductores, la familia de puertas resultantes de las interacciones de Heisenberg a veces se denomina conjunto de puertas fSim . Se pueden realizar utilizando qubits de flujo sintonizable con acoplamiento de flujo sintonizable ^[19] o utilizando unidades de microondas en qubits de frecuencia fija con acoplamiento fijo. ^[20]

Puertas de intercambio que no son de Clifford

La puerta √ SWAP realiza la mitad de un intercambio de dos qubits (consulte Puertas Clifford). Es universal, de modo que cualquier puerta de muchos qubits se puede construir a partir de solo √ SWAP y puertas de un solo qubit. Se requiere más de una aplicación del √ SWAP para producir un estado Bell a partir de estados de producto. La puerta √ SWAP surge naturalmente en sistemas que explotan la interacción de intercambio . ^{[21] [1]}

Para sistemas con interacciones tipo Ising, a veces es más natural introducir el intercambio imaginario ^[22] o iSWAP. ^{[23] [24]} Tenga en cuenta que y , o más generalmente para todos los n reales excepto 0. ${\displaystyle i{\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi /2)R_{yy}(-\pi /2)}$ ${\displaystyle {\sqrt {i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /4)R_{yy}(-\pi /4)}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /2n)R_{yy}(-\pi /2n)}$

SWAP ^α surge naturalmente en las computadoras cuánticas espintrónicas. ^[1]

La puerta Fredkin (también CSWAP o puerta CS), llamada así en honor a Edward Fredkin , es una puerta de 3 bits que realiza un intercambio controlado . Es universal para la computación clásica. Tiene la útil propiedad de que los números de 0 y 1 se conservan en todo momento, lo que en el modelo de bolas de billar significa que se emite el mismo número de bolas como entrada.

Otras puertas con nombre

Notas

1. cuándo , dónde está la transpuesta conjugada (o adjunto hermitiano ). ${\displaystyle \alpha =-\beta }$ ${\displaystyle P(\alpha )=P(\beta )^{\dagger }}$ ${\displaystyle \dagger }$
2. También: ${\displaystyle \left(P(\delta )\cdot Y\right)^{2}=e^{i\delta }I}$
3. una doble cubierta SU (2) . Véase también fibración de Hopf .
4. La matriz que se muestra aquí es de openQASM 3.0, que difiere de una fase global (la puerta U de OpenQASM 2.0 está en SU(2)). ${\displaystyle U(\theta ,\phi ,\lambda )}$

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