puertas clifford

Definición de circuitos cuánticos

En computación cuántica y teoría de la información cuántica , las puertas de Clifford son los elementos del grupo Clifford , un conjunto de transformaciones matemáticas que normalizan el grupo de Pauli de n -qubits , es decir, asignan productos tensoriales de matrices de Pauli a productos tensoriales de matrices de Pauli mediante conjugación . La noción fue introducida por Daniel Gottesman y lleva el nombre del matemático William Kingdon Clifford . ^[1] Los circuitos cuánticos que constan únicamente de puertas de Clifford se pueden simular eficientemente con una computadora clásica debido al teorema de Gottesman-Knill .

El grupo Clifford es generado por tres puertas: Hadamard , puerta de fase S y CNOT . ^{[2] [3] [4]} Este conjunto de puertas es mínimo en el sentido de que descartar cualquiera de ellas da como resultado la incapacidad de implementar algunas operaciones de Clifford; eliminar la puerta de Hadamard no permite poderes de en la representación de matriz unitaria, eliminar la puerta de fase S no permite en la matriz unitaria y eliminar la puerta CNOT reduce el conjunto de operaciones implementables de a . Dado que todas las matrices de Pauli pueden construirse a partir de las puertas de fase y de Hadamard, cada puerta de Pauli también es trivialmente un elemento del grupo de Clifford. ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1}^{n}}$

La puerta es igual al producto de y puertas. Para demostrar que un unitario es miembro del grupo de Clifford, basta con demostrar que para todos los que consisten únicamente en los productos tensoriales de y , tenemos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}}$

Puertas generadoras comunes

Puerta Hadamard

La puerta Hadamard

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

Es miembro del grupo Clifford como y . ${\displaystyle HXH^{\dagger }=Z}$ ${\displaystyle HZH^{\dagger }=X}$

puerta S

La puerta de fase

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}$

es una puerta de Clifford como y . ${\displaystyle SXS^{\dagger }=Y}$ ${\displaystyle SZS^{\dagger }=Z}$

puerta CNOT

La puerta CNOT se aplica a dos qubits. Es una puerta NOT (C)controlada, donde se realiza una puerta NOT en el qubit 2 si y solo si el qubit 1 está en el estado 1.

${\displaystyle \mathrm {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Entre y hay cuatro opciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Construyendo un conjunto universal de puertas cuánticas

Las puertas de Clifford no forman un conjunto universal de puertas cuánticas ya que algunas puertas fuera del grupo de Clifford no pueden aproximarse arbitrariamente con un conjunto finito de operaciones. Un ejemplo es la puerta de cambio de fase (históricamente conocida como puerta): ${\displaystyle \pi /8}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$.

Lo siguiente muestra que la puerta no asigna la Pauligata a otra matriz de Pauli: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle TX{T^{\dagger }}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\\{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}&0\end{array}}\right]\not \in {{\mathbf {P} }_{1}}}$

Sin embargo, el grupo Clifford, cuando se aumenta con la puerta, forma una puerta cuántica universal configurada para la computación cuántica. ^[5] Además, se conocen implementaciones de circuitos exactas y óptimas de las rotaciones de ángulo de un solo qubit . ^{[6] [7]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$

Ver también

• Destilación del estado mágico
• Álgebra de Clifford

Referencias

1. Gottesman, Daniel (1 de enero de 1998). "Teoría de la computación cuántica tolerante a fallos" (PDF) . Revisión física A. 57 (1): 127-137. arXiv : quant-ph/9702029 . Código Bib : 1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/physreva.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
2. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (9 de diciembre de 2010). Computación cuántica e información cuántica: edición del décimo aniversario. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-00217-3.
3. Gottesman, Daniel (1 de enero de 1998). "Teoría de la computación cuántica tolerante a fallos". Revisión física A. 57 (1): 127-137. arXiv : quant-ph/9702029 . Código Bib : 1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/PhysRevA.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
4. Gottesman, Daniel (28 de mayo de 1997). Códigos estabilizadores y corrección de errores cuánticos (tesis doctoral). Caltech. arXiv : quant-ph/9705052 . Código bibliográfico : 1997PhDT.......232G.
5. Bosque, Simón; Gosset, David; Kliuchnikov, Vadym; McKinnon, David. "Síntesis exacta de unitarios de un solo qubit sobre conjuntos de puertas ciclotómicas de Clifford". Revista de Física Matemática .
6. Ross, Neil J.; Selinger, Peter (2014). "Aproximación óptima de rotaciones z de Clifford + T sin ancillas". arXiv : 1403.2975 .
7. Kliuchnikov, Vadym; Máslov, Dmitri; Mosca, Michele (2013). "Síntesis exacta, rápida y eficiente de unidades unitarias de un solo qubit generadas por las puertas Clifford y T". Información y Computación Cuántica . 13 (7–8): 607–630. arXiv : 1206.5236 . doi :10.26421/QIC13.7-8-4. S2CID  12885769.