Fidelidad de los estados cuánticos.

Término en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , especialmente en teoría de la información cuántica , la fidelidad es una medida de la "cercanía" de dos estados cuánticos. Expresa la probabilidad de que un estado pase una prueba para identificarse como el otro. La fidelidad no es una métrica en el espacio de matrices de densidad , pero puede usarse para definir la métrica de Bures en este espacio.

Definición

La fidelidad entre dos estados cuánticos y , expresada como matrices de densidad , se define comúnmente como: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$

Las raíces cuadradas en esta expresión están bien definidas porque ambas y son matrices semidefinidas positivas, y la raíz cuadrada de una matriz semidefinida positiva se define mediante el teorema espectral . El producto interno euclidiano de la definición clásica se reemplaza por el producto interno de Hilbert-Schmidt . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$

Como se discutirá en las siguientes secciones, esta expresión se puede simplificar en varios casos de interés. En particular, para estados puros y , es igual a: ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ ${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$

$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$

Algunos autores utilizan una definición alternativa y llaman a esta cantidad fidelidad. ^[2] La definición de sin embargo es más común. ^{[3] [4] [5]} Para evitar confusiones, podría denominarse "fidelidad de raíz cuadrada". En todo caso es aconsejable aclarar la definición adoptada siempre que se emplee la fidelidad. ${\displaystyle F':={\sqrt {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$

Motivación de la contraparte clásica.

Dadas dos variables aleatorias con valores ( variables aleatorias categóricas ) y probabilidades y , la fidelidad de y se define como la cantidad ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (1,...,n)}$ ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle F(X,Y)=\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)^{2}}$.

La fidelidad se ocupa de la distribución marginal de las variables aleatorias. No dice nada sobre la distribución conjunta de esas variables. En otras palabras, la fidelidad es el cuadrado del producto interno de y visto como vectores en el espacio euclidiano . Observe que si y sólo si . En general, . La medida se conoce como coeficiente de Bhattacharyya . ${\displaystyle F(X,Y)}$ ${\displaystyle ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})}$ ${\displaystyle ({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})}$ ${\displaystyle F(X,Y)=1}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle 0\leq F(X,Y)\leq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$

Dada una medida clásica de la distinguibilidad de dos distribuciones de probabilidad , se puede motivar una medida de distinguibilidad de dos estados cuánticos de la siguiente manera: si un experimentador intenta determinar si un estado cuántico es una de dos posibilidades o , la medida más general posible puede realizar en el estado es un POVM , que se describe mediante un conjunto de operadores semidefinidos positivos hermitianos . Al medir un estado con este POVM, el resultado -ésimo se encuentra con probabilidad y lo mismo con probabilidad para . La capacidad de distinguir entre y es entonces equivalente a su capacidad para distinguir entre las distribuciones de probabilidad clásicas y . Una pregunta natural es entonces preguntar cuál es el POVM que hace que las dos distribuciones sean lo más distinguibles posible, lo que en este contexto significa minimizar el coeficiente de Bhattacharyya sobre las posibles elecciones de POVM. Formalmente, nos vemos llevados así a definir la fidelidad entre estados cuánticos como: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}=\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{F_{i}\}}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}}\left(\sum _{i}{\sqrt {\operatorname {tr} (\rho F_{i})\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}}\right)^{2}.}$

^{Fuchs y Caves [6]} demostraron que la minimización en esta expresión se puede calcular explícitamente, con solución del POVM proyectivo correspondiente a la medición en la base propia de , y da como resultado la expresión explícita común para la fidelidad como ${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$

$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$$

Expresiones equivalentes

Expresión equivalente mediante norma de seguimiento

Una expresión equivalente para la fidelidad entre estados arbitrarios mediante la norma de seguimiento es:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},}$

donde el valor absoluto de un operador se define aquí como . ${\displaystyle |A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}}$

Expresión equivalente mediante polinomios característicos.

Dado que la traza de una matriz es igual a la suma de sus valores propios

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},}$

donde son los valores propios de , que es semidefinido positivo por construcción y, por lo tanto, las raíces cuadradas de los valores propios están bien definidas. Debido a que el polinomio característico de un producto de dos matrices es independiente del orden, el espectro de un producto matricial es invariante bajo permutación cíclica, por lo que estos valores propios se pueden calcular a partir de . ^[7] Invertir la propiedad de seguimiento conduce a ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}}$.

Expresiones para estados puros.

Si (al menos) uno de los dos estados es puro, por ejemplo , la fidelidad se simplifica a ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$

$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}=\rho }$

$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

Si ambos estados son puros y , entonces obtenemos la expresión aún más simple: ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ ${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$

$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

Propiedades

Algunas de las propiedades importantes de la fidelidad del estado cuántico son:

• Simetría . . ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )}$
• Valores acotados . Para cualquiera y , y . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0\leq F(\rho ,\sigma )\leq 1}$ ${\displaystyle F(\rho ,\rho )=1}$
• Coherencia con fidelidad entre distribuciones de probabilidad . Si y conmutar , la definición se simplifica a ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$
  $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$
  donde están los valores propios de , respectivamente. Para ver esto, recuerda que si entonces se pueden diagonalizar en la misma base : ${\displaystyle p_{k},q_{k}}$ ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=0}$
  $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|{\text{ and }}\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|,}$$
  de modo que ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}|k\rangle \!\langle k|\right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.}$
• Expresión explícita para qubits .

Si y son ambos estados de qubit , la fidelidad se puede calcular como ^{[1] [8]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )+2{\sqrt {\det(\rho )\det(\sigma )}}.}$

El estado de Qubit significa que y están representados por matrices bidimensionales. Este resultado se sigue de notar que es un operador semidefinido positivo , por lo tanto , donde y son los valores propios (no negativos) de . Si (o ) es puro, este resultado se simplifica aún más a desde para estados puros. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle M={\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {M}}={\sqrt {\lambda _{1}}}+{\sqrt {\lambda _{2}}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )}$ ${\displaystyle \mathrm {Det} (\rho )=0}$

Invariancia unitaria

El cálculo directo muestra que la fidelidad se preserva mediante la evolución unitaria , es decir

${\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

para cualquier operador unitario . ${\displaystyle U}$

Relación con la fidelidad entre las distribuciones de probabilidad correspondientes

Sea una medida arbitraria positiva valorada por el operador (POVM); es decir, un conjunto de operadores semidefinidos positivos que satisfacen . Entonces, para cualquier par de estados y , tenemos ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},}$$

${\displaystyle p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )}$ ${\displaystyle q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}$ ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$

Esto muestra que la raíz cuadrada de la fidelidad entre dos estados cuánticos está limitada superiormente por el coeficiente de Bhattacharyya entre las distribuciones de probabilidad correspondientes en cualquier POVM posible. De hecho, en términos más generales es cierto que

$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$

^[9] ${\displaystyle F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$

Prueba de desigualdad

Como se mostró anteriormente, la raíz cuadrada de la fidelidad se puede escribir como equivalente a la existencia de un operador unitario tal que ${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|,}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U).}$$

${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$

$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}E_{k}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {\sigma }}U)\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}},}$$

${\displaystyle |\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)|^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)}$

Comportamiento bajo operaciones cuánticas.

Se puede demostrar que la fidelidad entre dos estados nunca disminuye cuando se aplica una operación cuántica no selectiva a los estados: ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),}$$

mapa completamente positivo ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Relación con la distancia de seguimiento

Podemos definir la distancia de traza entre dos matrices A y B en términos de la norma de traza por

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.}$

Cuando A y B son operadores de densidad, se trata de una generalización cuántica de la distancia estadística . Esto es relevante porque la distancia de seguimiento proporciona límites superior e inferior de la fidelidad cuantificada por las desigualdades de Fuchs-van de Graaf , ^[11]

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

A menudo, la distancia de seguimiento es más fácil de calcular o vincular que la fidelidad, por lo que estas relaciones son bastante útiles. En el caso de que al menos uno de los estados sea un estado puro Ψ, el límite inferior puede ajustarse.

${\displaystyle 1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.}$

teorema de uhlmann

Vimos que para dos estados puros, su fidelidad coincide con la superposición. El teorema de Uhlmann ^[12] generaliza esta afirmación a los estados mixtos, en términos de sus purificaciones:

Teorema Sean ρ y σ matrices de densidad que actúan sobre C ⁿ . Sea ρ ^{1 ⁄ 2} la única raíz cuadrada positiva de ρ y

$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}(\rho ^{{1}/{2}}|e_{i}\rangle )\otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$$

ser una purificación de ρ (por lo tanto es una base ortonormal), entonces se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle \textstyle \{|e_{i}\rangle \}}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}}$

donde es una purificación de σ. Por tanto, en general, la fidelidad es el máximo solapamiento entre purificaciones. ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$

Bosquejo de prueba

Se puede esbozar una prueba sencilla de la siguiente manera. Denotemos el vector ${\displaystyle \textstyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

y σ ^{1 ⁄ 2} sea la única raíz cuadrada positiva de σ. Vemos que, debido a la libertad unitaria en las factorizaciones de raíces cuadradas y en la elección de bases ortonormales , una purificación arbitraria de σ es de la forma

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

donde los V _i son operadores unitarios . Ahora calculamos directamente

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.}$

Pero en general, para cualquier matriz cuadrada A y U unitaria , es cierto que |tr( AU )| ≤ tr(( A ^* A ) ^{1 ⁄ 2} ). Además, la igualdad se logra si U ^* es el operador unitario en la descomposición polar de A. De aquí se sigue directamente el teorema de Uhlmann.

Prueba con descomposiciones explícitas

Aquí proporcionaremos una forma alternativa y explícita de demostrar el teorema de Uhlmann.

Sean y purificaciones de y , respectivamente. Para empezar, demostrémoslo . ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$

La forma general de las purificaciones de los estados es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}}$$

vectores propios ${\displaystyle |\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$ ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$

$${\displaystyle \langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),}$$

${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).}$$

${\displaystyle |\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|}$

$${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.}$$

desigualdad triangular ${\displaystyle A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|}$ ${\displaystyle U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}}$$

valores singularesdescomposición de valores singulares ${\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle w_{j}|a_{j}\rangle =1}$ ${\displaystyle U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,}$ ${\displaystyle AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|}$ ${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.}$$

Consecuencias

Algunas consecuencias inmediatas del teorema de Uhlmann son

• La fidelidad es simétrica en sus argumentos, es decir, F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Tenga en cuenta que esto no es obvio a partir de la definición original.
• F (ρ,σ) se encuentra en [0,1], por la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
• F (ρ,σ) = 1 si y sólo si ρ = ​​σ, ya que Ψ _ρ = Ψ _σ implica ρ = σ.

Entonces podemos ver que la fidelidad se comporta casi como una métrica. Esto puede formalizarse y hacerse útil definiendo

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

Como el ángulo entre los estados y . De las propiedades anteriores se deduce que es no negativo, simétrico en sus entradas y es igual a cero si y sólo si . Además, se puede demostrar que obedece a la desigualdad del triángulo, ^[2] por lo que este ángulo es una métrica en el espacio de estados: la métrica de Fubini-Study . ^[13] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$ ${\displaystyle \rho =\sigma }$

Referencias

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3. Bengtsson, Ingemar (2017). Geometría de estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico . Cambridge, Reino Unido Nueva York, Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4.
4. Muros, DF; Milburn, GJ (2008). Óptica Cuántica . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-28573-1.
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9. Watrous, John (26 de abril de 2018). La teoría de la información cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-316-84814-2.
10. Nielsen, MA (13 de junio de 1996). "La fidelidad del entrelazamiento y la corrección de errores cuánticos". arXiv : quant-ph/9606012 . Código bibliográfico : 1996quant.ph..6012N. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
11. CA Fuchs y J. van de Graaf, "Medidas de distinguibilidad criptográfica para estados de mecánica cuántica", IEEE Trans. inf. Teoría 45, 1216 (1999). arXiv:quant-ph/9712042
12. Uhlmann, A. (1976). "La" probabilidad de transición "en el espacio de estados de un ∗-álgebra" (PDF) . Informes de Física Matemática . 9 (2): 273–279. Código Bib : 1976RpMP....9..273U. doi :10.1016/0034-4877(76)90060-4. ISSN  0034-4877.
13. K. Życzkowski, I. Bengtsson, Geometría de estados cuánticos , Cambridge University Press, 2008, 131

• Quantiki: Fidelidad