Mapa completamente positivo

Mapeo del álgebra C* que preserva los elementos positivos

En matemáticas, una función positiva es una función entre álgebras C* que envía elementos positivos a elementos positivos. Una función completamente positiva es aquella que satisface una condición más sólida y robusta.

Definición

Sean y C *-álgebras . Una función lineal se denomina función positiva si asigna elementos positivos a elementos positivos: . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi :A\to B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a\geq 0\implies \phi (a)\geq 0}$

Cualquier mapa lineal induce otro mapa ${\displaystyle \phi :A\to B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

de forma natural. Si se identifica con el C*-álgebra de matrices con entradas en , entonces actúa como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$ ${\displaystyle A^{k\times k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \phi }$Se llama k-positivo si es una función positiva y completamente positivo si es k-positivo para todo k. ${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Propiedades

• Los mapas positivos son monótonos, es decir, para todos los elementos autoadjuntos . ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• Dado que para todos los elementos autoadjuntos , cada función positiva es automáticamente continua con respecto a las C*-normas y su norma de operador es igual a . Una afirmación similar con unidades aproximadas se aplica a las álgebras no unitarias. ${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$ ${\displaystyle a\in A_{sa}}$ ${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• El conjunto de funcionales positivos es el cono dual del cono de elementos positivos de . ${\displaystyle \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

• Todo homomorfismo *- es completamente positivo. ^[1]
• Para cada operador lineal entre espacios de Hilbert, la función es completamente positiva. ^[2] El teorema de Stinespring dice que todas las funciones completamente positivas son composiciones de *-homomorfismos y estas funciones especiales. ${\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• Toda función positiva (y en particular todo estado ) es automáticamente completamente positiva. ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• Dadas las álgebras y de funciones continuas de valor complejo en espacios de Hausdorff compactos , toda aplicación positiva es completamente positiva. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• La transposición de matrices es un ejemplo estándar de una función positiva que no es 2-positiva. Sea T la que denota esta función en . La siguiente es una matriz positiva en : La imagen de esta matriz bajo es que claramente no es positiva, ya que tiene determinante −1. Además, los valores propios de esta matriz son 1,1,1 y −1. (Esta matriz resulta ser la matriz Choi de T , de hecho). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle I_{2}\otimes T}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$
  Por cierto, se dice que una función Φ es copositiva si la composición Φ T es positiva. La función de transposición en sí es una función copositiva. ${\displaystyle \circ }$

Véase también

• Teorema de Choi sobre mapas completamente positivos

Referencias

1. KR Davidson: C*-Álgebras por ejemplo , American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Teoría IX.4.1
2. RV Kadison , JR Ringrose : Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores II , Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, secc. 11.5.21