Puertas de Clifford

Definición de circuitos cuánticos

En computación cuántica y teoría de la información cuántica , las puertas de Clifford son los elementos del grupo de Clifford , un conjunto de transformaciones matemáticas que normalizan el grupo de Pauli de n -qubits , es decir, mapean productos tensoriales de matrices de Pauli a productos tensoriales de matrices de Pauli a través de la conjugación . La noción fue introducida por Daniel Gottesman y lleva el nombre del matemático William Kingdon Clifford . ^[1] Los circuitos cuánticos que consisten solo en puertas de Clifford se pueden simular eficientemente con una computadora clásica debido al teorema de Gottesman-Knill .

El grupo de Clifford se genera mediante tres puertas: Hadamard , puerta de fase S y CNOT . ^{[2] [3] [4]} Este conjunto de puertas es mínimo en el sentido de que descartar cualquiera de las puertas da como resultado la incapacidad de implementar algunas operaciones de Clifford; eliminar la puerta de Hadamard no permite potencias de en la representación de matriz unitaria, eliminar la puerta de fase S no permite en la matriz unitaria y eliminar la puerta CNOT reduce el conjunto de operaciones implementables de a . Dado que todas las matrices de Pauli se pueden construir a partir de las puertas de fase y Hadamard, cada puerta de Pauli también es trivialmente un elemento del grupo de Clifford. ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1}^{n}}$

La compuerta es igual al producto de las compuertas y . Para demostrar que un unitario es miembro del grupo de Clifford, basta con demostrar que para todos los que consisten únicamente en los productos tensoriales de y , tenemos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}}$

Puertas generadoras comunes

Puerta de Hadamard

La puerta de Hadamard

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

es miembro del grupo Clifford como y . ${\displaystyle HXH^{\dagger }=Z}$ ${\displaystyle HZH^{\dagger }=X}$

Spuerta

La puerta de fase

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}$

es una puerta de Clifford como y . ${\displaystyle SXS^{\dagger }=Y}$ ${\displaystyle SZS^{\dagger }=Z}$

Puerta CNOT

La compuerta CNOT se aplica a dos cúbits. Es una compuerta NOT controlada, donde una compuerta NOT se ejecuta en el cúbit 2 si y solo si el cúbit 1 está en el estado 1.

${\displaystyle \mathrm {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Entre y hay cuatro opciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Construyendo un conjunto universal de puertas cuánticas

Las puertas de Clifford no forman un conjunto universal de puertas cuánticas , ya que algunas puertas fuera del grupo de Clifford no pueden aproximarse arbitrariamente con un conjunto finito de operaciones. Un ejemplo es la puerta de desplazamiento de fase (conocida históricamente como la puerta): ${\displaystyle \pi /8}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$.

Lo siguiente muestra que la puerta no asigna la puerta Pauli a otra matriz Pauli: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle TX{T^{\dagger }}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\\{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}&0\end{array}}\right]\not \in {{\mathbf {P} }_{1}}}$

Sin embargo, el grupo de Clifford, cuando se amplía con la puerta, forma un conjunto de puertas cuánticas universales para el cálculo cuántico. ^[5] Además, se conocen implementaciones de circuitos exactos y óptimos de las rotaciones de ángulos de un solo qubit . ^{[6] [7]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$

Véase también

• Destilación en estado mágico
• Álgebra de Clifford

Referencias

1. Gottesman, Daniel (1 de enero de 1998). "Teoría de la computación cuántica tolerante a fallos" (PDF) . Physical Review A . 57 (1): 127–137. arXiv : quant-ph/9702029 . Código Bibliográfico :1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/physreva.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
2. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (9 de diciembre de 2010). Computación cuántica e información cuántica: edición del décimo aniversario. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3.
3. Gottesman, Daniel (1 de enero de 1998). "Teoría de la computación cuántica tolerante a fallos". Physical Review A . 57 (1): 127–137. arXiv : quant-ph/9702029 . Código Bibliográfico :1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/PhysRevA.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
4. Gottesman, Daniel (28 de mayo de 1997). Códigos estabilizadores y corrección de errores cuánticos (tesis doctoral). Caltech. arXiv : quant-ph/9705052 . Bibcode :1997PhDT.......232G.
5. Forest, Simon; Gosset, David; Kliuchnikov, Vadym; McKinnon, David. "Síntesis exacta de unitarios de un solo qubit sobre conjuntos de puertas ciclotómicas de Clifford". Journal of Mathematical Physics .
6. Ross, Neil J.; Selinger, Peter (2014). "Aproximación de Clifford+ T óptima sin ancilla de rotaciones z". arXiv : 1403.2975 .
7. Kliuchnikov, Vadym; Maslov, Dmitri; Mosca, Michele (2013). "Síntesis exacta rápida y eficiente de unitarios de un solo cúbit generados por puertas Clifford y T". Información y computación cuántica . 13 (7–8): 607–630. arXiv : 1206.5236 . doi :10.26421/QIC13.7-8-4. S2CID  12885769.