Matriz involutiva

Matriz cuadrada que es su propia inversa

En matemáticas , una matriz involutiva es una matriz cuadrada que es su propia inversa . Es decir, la multiplicación por la matriz es una involución si y solo si donde es la matriz identidad . Las matrices involutivas son todas raíces cuadradas de la matriz identidad. Esto es una consecuencia del hecho de que cualquier matriz invertible multiplicada por su inversa es la identidad. ^[1] ${\displaystyle {\mathbf {A}}_{n\times n}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A}}^{2}={\mathbf {I}},}$ ${\displaystyle {\mathbf {I}}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Ejemplos

La matriz real es involutiva siempre que ^[2] ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

Las matrices de Pauli en ⁠ ⁠ ${\displaystyle M(2,\mathbb {C} )}$ son involutivas: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Una de las tres clases de matrices elementales es involutiva, a saber, la matriz elemental de intercambio de filas. Un caso especial de otra clase de matriz elemental, la que representa la multiplicación de una fila o columna por −1, también es involutiva; de hecho, es un ejemplo trivial de una matriz de signatura , todas las cuales son involutivas.

A continuación se muestran algunos ejemplos simples de matrices involutivas.

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$dónde

• I es la matriz identidad 3 × 3 (que es trivialmente involutiva);
• R es la matriz identidad de 3 × 3 con un par de filas intercambiadas;
• S es una matriz de firma .

Cualquier matriz diagonal de bloques construida a partir de matrices involutivas también será involutiva, como consecuencia de la independencia lineal de los bloques.

Simetría

Una matriz involutiva que también es simétrica es una matriz ortogonal y, por lo tanto, representa una isometría (una transformación lineal que preserva la distancia euclidiana ). A la inversa, toda matriz involutiva ortogonal es simétrica. ^[3] Como caso especial de esto, toda matriz de reflexión y rotación de 180° es involutiva.

Propiedades

Una involución no es defectuosa y cada valor propio es igual a , por lo que una involución se diagonaliza a una matriz de firma. ${\displaystyle \pm 1}$

Una involución normal es hermítica (compleja) o simétrica (real) y también unitaria (compleja) u ortogonal (real).

El determinante de una matriz involutiva sobre cualquier campo es ±1. ^[4]

Si A es una matriz n  ×  n , entonces A es involutiva si y solo si es idempotente . Esta relación da una biyección entre matrices involutivas y matrices idempotentes. ^[4] De manera similar, A es involutiva si y solo si es idempotente . Estos dos operadores forman las proyecciones simétricas y antisimétricas de un vector con respecto a la involución A , en el sentido de que , o . La misma construcción se aplica a cualquier función involutiva , como la conjugada compleja (partes reales e imaginarias), transpuesta (matrices simétricas y antisimétricas) y adjunta hermítica ( matrices hermíticas y antihermíticas ). ${\displaystyle {\mathbf {P}}_{+}=({\mathbf {I}}+{\mathbf {A}})/2}$ ${\displaystyle {\mathbf {P}}_{-}=({\mathbf {I}}-{\mathbf {A}})/2}$ ${\displaystyle v_{\pm }={\mathbf {P}}_{\pm }v}$ ${\displaystyle v=v_{+}+v_{-}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A}}v_{\pm }=\pm v_{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathbf {AP}}_{\pm }=\pm {\mathbf {P}}_{\pm }}$

Si A es una matriz involutiva en ⁠ ⁠ ${\displaystyle M(n,\mathbb {R} ),}$ que es un álgebra matricial sobre los números reales , y A no es un múltiplo escalar de I , entonces el subálgebra generada por A es isomorfa a los números complejos divididos . ${\displaystyle \{x{\mathbf {I}}+y{\mathbf {A}}:xy\in \mathbb {R} \}}$

Si A y B son dos matrices involutivas que conmutan entre sí (es decir, AB = BA ), entonces AB también es involutiva.

Si A es una matriz involutiva entonces toda potencia entera de A es involutiva. De hecho, A ⁿ será igual a A si n es impar y a I si n es par .

Véase también

• Involución afín

Referencias

1. Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Matrices involutivas", Funciones de matrices: teoría y computación, Filadelfia, PA: Sociedad de matemáticas industriales y aplicadas (SIAM), págs. 165-166, doi : 10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, Sr.  2396439.
2. Peter Lancaster y Miron Tismenetsky (1985) La teoría de matrices , 2.ª edición, págs. 12 y 13, Academic Press ISBN 0-12-435560-9 
3. Govaerts, Willy JF (2000), Métodos numéricos para bifurcaciones de equilibrios dinámicos, Filadelfia, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), pág. 292, doi : 10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, Sr.  1736704.
4. Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Datos sobre matrices involutivas", Matrix Mathematics (2.ª ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, págs. 230-231, ISBN 978-0-691-14039-1, Sr.  2513751.