matriz hermitiana

Matriz igual a su conjugada-transpuesta

En matemáticas , una matriz hermitiana (o matriz autoadjunta ) es una matriz cuadrada compleja que es igual a su propia transpuesta conjugada , es decir, el elemento en la i -ésima fila y la j -ésima columna es igual al conjugado complejo de el elemento en la j -ésima fila y i -ésima columna, para todos los índices i y j :

${\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {{a}_{ji}}}}$

o en forma matricial:

$${\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.}$$

Las matrices hermitianas pueden entenderse como la extensión compleja de las matrices simétricas reales .

Si la transpuesta conjugada de una matriz se denota por entonces la propiedad hermitiana se puede escribir de manera concisa como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$

${\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}}$

Las matrices hermitianas llevan el nombre de Charles Hermite , ^[1] quien demostró en 1855 que las matrices de esta forma comparten con las matrices simétricas reales la propiedad de tener siempre valores propios reales . Otras notaciones equivalentes de uso común son, aunque en mecánica cuántica , normalmente significa solo el conjugado complejo , y no la transpuesta conjugada . ${\displaystyle A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$

Caracterizaciones alternativas

Las matrices hermitianas se pueden caracterizar de varias formas equivalentes, algunas de las cuales se enumeran a continuación:

Igualdad con el adjunto

Una matriz cuadrada es hermitiana si y sólo si es igual a su transpuesta conjugada , es decir, satisface ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle =\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$

la operación del producto interno ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} ,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Esta es también la forma en que se define el concepto más general de operador autoadjunto .

Valor real de formas cuadráticas.

Una matriz es hermitiana si y sólo si ${\displaystyle n\times {}n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.}$$

Propiedades espectrales

Una matriz cuadrada es hermitiana si y sólo si es unitariamente diagonalizable con valores propios reales . ${\displaystyle A}$

Aplicaciones

Las matrices hermitianas son fundamentales para la mecánica cuántica porque describen operadores con valores propios necesariamente reales. Un valor propio de un operador en algún estado cuántico es uno de los posibles resultados de medición del operador, lo que requiere que los operadores tengan valores propios reales. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

En el procesamiento de señales , las matrices hermitianas se utilizan en tareas como el análisis de Fourier y la representación de señales. ^[2] Los valores propios y vectores propios de las matrices hermitianas desempeñan un papel crucial en el análisis de señales y la extracción de información significativa.

Las matrices hermitianas se estudian ampliamente en álgebra lineal y análisis numérico . Tienen propiedades espectrales bien definidas y muchos algoritmos numéricos, como el algoritmo de Lanczos , explotan estas propiedades para realizar cálculos eficientes. Las matrices hermitianas también aparecen en técnicas como la descomposición de valores singulares (SVD) y la descomposición de valores propios .

En estadística y aprendizaje automático , las matrices hermitianas se utilizan en matrices de covarianza , donde representan las relaciones entre diferentes variables. La precisión positiva de una matriz de covarianza hermitiana garantiza la buena definición de las distribuciones multivariadas. ^[3]

Las matrices hermitianas se aplican en el diseño y análisis de sistemas de comunicaciones , especialmente en el campo de los sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). Las matrices de canales en los sistemas MIMO suelen exhibir propiedades hermitianas.

En teoría de grafos , las matrices hermitianas se utilizan para estudiar los espectros de los grafos . La matriz hermitiana laplaciana es una herramienta clave en este contexto, ya que se utiliza para analizar los espectros de gráficos mixtos. ^[4] La matriz de adyacencia hermitiana de un gráfico mixto es otro concepto importante, ya que es una matriz hermitiana que desempeña un papel en el estudio de las energías de los gráficos mixtos. ^[5]

Ejemplos y soluciones

En esta sección, la transpuesta conjugada de matriz se denota como la transpuesta de matriz se denota como y el conjugado de matriz se denota como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$

Vea el siguiente ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}}$$

Los elementos diagonales deben ser reales , ya que deben ser sus propios conjugados complejos.

Las familias más conocidas de matrices hermitianas incluyen las matrices de Pauli , las matrices de Gell-Mann y sus generalizaciones. En física teórica, estas matrices hermitianas a menudo se multiplican por coeficientes imaginarios , ^{[6] [7],} lo que da como resultado matrices hermitianas sesgadas .

Aquí ofrecemos otra matriz hermitiana útil utilizando un ejemplo abstracto. Si una matriz cuadrada es igual al producto de una matriz con su transpuesta conjugada, es decir, entonces es una matriz semidefinida positiva hermitiana . Además, si la fila es de rango completo, entonces es definida positiva. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Propiedades

Los valores de la diagonal principal son reales.

Las entradas en la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) de cualquier matriz hermitiana son reales .

Prueba

Por definición de la matriz hermitiana

$${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$$

entonces para i = j lo anterior sigue.

Sólo las entradas de la diagonal principal son necesariamente reales; Las matrices hermitianas pueden tener entradas arbitrarias de valores complejos en sus elementos fuera de la diagonal , siempre que las entradas diagonalmente opuestas sean conjugados complejos.

Simétrico

Una matriz que sólo tiene entradas reales es simétrica si y sólo si es una matriz hermitiana. Una matriz real y simétrica es simplemente un caso especial de matriz hermitiana.

Prueba

${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$por definición. Por tanto (simetría matricial) si y sólo si ( es real). ${\displaystyle H_{ij}=H_{ji}}$ ${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ij}}$ ${\displaystyle H_{ij}}$

Entonces, si una matriz antisimétrica real se multiplica por un múltiplo real de la unidad imaginaria, entonces se vuelve hermitiana. ${\displaystyle i,}$

Normal

Toda matriz hermitiana es una matriz normal . Es decir, ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.}$

Prueba

${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}},}$entonces ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.}$

Diagonalizable

El teorema espectral de dimensión finita dice que cualquier matriz hermitiana puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria , y que la matriz diagonal resultante sólo tiene entradas reales. Esto implica que todos los valores propios de una matriz hermitiana A con dimensión n son reales, y que A tiene n vectores propios linealmente independientes . Además, una matriz hermitiana tiene vectores propios ortogonales para valores propios distintos. Incluso si hay valores propios degenerados, siempre es posible encontrar una base ortogonal de C ⁿ que consta de n vectores propios de A.

Suma de matrices hermitianas

La suma de dos matrices hermitianas cualesquiera es hermitiana.

Prueba

$${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},}$$

como se afirma.

La inversa es hermitiana.

La inversa de una matriz hermitiana invertible también es hermitiana.

Prueba

Si es así como se afirma. ${\displaystyle A^{-1}A=I,}$ ${\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$

Producto asociativo de matrices hermitianas.

El producto de dos matrices hermitianas A y B es hermitiana si y sólo si AB = BA .

Prueba

$${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.}$$

Así si y sólo si ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB}$ ${\displaystyle AB=BA.}$

Por tanto ^, An es hermitiano si A es hermitiano y n es un número entero.

ABA Hermitiano

Si A y B son hermitianos, entonces ABA también es hermitiano.

Prueba

$${\displaystyle (ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA}$$

v H A v es real para v complejo

Para un vector arbitrario de valor complejo v, el producto es real debido a Esto es especialmente importante en física cuántica donde las matrices hermitianas son operadores que miden propiedades de un sistema, por ejemplo, el espín total , que tienen que ser reales. ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}.}$

El complejo hermitiano forma un espacio vectorial sobre R

Las matrices hermitianas complejas n por n no forman un espacio vectorial sobre los números complejos , C , ya que la _matriz identidad In es hermitiana, pero i  In _no lo es. Sin embargo , las matrices hermitianas complejas forman un espacio vectorial sobre los números reales R. En el espacio vectorial bidimensional 2 n de matrices complejas n  ×  n sobre R , las matrices hermitianas complejas forman un subespacio de ^dimensión n ² . Si E _jk denota la matriz n -by- n con un 1 en la posición j , k y ceros en otros lugares, una base (ortonormal con respecto al producto interno de Frobenius) se puede describir de la siguiente manera:

$${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$$

junto con el conjunto de matrices de la forma

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

y las matrices

$${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

donde denota la unidad imaginaria , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}~.}$

Un ejemplo es que las cuatro matrices de Pauli forman una base completa para el espacio vectorial de todas las matrices hermitianas complejas de 2 por 2 sobre R.

Descomposición propia

Si se eligen n vectores propios ortonormales de una matriz hermitiana y se escriben como columnas de la matriz U , entonces una descomposición propia de A es donde y por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$

$${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},}$$

${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \Lambda .}$

Valores singulares

Los valores singulares de son los valores absolutos de sus valores propios: ${\displaystyle A}$

Dado que tiene una descomposición propia , donde es una matriz unitaria (sus columnas son vectores ortonormales; ver arriba), una descomposición en valores singulares de es , donde y son matrices diagonales que contienen los valores absolutos y los signos de los valores propios de , respectivamente. es unitario, ya que las columnas de solo se multiplican por . contiene los valores singulares de , es decir, los valores absolutos de sus valores propios. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{H}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U|\Lambda |{\text{sgn}}(\Lambda )U^{H}}$ ${\displaystyle |\Lambda |}$ ${\displaystyle {\text{sgn}}(\Lambda )}$ ${\displaystyle |\lambda |}$ ${\displaystyle {\text{sgn}}(\lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\Lambda )U^{H}}$ ${\displaystyle U^{H}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle |\Lambda |}$ ${\displaystyle A}$

determinante real

El determinante de una matriz hermitiana es real:

Prueba

${\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}}$Por lo tanto si ${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.}$

(Alternativamente, el determinante es el producto de los valores propios de la matriz y, como se mencionó anteriormente, los valores propios de una matriz hermitiana son reales).

Descomposición en matrices hermitianas y sesgadas-hermitianas

Los hechos adicionales relacionados con las matrices hermitianas incluyen:

• La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es hermitiana. ${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• La diferencia entre una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es sesgada-hermitiana (también llamada antihermitiana). Esto implica que el conmutador de dos matrices hermitianas es sesgado-hermitiano. ${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Una matriz cuadrada arbitraria C se puede escribir como la suma de una matriz hermitiana A y una matriz sesgada hermitiana B. Esto se conoce como descomposición de Toeplitz de C. ^{[9] : 227}
  $${\displaystyle C=A+B\quad {\text{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\text{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$$

cociente de Rayleigh

En matemáticas, para una matriz hermitiana compleja dada M y un vector x distinto de cero , el cociente de Rayleigh ^[10] se define como: ^{[9] : p. 234  [11]} ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ),}$

$${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}\mathbf {x} }}.}$$

Para matrices y vectores reales, la condición de ser hermitiana se reduce a la de ser simétrica, y la transpuesta conjugada a la transpuesta habitual para cualquier escalar real distinto de cero . Además, recuerde que una matriz hermitiana (o simétrica real) tiene valores propios reales. ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}.}$ ${\displaystyle R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle c.}$

Se puede demostrar ^[9] que, para una matriz dada, el cociente de Rayleigh alcanza su valor mínimo (el valor propio más pequeño de M) cuando es (el vector propio correspondiente). De manera similar, y ${\displaystyle \lambda _{\min }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\min }}$ ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }}$ ${\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }.}$

El cociente de Rayleigh se utiliza en el teorema mínimo-máximo para obtener valores exactos de todos los valores propios. También se utiliza en algoritmos de valores propios para obtener una aproximación de valores propios a partir de una aproximación de vectores propios. Específicamente, esta es la base de la iteración del cociente de Rayleigh.

El rango del cociente de Rayleigh (para matrices que no son necesariamente hermitianas) se denomina rango numérico (o espectro en análisis funcional). Cuando la matriz es hermitiana, el rango numérico es igual a la norma espectral. Aún en análisis funcional, se le conoce como radio espectral. En el contexto de las álgebras C* o la mecánica cuántica algebraica, la función que a M asocia el cociente de Rayleigh R ( M , x ) para una x fija y M variando a través del álgebra se denominaría "estado vectorial" del álgebra. . ${\displaystyle \lambda _{\max }}$

Ver también

• Matriz simétrica compleja  : matriz igual a su transpuestaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Fórmula de aditividad de inercia de Haynsworth  : cuenta los valores propios positivos, negativos y cero de una matriz hermitiana dividida en bloques
• Forma hermitiana  - Generalización de una forma bilinealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Matriz normal  : matriz que conmuta con su transpuesta conjugada
• Teorema de Schur-Horn  : caracteriza la diagonal de una matriz hermitiana con valores propios dados
• Operador autoadjunto  : operador lineal igual a su propio adjunto
• Matriz sesgada-hermitiana  : matriz cuya transpuesta conjugada es su negativa (inversa aditiva) (matriz antihermitiana)
• Matriz unitaria  : matriz compleja cuya transpuesta conjugada es igual a su inversa
• Espacio vectorial  : estructura algebraica en álgebra lineal

Referencias

1. Archibald, Tom (31 de diciembre de 2010), Gowers, Timothy; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.), "VI.47 Charles Hermite", The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 773–773, doi :10.1515/9781400830398.773a, ISBN 978-1-4008-3039-8, recuperado el 15 de noviembre de 2023
2. Ribeiro, Alejandro. "Procesamiento de señales e información" (PDF) .
3. «DISTRIBUCIONES NORMALES MULTIVARIADAS» (PDF) .
4. Lau, Iván. "Teoría espectral hermitiana de gráficos mixtos" (PDF) .
5. Liu, Jianxi; Li, Xueliang (febrero de 2015). "Matrices de adyacencia hermitiana y energías hermitianas de gráficos mixtos". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 466 : 182-207. doi : 10.1016/j.laa.2014.10.028 .
6. Frankel, Theodore (2004). La Geometría de la Física: una introducción. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 652.ISBN​ 0-521-53927-7.
7. Notas del curso de Física 125 en el Instituto de Tecnología de California
8. Trefethan, Lloyd N.; Bau, III, David (1997). Álgebra lineal numérica. Filadelfia, Pensilvania, Estados Unidos: SIAM . pag. 34.ISBN​ 0-89871-361-7.
9. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial, segunda edición . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521839402.
10. También conocida como relación Rayleigh-Ritz ; lleva el nombre de Walther Ritz y Lord Rayleigh .
11. Parlet BN El problema de los valores propios simétricos , SIAM, Clásicos de las Matemáticas Aplicadas, 1998

enlaces externos

• "Matriz hermitiana", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Visualizar Hermitian Matrix como una elipse con el Dr. Geo, de Chao-Kuei Hung de la Universidad de Chaoyang, ofrece una explicación más geométrica.
• "Matrices hermitianas". MathPages.com .