stringtranslate.com

Ángulo

dos líneas dobladas en un punto
Un ángulo verde formado por dos rayos rojos en el sistema de coordenadas cartesianas.

En geometría euclidiana , un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. [1] Los ángulos formados por dos rayos también se conocen como ángulos planos , ya que se encuentran en el plano que contiene los rayos. Los ángulos también se forman por la intersección de dos planos; estos se llaman ángulos diedros . Dos curvas que se cruzan también pueden definir un ángulo, que es el ángulo de los rayos que se encuentran tangentes a las respectivas curvas en su punto de intersección.

La magnitud de un ángulo se denomina medida angular o simplemente "ángulo". El ángulo de rotación es una medida definida convencionalmente como la relación entre la longitud de un arco circular y su radio , y puede ser un número negativo . En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación , el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

Historia y etimología

La palabra ángulo proviene del latín angulus , que significa "esquina". Otras palabras relacionadas son el griego ἀγκύλος ( ankylοs ), que significa "torcido, curvado", y la palabra inglesa " tobillo ". Ambas están relacionadas con la raíz protoindoeuropea *ank- , que significa "doblar" o "arquearse". [2]

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas una con respecto a la otra. Según el metafísico neoplatónico Proclo , un ángulo debe ser una cualidad, una cantidad o una relación. El primer concepto, ángulo como cualidad, fue utilizado por Eudemo de Rodas , quien consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; el segundo, ángulo como cualidad, por Carpo de Antioquía , quien lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercero: ángulo como relación. [3]

Identificando ángulos

En expresiones matemáticas , es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ , . . . ) como variables que denotan el tamaño de algún ángulo [4] (el símbolo π no se usa típicamente para este propósito para evitar confusiones con la constante denotada por ese símbolo ). También se usan letras romanas minúsculas ( abc , . . . ). En contextos donde esto no es confuso, un ángulo puede denotarse con la letra romana mayúscula que denota su vértice. Vea las figuras en este artículo para ver ejemplos.

Los tres puntos de definición también pueden identificar ángulos en figuras geométricas. Por ejemplo, el ángulo con vértice A formado por los rayos AB y AC (es decir, las semirrectas que van del punto A a través de los puntos B y C) se denota ∠BAC o . Cuando no hay riesgo de confusión, a veces se puede hacer referencia al ángulo por un solo vértice (en este caso, "ángulo A").

En otras formas, un ángulo denotado como, por ejemplo, ∠BAC podría referirse a cualquiera de cuatro ángulos: el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de C a B alrededor de A, o el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de C a B alrededor de A, donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (véase § Ángulos con signo ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas, es evidente a partir del contexto que se hace referencia al ángulo positivo menor o igual a 180 grados, y en estos casos, no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, para evitar la ambigüedad, se pueden adoptar convenciones específicas de modo que, por ejemplo, ∠BAC siempre se refiera al ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) de B a C alrededor de A y ∠CAB al ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) de C a B alrededor de A.

Tipos

Angulos individuales

Existe una terminología común para los ángulos, cuya medida siempre es no negativa (ver § Ángulos con signo ):

Los nombres, intervalos y unidades de medida se muestran en la siguiente tabla:

Vertical y.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}adyacentepares de ángulos

Los ángulos A y B son un par de ángulos verticales; los ángulos C y D son un par de ángulos verticales. Aquí se utilizan marcas de rayado para mostrar la igualdad de ángulos.

Cuando dos líneas rectas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. Estos ángulos se nombran de dos en dos según su posición relativa.

Una transversal es una línea que interseca un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos externos , ángulos internos , ángulos externos alternos , ángulos internos alternos , ángulos correspondientes y ángulos internos consecutivos . [11]

Combinando pares de ángulos

El postulado de adición de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces

Es decir, la medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC.

Tres pares de ángulos especiales implican la suma de ángulos:

Los ángulos complementarios a y b ( b es el complemento de a y a es el complemento de b ).

Ángulos relacionados con polígonos

Angulos internos y externos

Ángulos relacionados con el plano

Medición de ángulos

El tamaño de un ángulo geométrico se caracteriza generalmente por la magnitud de la rotación más pequeña que hace que uno de los rayos se incorpore al otro. Se dice que los ángulos del mismo tamaño son congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una vuelta completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva espiral o describir la rotación acumulada de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo distinto de cero de una vuelta completa no son equivalentes.

La medida del ángulo θ es s/a radianes .

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un compás . La relación entre la longitud s del arco y el radio r del círculo es el número de radianes del ángulo: [20] Convencionalmente, en matemáticas y en el SI , el radián se trata como si fuera igual a la unidad adimensional 1, por lo que normalmente se omite.

El ángulo expresado por otra unidad angular puede entonces obtenerse multiplicando el ángulo por una constante de conversión adecuada de la formaa/ , donde k es la medida de una vuelta completa expresada en la unidad elegida (por ejemplo, k = 360° para grados o 400 grad para gradianes ):

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r permanece inalterada. [nb 1]

Unidades

Definición de 1 radián

A lo largo de la historia, los ángulos se han medido en varias unidades . Estas se conocen como unidades angulares , siendo las unidades más contemporáneas el grado (°), el radián (rad) y el gradián (grad), aunque se han utilizado muchas otras a lo largo de la historia . [22] La mayoría de las unidades de medida angular se definen de forma que una vuelta (es decir, el ángulo subtendido por la circunferencia de un círculo en su centro) es igual a n unidades, para algún número entero n . Dos excepciones son el radián (y sus submúltiplos decimales) y la parte del diámetro.

En el Sistema Internacional de Cantidades , un ángulo se define como una cantidad adimensional y, en particular, la unidad radián es adimensional. Esta convención afecta el modo en que se tratan los ángulos en el análisis dimensional .

La siguiente tabla enumera algunas unidades utilizadas para representar ángulos.

Análisis dimensional

El ángulo plano puede definirse como θ = s / r , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. Un radián SI corresponde al ángulo expresado en radianes para el cual s = r , por lo tanto, 1 radián SI = 1 m/m = 1. [28] Sin embargo, rad solo se debe utilizar para expresar ángulos, no para expresar razones de longitudes en general. [29] Un cálculo similar utilizando el área de un sector circular θ = 2 A / r 2 da 1 radián SI como 1 m 2 /m 2 = 1. [30] El hecho clave es que el radián SI es una unidad adimensional igual a 1 . En SI 2019, el radián SI se define en consecuencia como 1 rad = 1 . [31] Es una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de rad = 1 . [32] [33]

Giacomo Prando escribe que "la situación actual conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de ecuaciones físicas". [34] Por ejemplo, un objeto que cuelga de una cuerda desde una polea se elevará o descenderá en y = centímetros, donde r es el radio de la polea en centímetros y θ es el ángulo a través del cual gira la polea en radianes. Al multiplicar r por θ, la unidad radián no aparece en el resultado. De manera similar, en la fórmula para la velocidad angular de una rueda que gira, ω = v / r , los radianes aparecen en las unidades de ω pero no en el lado derecho. [35] Anthony French llama a este fenómeno "un problema perenne en la enseñanza de la mecánica". [36] Oberhofer dice que el consejo típico de ignorar los radianes durante el análisis dimensional y agregar o quitar radianes en unidades según la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio". [37]

En 1993, el Comité Métrico de la Asociación Estadounidense de Profesores de Física especificó que el radián debería aparecer explícitamente en cantidades solo cuando se obtendrían valores numéricos diferentes al utilizar otras medidas de ángulos, como en las cantidades de medida de ángulo (rad), velocidad angular (rad/s), aceleración angular (rad/s 2 ) y rigidez torsional (N⋅m/rad), y no en las cantidades de torque (N⋅m) y momento angular (kg⋅m 2 /s). [38]

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radián como una unidad base de medida para una cantidad base (y dimensión) de "ángulo plano". [39] [40] [41] La revisión de las propuestas de Quincey describe dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radián, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área de un círculo , π r 2 . La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas familiares". [42] Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y la dificultad de modificar ecuaciones para agregar la constante dimensional probablemente impida su uso generalizado. [41]

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante η igual a 1 radián inverso (1 rad −1 ) de una manera similar a la introducción de la constante ε 0 . [42] [a] Con este cambio la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, s = , se modifica para convertirse en s = ηrθ , y la serie de Taylor para el seno de un ángulo θ se convierte en: [41] [43] donde es el ángulo en radianes. La función en mayúsculas Sin es la función "completa" que toma un argumento con una dimensión de ángulo y es independiente de las unidades expresadas, [43] mientras que sin es la función tradicional en números puros que asume que su argumento es un número adimensional en radianes. [44] El símbolo en mayúsculas se puede denotar si está claro que se refiere a la forma completa. [41] [45]

El SI actual puede considerarse en relación con este marco como un sistema de unidades natural donde se supone que se cumple la ecuación η = 1 , o de manera similar, 1 rad = 1. Esta convención de radianes permite la omisión de η en fórmulas matemáticas. [46]

Definir el radián como unidad base puede ser útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. [47] Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boost define unidades angulares con una plane_angledimensión, [48] y el sistema de unidades de Mathematica considera de manera similar que los ángulos tienen una dimensión angular. [49] [50]

Ángulos con signo

Midiendo desde el eje x , los ángulos en el círculo unitario cuentan como positivos en sentido antihorario y negativos en sentido horario .

Con frecuencia resulta útil imponer una convención que permita que valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas o "sentidos" relativos a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional , un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo , mientras que el otro lado o lado terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o giros, con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje y positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas se representan por la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y los ciclos negativos son en sentido horario .

En muchos contextos, un ángulo de − θ equivale efectivamente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45° equivale efectivamente a una orientación definida como 360° − 45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de −45° no es lo mismo que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba apoyada sobre un suelo polvoriento dejaría rastros visualmente diferentes de las regiones barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "en sentido horario" y "antihorario" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en términos de una orientación , que normalmente está determinada por un vector normal que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en el que se encuentran los rayos del ángulo.

En navegación , los rumbos o acimutes se miden en relación con el norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de rumbo son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

Angulos equivalentes

Cantidades relacionadas

En el caso de una unidad angular, es definitorio que se cumple el postulado de la suma de ángulos . Algunas cantidades relacionadas con los ángulos en las que no se cumple el postulado de la suma de ángulos son:

Ángulos entre curvas

El ángulo entre las dos curvas en P se define como el ángulo entre las tangentes A y B en P.

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas que se intersecan (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Se han dado varios nombres (ahora rara vez, o nunca, usados) a casos particulares: anficírtico (Gr. ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexo) o cisoidal (Gr. κισσός, hiedra), biconvexo; xistroidal o sistroidal (Gr. ξυστρίς, una herramienta para raspar), cóncavo-convexo; anficóelico (Gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo. [53]

Ángulos bisectores y trisectores

Los antiguos matemáticos griegos sabían bisecar un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) utilizando únicamente un compás y una regla, pero sólo podían trisecar ciertos ángulos. En 1837, Pierre Wantzel demostró que esta construcción no podía realizarse para la mayoría de los ángulos.

Producto escalar y generalizaciones

En el espacio euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores euclidianos u y v está relacionado con su producto escalar y sus longitudes mediante la fórmula

Esta fórmula proporciona un método sencillo para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) a partir de sus vectores normales y entre líneas oblicuas a partir de sus ecuaciones vectoriales.

Producto interior

Para definir ángulos en un espacio abstracto de producto interno real , reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interno , es decir

En un espacio de producto interno complejo , la expresión para el coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza por

o, más comúnmente, utilizando el valor absoluto, con

La última definición ignora la dirección de los vectores. Por lo tanto, describe el ángulo entre los subespacios unidimensionales y los generados por los vectores y, en consecuencia,

Ángulos entre subespacios

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales y dada por

En un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de dimensiones finitas. Dados dos subespacios , con , esto conduce a una definición de ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios.

Ángulos en la geometría de Riemann

En geometría de Riemann , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g ij son los componentes del tensor métrico G.

Angulo hiperbolico

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica , así como el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación puede visualizarse como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular , ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de los ángulos en cada caso. [54] A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas se consideran series infinitas en su argumento angular, las circulares son simplemente formas de series alternadas de las funciones hiperbólicas. Esta comparación de las dos series correspondientes a funciones de ángulos fue descrita por Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

Los ángulos en geografía y astronomía

En geografía , la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar mediante un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y la longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, utilizando el ecuador y (generalmente) el meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía , un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) puede identificarse utilizando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían según el sistema en particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra , cada una de las cuales interseca una de las estrellas. Se puede medir el ángulo entre esas líneas y la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en geografía como en astronomía, una dirección de observación se puede especificar en términos de un ángulo vertical como la altitud / elevación con respecto al horizonte , así como el acimut con respecto al norte .

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como diámetro angular . Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0,5° cuando se la ve desde la Tierra. Se podría decir: "El diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado". La fórmula del ángulo pequeño puede convertir dicha medida angular en una relación distancia/tamaño.

Otras aproximaciones astronómicas incluyen:

Estas medidas dependen de cada sujeto y lo anterior debe considerarse únicamente como una aproximación aproximada .

En astronomía, la ascensión recta y la declinación suelen medirse en unidades angulares, expresadas en términos de tiempo, basándose en un día de 24 horas.

Véase también

Notas

  1. ^ Este enfoque requiere, sin embargo, una prueba adicional de que la medida del ángulo no cambia con el cambio de radio r , además de la cuestión de las "unidades de medida elegidas". Un enfoque más suave es medir el ángulo por la longitud del arco del círculo unitario correspondiente. Aquí la "unidad" puede elegirse como adimensional en el sentido de que es el número real 1 asociado con el segmento unitario en la línea real. Véase Radoslav M. Dimitrić, por ejemplo. [21]
  1. ^ Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" (Brinsmade 1936), la notación (Romain 1962) y las constantes ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ C (Quincey 2021) y (Mohr et al. 2022).

Referencias

  1. ^ Sidorov 2001
  2. ^ Slocum 2007
  3. ^ Chisholm 1911; Heiberg 1908, págs. 177-178
  4. ^ Aboughantous 2010, pág. 18.
  5. ^ desde Moser 1971, pág. 41.
  6. ^ ab Godfrey y Siddons 1919, pág. 9.
  7. ^ Moser 1971, pág. 71.
  8. ^ Wong y Wong 2009, págs. 161-163
  9. ^ Euclides . Los elementos .Proposición I:13.
  10. ^ desde Shute, Shirk y Porter 1960, págs. 25-27.
  11. ^ Jacobs 1974, pág. 255.
  12. ^ "Ángulos complementarios". www.mathsisfun.com . Consultado el 17 de agosto de 2020 .
  13. ^ por Chisholm 1911
  14. ^ "Ángulos suplementarios". www.mathsisfun.com . Consultado el 17 de agosto de 2020 .
  15. ^ Jacobs 1974, pág. 97.
  16. ^ Willis, Clarence Addison (1922). Geometría plana. Blakiston's Son. pág. 8.
  17. ^ Henderson y Taimina 2005, pág. 104.
  18. ^ abc Johnson, Roger A. Geometría euclidiana avanzada , Dover Publications, 2007.
  19. ^ D. Zwillinger, ed. (1995), Tablas y fórmulas matemáticas estándar del CRC , Boca Raton, FL: CRC Press, pág. 270como se cita en Weisstein, Eric W. "Ángulo exterior". MathWorld .
  20. ^ Oficina Internacional de Pesas y Medidas (20 de mayo de 2019), El Sistema Internacional de Unidades (SI) (PDF) (9.ª ed.), ISBN 978-92-822-2272-0, archivado del original el 18 de octubre de 2021
  21. Dimitrić, Radoslav M. (2012). «Sobre ángulos y medidas de ángulos» (PDF) . La enseñanza de las matemáticas . XV (2): 133–140. Archivado (PDF) desde el original el 17 de enero de 2019. Consultado el 6 de agosto de 2019 .
  22. ^ "unidad angular". TheFreeDictionary.com . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
  23. ^ ab "Guía del programador de ooPIC - Capítulo 15: URCP". Manual y especificaciones técnicas de ooPIC - Compilador de ooPIC versión 6.0 . Savage Innovations, LLC. 2007 [1997]. Archivado desde el original el 28 de junio de 2008. Consultado el 5 de agosto de 2019 .
  24. ^ Hargreaves, Shawn [en polaco] . «Ángulos, números enteros y aritmética de módulos». blogs.msdn.com. Archivado desde el original el 30 de junio de 2019. Consultado el 5 de agosto de 2019 .
  25. ^ Bonin, Walter (11 de enero de 2016). "RE: ¿WP-32S en 2016?". Museo HP . Archivado desde el original el 6 de agosto de 2019. Consultado el 5 de agosto de 2019 .
  26. ^ Jeans, James Hopwood (1947). El crecimiento de la ciencia física. Archivo CUP. p. 7.
  27. ^ Murnaghan, Francis Dominic (1946). Geometría analítica . pág. 2.
  28. ^ Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r "
  29. ^ Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, pág. 151.
  30. ^ Quincey 2016, p. 844: "Además, como se alude en Mohr y Phillips 2015, el radián se puede definir en términos del área A de un sector ( A = 1/2 θ r 2 ), en cuyo caso tiene las unidades m 2 ⋅m −2 ."
  31. ^ Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r , por lo tanto 1 rad = 1 ."
  32. ^ Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, pág. 137.
  33. ^ Bridgman, Percy Williams (1922). Análisis dimensional. New Haven : Yale University Press. Amplitud angular de oscilación [...] Sin dimensiones.
  34. ^ Prando, Giacomo (agosto de 2020). "Una unidad espectral". Nature Physics . 16 (8): 888. Bibcode :2020NatPh..16..888P. doi : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID  225445454.
  35. ^ Leonard, William J. (1999). Minds-on Physics: temas avanzados de mecánica. Kendall Hunt. pág. 262. ISBN 978-0-7872-5412-4.
  36. ^ French, Anthony P. (mayo de 1992). "¿Qué sucede con los 'radianes'? (comentario)". The Physics Teacher . 30 (5): 260–261. doi :10.1119/1.2343535.
  37. ^ Oberhofer, ES (marzo de 1992). "¿Qué sucede con los 'radianes'?". The Physics Teacher . 30 (3): 170–171. Bibcode :1992PhTea..30..170O. doi :10.1119/1.2343500.
  38. ^ Aubrecht, Gordon J.; French, Anthony P.; Iona, Mario; Welch, Daniel W. (febrero de 1993). "El radián: esa unidad problemática". The Physics Teacher . 31 (2): 84–87. Bibcode :1993PhTea..31...84A. doi :10.1119/1.2343667.
  39. ^ Brinsmade 1936; Romain 1962; Eder 1982; Torrens 1986; Brownstein 1997; Lévy-Leblond 1998; Foster 2010; Mills 2016; Quincey 2021; Leonard 2021; Mohr y otros 2022
  40. ^ Mohr y Phillips 2015.
  41. ^ abcd Quincey, Paul; Brown, Richard JC (1 de junio de 2016). "Implicaciones de la adopción del ángulo plano como una cantidad base en el SI". Metrologia . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Bibcode :2016Metro..53..998Q. doi :10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID  119294905.
  42. ^Por Quincey 2016.
  43. ^por Torrens 1986.
  44. ^ Mohr y otros, 2022, pág. 6.
  45. ^ Mohr y col. 2022, págs. 8–9.
  46. ^ Quincey 2021.
  47. ^ Quincey, Paul; Brown, Richard JC (1 de agosto de 2017). "Un enfoque más claro para definir sistemas de unidades". Metrologia . 54 (4): 454–460. arXiv : 1705.03765 ​​. Bibcode :2017Metro..54..454Q. doi :10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID  119418270.
  48. ^ Schabel, Matthias C.; Watanabe, Steven. "Boost.Units FAQ – 1.79.0". www.boost.org . Consultado el 5 de mayo de 2022 . Los ángulos se tratan como unidades
  49. ^ Mohr y otros, 2022, pág. 3.
  50. ^ "UnityDimensions—Documentación del lenguaje Wolfram". reference.wolfram.com . Consultado el 1 de julio de 2022 .
  51. ^ "Mathwords: Ángulo de referencia". www.mathwords.com . Archivado desde el original el 23 de octubre de 2017. Consultado el 26 de abril de 2018 .
  52. ^ McKeague, Charles P. (2008). Trigonometría (6.ª ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. pág. 110. ISBN 978-0495382607.
  53. ^ Chisholm 1911; Heiberg 1908, pág. 178
  54. ^ Robert Baldwin Hayward (1892) El álgebra de vectores coplanares y trigonometría, capítulo seis

Bibliografía

 Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio públicoChisholm, Hugh , ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica , vol. 2 (11.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 14

Enlaces externos