Ángulo inscrito

Ángulo formado en el interior de un círculo

El ángulo inscrito θ del círculo.

  Ángulo central 2 θ

  Ángulo inscrito θ en el arco mayor

  Ángulo inscrito suplementario θ en el arco menor

En geometría , un ángulo inscrito es el ángulo que se forma en el interior de un círculo cuando dos cuerdas se cortan en el círculo. También se puede definir como el ángulo subtendido en un punto del círculo por dos puntos dados del círculo.

De manera equivalente, un ángulo inscrito se define por dos cuerdas del círculo que comparten un punto final.

El teorema del ángulo inscrito relaciona la medida de un ángulo inscrito con la del ángulo central que subtiende el mismo arco .

El teorema del ángulo inscrito aparece como Proposición 20 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides .

Tenga en cuenta que este teorema no debe confundirse con el teorema de la bisectriz del ángulo , que también implica la bisección de un ángulo (pero de un ángulo de un triángulo no inscrito en un círculo).

Teorema

Declaración

Para los puntos fijos A y B , el conjunto de puntos M en el plano para el cual el ángulo ∠ AMB es igual a  α es un arco de círculo. La medida de ∠ AOB , donde O es el centro del círculo, es  2 α .

El teorema del ángulo inscrito establece que un ángulo θ inscrito en un círculo es la mitad del ángulo central 2 θ que subtiende el mismo arco en el círculo. Por lo tanto, el ángulo no cambia cuando su vértice se mueve a diferentes posiciones en el círculo.

Prueba

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Caso: Una cuerda es un diámetro

Sea O el centro de un círculo, como en el diagrama de la derecha. Elija dos puntos en el círculo y llámelos V y A. Dibuje la línea OV y prolongue más allá de O de modo que intersecta el círculo en el punto B , que es diametralmente opuesto al punto V. Dibuje un ángulo cuyo vértice sea el punto V y cuyos lados pasen por los puntos A, B.

Dibuje la línea OA . El ángulo ∠ BOA es un ángulo central ; llámelo θ . Las líneas OV y OA son ambas radios del círculo, por lo que tienen longitudes iguales. Por lo tanto, el triángulo △ VOA es isósceles , por lo que el ángulo ∠ BVA (el ángulo inscrito) y el ángulo ∠ VAO son iguales; denotemos cada uno de ellos como ψ .

Los ángulos ∠ BOA y ∠ AOV son suplementarios y suman un ángulo llano (180°), por lo que el ángulo ∠ AOV mide 180° − θ .

Los tres ángulos del triángulo △ VOA deben sumar 180° :

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

Sumando a ambos lados se obtiene ${\displaystyle \theta -180^{\circ }}$

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su interior

Caja: Centro interior a ángulo

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V, C, D en el círculo. Dibuje las líneas VC y VD : el ángulo ∠ DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuje la línea OV y prolongémosla más allá del punto O de modo que intersecta el círculo en el punto E. El ángulo ∠ DVC subtiende el arco DC en el círculo.

Supongamos que este arco incluye el punto E en su interior. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Los ángulos ∠ DVE y ∠ EVC también son ángulos inscritos, pero ambos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

entonces deja

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

Dibuje las líneas OC y OD . El ángulo ∠ DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos ∠ DOE y ∠ EOC , y $${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

De la primera parte sabemos que y que . Combinando estos resultados con la ecuación (2) obtenemos ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

Por lo tanto, por la ecuación (1),

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su exterior

Caso: Centro exterior a ángulo

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

El caso anterior puede extenderse para cubrir el caso donde la medida del ángulo inscrito es la diferencia entre dos ángulos inscritos como se discutió en la primera parte de esta prueba.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V, C, D en el círculo. Dibuje las líneas VC y VD : el ángulo ∠ DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuje la línea OV y prolongémosla más allá del punto O de modo que intersecta el círculo en el punto E. El ángulo ∠ DVC subtiende el arco DC en el círculo.

Supongamos que este arco no incluye el punto E en su interior. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Los ángulos ∠ EVD y ∠ EVC también son ángulos inscritos, pero ambos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}$$.

entonces deja

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

Dibuje las líneas OC y OD . El ángulo ∠ DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos ∠ EOD y ∠ EOC , y

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

De la primera parte sabemos que y que . Combinando estos resultados con la ecuación (4) obtenemos , por tanto, por la ecuación (3), ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$ $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$ $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Gif animado de la prueba del teorema del ángulo inscrito. El triángulo grande que está inscrito en el círculo se subdivide en tres triángulos más pequeños, todos ellos isósceles porque sus dos lados superiores son radios del círculo. Dentro de cada triángulo isósceles, el par de ángulos de la base son iguales entre sí y son la mitad de 180° menos el ángulo del vértice en el centro del círculo. Al sumar estos ángulos de la base isósceles se obtiene el teorema, es decir, que el ángulo inscrito, ψ , es la mitad del ángulo central, θ .

Corolario

Por un argumento similar, el ángulo entre una cuerda y la línea tangente en uno de sus puntos de intersección es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda. Véase también Líneas tangentes a círculos .

Aplicaciones

Demostración sin palabras utilizando el teorema del ángulo inscrito de que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios:
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°

El teorema del ángulo inscrito se utiliza en muchas demostraciones de geometría euclidiana elemental del plano . Un caso especial del teorema es el teorema de Tales , que establece que el ángulo subtendido por un diámetro es siempre de 90°, es decir, un ángulo recto. Como consecuencia del teorema, los ángulos opuestos de los cuadriláteros cíclicos suman 180°; a la inversa, cualquier cuadrilátero para el que esto sea cierto puede estar inscrito en un círculo. Como otro ejemplo, el teorema del ángulo inscrito es la base de varios teoremas relacionados con la potencia de un punto con respecto a un círculo. Además, permite demostrar que cuando dos cuerdas se cortan en un círculo, los productos de las longitudes de sus partes son iguales.

Teoremas de ángulos inscritos para elipses, hipérbolas y parábolas

También existen teoremas de ángulos inscritos para elipses, hipérbolas y parábolas. Las diferencias esenciales son las medidas de un ángulo. (Un ángulo se considera un par de líneas que se cortan).

• Elipse
• Hipérbola
• Parábola

Referencias

• Ogilvy, CS (1990). Excursiones en geometría . Dover. Págs. 17-23. ISBN . 0-486-26530-7.
• Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). La enciclopedia concisa de matemáticas de VNR . Nueva York: Van Nostrand Reinhold. pag. 172.ISBN​ 0-442-22646-2.
• Moise, Edwin E. (1974). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado (2.ª ed.). Lectura: Addison-Wesley. pp. 192–197. ISBN 0-201-04793-4.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ángulo inscrito". MathWorld .
• Relación entre el ángulo central y el ángulo inscrito
• Devorando ángulos inscritos en cut-the-knot
• Ángulo central del arco con animación interactiva
• Ángulo periférico (inscrito) del arco con animación interactiva
• Teorema del ángulo central del arco con animación interactiva
• En bookofproofs.github.io