Expresión (matemáticas)

Descripción simbólica de un objeto matemático

En la ecuación 7x − 5 = 2, los lados de la ecuación son expresiones.

En matemáticas , una expresión es una disposición escrita de símbolos que sigue las convenciones sintácticas dependientes del contexto de la notación matemática . Los símbolos pueden denotar números ( constantes ), variables , operaciones y funciones . ^[1] Otros símbolos incluyen signos de puntuación y corchetes , utilizados para agrupar cuando no hay un orden bien definido de operaciones .

Las expresiones se distinguen comúnmente de las fórmulas : las expresiones son un tipo de objeto matemático , mientras que las fórmulas son afirmaciones sobre objetos matemáticos. ^[2] Esto es análogo al lenguaje natural , donde una frase nominal se refiere a un objeto y una oración completa se refiere a un hecho . Por ejemplo, es una expresión, mientras que la desigualdad es una fórmula. ${\displaystyle 8x-5}$ ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Evaluar o simplificar una expresión significa encontrar un valor numérico equivalente a la expresión. ^{[3] [4]} Las expresiones se pueden evaluar o simplificar reemplazando las operaciones que aparecen en ellas con su resultado. Por ejemplo, la expresión se simplifica a , y se evalúa como ${\displaystyle 8\times 2-5}$ ${\displaystyle 16-5}$ ${\displaystyle 11.}$

Una expresión se utiliza a menudo para definir una función , tomando las variables como argumentos , o entradas, de la función, y asignando la salida como la evaluación de la expresión resultante. ^[5] Por ejemplo, y definen la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . Por lo general, dos expresiones se consideran iguales o equivalentes si definen la misma función. Tal igualdad se llama " igualdad semántica ", es decir, ambas expresiones "significan lo mismo". ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

Una expresión formal es una especie de cadena de símbolos , creada con las mismas reglas de producción que las expresiones estándar, sin embargo, se utilizan sin tener en cuenta el significado de la expresión. De esta manera, dos expresiones formales se consideran iguales solo si son sintácticamente iguales, es decir, si son exactamente la misma expresión. ^{[6] [7]} Por ejemplo, las expresiones formales "2" y "1+1" no son iguales.

Variables y evaluación

En álgebra elemental , una variable en una expresión es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar. Evaluar una expresión con una variable significa encontrar el valor de la expresión cuando a la variable se le asigna un número dado. Las expresiones se pueden evaluar o simplificar reemplazando las operaciones que aparecen en ellas con su resultado o combinando términos iguales . ^[8]

Por ejemplo, tome la expresión ; se puede evaluar en x = 3 en los siguientes pasos: ${\displaystyle 4x^{2}+8}$

${\textstyle 4(3)^{2}+3}$, (reemplaza x por 3)

${\displaystyle 4\cdot (3\cdot 3)+8}$(use la definición de exponente )

${\displaystyle 4\cdot 9+8}$(simplificar)

${\displaystyle 36+8}$

${\displaystyle 44}$

Un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. Algunos ejemplos incluyen La constante del producto se llama coeficiente . Los términos que son constantes o tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias se llaman términos semejantes . Si hay términos semejantes en una expresión, puedes simplificarla combinando los términos semejantes. Sumamos los coeficientes y mantenemos la misma variable. ${\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}$

${\displaystyle 4x+7x+2x=15x}$

Cualquier variable puede clasificarse como variable libre o variable ligada . Para una combinación dada de valores para las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede ser indefinido . Por lo tanto, una expresión representa una operación sobre constantes y variables libres y cuyo resultado es el valor resultante de la expresión. ^[9]

En un lenguaje no formalizado, es decir, en la mayoría de los textos matemáticos fuera de la lógica matemática , para una expresión individual no siempre es posible identificar qué variables son libres y cuáles están ligadas. Por ejemplo, en , dependiendo del contexto, la variable puede ser libre y ligada, o viceversa, pero no pueden ser ambas libres. Determinar qué valor se supone que es libre depende del contexto y la semántica . ^[10] ${\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle k}$

Equivalencia

Una expresión se utiliza a menudo para definir una función , o denotar composiciones de funciones, tomando las variables como argumentos , o entradas, de la función, y asignando la salida como la evaluación de la expresión resultante. ^[11] Por ejemplo, y definen la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . De esta manera, se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores para las variables libres, tienen la misma salida, es decir, representan la misma función. ^{[12] [13]} La equivalencia entre dos expresiones se llama identidad y a veces se denota con ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle \equiv .}$

Por ejemplo, en la expresión la variable n está ligada y la variable x es libre. Esta expresión es equivalente a la expresión más simple 12 x ; es decir El valor para x = 3 es 36, que puede denotarse ${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

Evaluación de polinomios

Un polinomio consta de variables y coeficientes , que involucran únicamente las operaciones de suma , resta , multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas , y tiene un número finito de términos. El problema de la evaluación de polinomios surge con frecuencia en la práctica. En geometría computacional , los polinomios se utilizan para calcular aproximaciones de funciones utilizando polinomios de Taylor . En criptografía y tablas hash , los polinomios se utilizan para calcular hash k -independiente .

En el primer caso, los polinomios se evalúan utilizando aritmética de punto flotante , que no es exacta. Por lo tanto, los diferentes esquemas de evaluación darán, en general, respuestas ligeramente diferentes. En el segundo caso, los polinomios se evalúan normalmente en un cuerpo finito , en cuyo caso las respuestas son siempre exactas.

Para evaluar el polinomio univariado, el método más ingenuo utilizaría multiplicaciones para calcular , utilizaría multiplicaciones para calcular y así sucesivamente para un total de multiplicaciones y sumas. Si se utilizan métodos mejores, como la regla de Horner , esto se puede reducir a multiplicaciones y sumas. Si se permite algún preprocesamiento, es posible ahorrar aún más. ${\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle n-1}$ ${\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}$ ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cálculo

Un cálculo es cualquier tipo de cálculo aritmético o no aritmético que esté "bien definido". ^[14] La noción de que los enunciados matemáticos deberían estar "bien definidos" ha sido defendida por los matemáticos desde al menos el siglo XVII , ^[15] pero el acuerdo sobre una definición adecuada resultó difícil de alcanzar. ^[16] Una definición candidata fue propuesta independientemente por varios matemáticos en la década de 1930. ^[17] La ​​variante más conocida fue formalizada por el matemático Alan Turing , quien definió un enunciado o cálculo bien definido como cualquier enunciado que pudiera expresarse en términos de los parámetros de inicialización de una máquina de Turing . ^{[18] [ página necesaria ] La definición de Turing asignó "bien definido" a una clase muy grande de enunciados matemáticos, incluyendo todos} los enunciados algebraicos bien formados y todos los enunciados escritos en lenguajes de programación informática modernos. ^[19]

A pesar de la amplia aceptación de esta definición, hay algunos conceptos matemáticos que no tienen una caracterización bien definida bajo esta definición. Esto incluye el problema de la detención y el juego del castor atareado . Sigue siendo una pregunta abierta si existe una definición más poderosa de "bien definido" que sea capaz de capturar tanto las declaraciones computables como las "no computables". ^{[nota 1] [20]} Todas las declaraciones caracterizadas en los lenguajes de programación modernos están bien definidas, incluidos C++ , Python y Java . ^[19]

Ejemplos comunes de computación son la aritmética básica y la ejecución de algoritmos informáticos . Un cálculo es un proceso matemático deliberado que transforma una o más entradas en una o más salidas o resultados . Por ejemplo, multiplicar 7 por 6 es un cálculo algorítmico simple. Extraer la raíz cuadrada o la raíz cúbica de un número utilizando modelos matemáticos es un cálculo algorítmico más complejo.

Reescritura

Las expresiones se pueden calcular por medio de una estrategia de evaluación . ^[21] Para ilustrar, ejecutar una llamada de función f(a,b)puede primero evaluar los argumentos ay b, almacenar los resultados en referencias o ubicaciones de memoria ref_ay ref_b, luego evaluar el cuerpo de la función con esas referencias pasadas. Esto le da a la función la capacidad de buscar los valores de los argumentos originales pasados ​​mediante la desreferenciación de los parámetros (algunos lenguajes usan operadores específicos para realizar esto), modificarlos mediante asignación como si fueran variables locales y devolver valores mediante las referencias. Esta es la estrategia de evaluación de llamada por referencia. ^[22] La estrategia de evaluación es parte de la semántica de la definición del lenguaje de programación. Algunos lenguajes, como PureScript , tienen variantes con diferentes estrategias de evaluación. Algunos lenguajes declarativos , como Datalog , admiten múltiples estrategias de evaluación. Algunos lenguajes definen una convención de llamada .

En reescritura , una estrategia de reducción o estrategia de reescritura es una relación que especifica una reescritura para cada objeto o término, compatible con una relación de reducción dada. Una estrategia de reescritura especifica, de todos los subtérminos reducibles ( redexes ), cuál debe reducirse ( contraerse ) dentro de un término. Uno de los sistemas más comunes implica el cálculo lambda .

Expresiones bien definidas

El lenguaje de las matemáticas presenta una especie de gramática (llamada gramática formal ) sobre cómo se pueden escribir las expresiones. Hay dos consideraciones para la buena definición de las expresiones matemáticas: la sintaxis y la semántica . La sintaxis se ocupa de las reglas utilizadas para construir o transformar los símbolos de una expresión sin tener en cuenta ninguna interpretación o significado que se les dé. Las expresiones que son sintácticamente correctas se denominan bien formadas . La semántica se ocupa del significado de estas expresiones bien formadas. Las expresiones que son semánticamente correctas se denominan bien definidas .

Bien formado

La sintaxis de las expresiones matemáticas se puede describir de manera algo informal de la siguiente manera: los operadores permitidos deben tener el número correcto de entradas en los lugares correctos (generalmente escritos con notación infija ), las subexpresiones que componen estas entradas deben estar bien formadas, tener un orden claro de operaciones , etc. Las cadenas de símbolos que se ajustan a las reglas de la sintaxis se denominan bien formadas , y las que no están bien formadas se denominan mal formadas , y no constituyen expresiones matemáticas. ^[23]

Por ejemplo, en aritmética , la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

no es.

Sin embargo, estar bien formada no es suficiente para ser considerada bien definida. Por ejemplo, en aritmética, la expresión está bien formada, pero no está bien definida. (Véase División por cero ). Tales expresiones se denominan indefinidas . ${\textstyle {\frac {1}{0}}}$

Bien definido

La semántica es el estudio del significado. La semántica formal trata de asignar significado a las expresiones. Una expresión que define un valor o significado único se dice que está bien definida . De lo contrario, se dice que la expresión está mal definida o es ambigua. ^[24] En general, el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión puede designar una condición o una ecuación que se debe resolver, o puede verse como un objeto en sí mismo que puede manipularse de acuerdo con ciertas reglas. Ciertas expresiones que designan un valor expresan simultáneamente una condición que se supone que se cumple, por ejemplo, aquellas que involucran al operador para designar una suma directa interna . ${\displaystyle \oplus }$

En álgebra , una expresión puede utilizarse para designar un valor, que puede depender de los valores asignados a las variables que aparecen en la expresión. La determinación de este valor depende de la semántica asociada a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones implícitas en el contexto (véase también Operaciones § Calculadoras ).

Para los números reales , el producto es inequívoco porque ; por lo tanto, se dice que la notación está bien definida . ^[25] Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no dependa de la secuencia de multiplicaciones; por lo tanto, se puede omitir una especificación de la secuencia. La operación de resta no es asociativa; a pesar de eso, existe una convención que es una abreviatura de , por lo que se considera "bien definida". Por otro lado, la división no es asociativa y, en el caso de , las convenciones de paréntesis no están bien establecidas; por lo tanto, esta expresión a menudo se considera mal definida. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$ ${\displaystyle a/b/c}$

A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación se pueden superar por medio de definiciones adicionales (por ejemplo, reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C , el operador -de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-cse define como (a-b)-c, y el operador =de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=cse define como a=(b=c). ^[26] En el lenguaje de programación APL solo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero los paréntesis.

Definición formal

El término expresión forma parte del lenguaje de las matemáticas , es decir, no se define dentro de las matemáticas, sino que se toma como una parte primitiva del lenguaje. Intentar definir el término no sería hacer matemáticas, sino que uno estaría involucrándose en una especie de metamatemática (el metalenguaje de las matemáticas), normalmente la lógica matemática . Dentro de la lógica matemática, las matemáticas suelen describirse como una especie de lenguaje formal , y una expresión bien formada puede definirse recursivamente de la siguiente manera: ^[27]

El alfabeto consta de:

• Un conjunto de constantes individuales : símbolos que representan objetos fijos en el dominio del discurso , como números (1, 2,5, 1/7, ...), conjuntos ( , ...), valores de verdad (V o F), etc. ${\displaystyle \varnothing ,\{1,2,3\}}$

• Un conjunto de variables individuales: una cantidad infinitamente numerable de símbolos que representan variables utilizadas para representar un objeto no especificado en el dominio. (Generalmente letras como x o y )

• Un conjunto de operaciones: símbolos de funciones que representan operaciones que se pueden realizar sobre elementos del dominio, como la suma (+), la multiplicación (×) u operaciones de conjuntos como la unión (∪) o la intersección (∩). (Las funciones pueden entenderse como operaciones unarias )

• Corchetes ( )

Con este alfabeto, las reglas recursivas para formar una expresión bien formada (WFE) son las siguientes:

• Cualquier constante o variable definida son expresiones atómicas , las expresiones bien formadas más simples (WFE). Por ejemplo, la constante o la variable son expresiones sintácticamente correctas. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$

• Sea una metavariable para cualquier operación n-aria sobre el dominio, y sean metavariables para cualquier WFE. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}$

Entonces también está bien formado. Para las operaciones más utilizadas, a lo largo de los siglos se han desarrollado notaciones más convenientes (como la notación infija ). ${\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}$

Por ejemplo, si el dominio del discurso son los números reales , puede denotar la operación binaria +, entonces está bien formada. O puede ser la operación unaria, entonces está bien formada. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \surd }$ ${\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}$

Los corchetes se encuentran inicialmente alrededor de cada expresión no atómica, pero se pueden eliminar en los casos en que hay un orden definido de operaciones , o donde el orden no importa (es decir, donde las operaciones son asociativas ).

Una expresión bien formada puede considerarse como un árbol sintáctico . ^[28] Los nodos hoja son siempre expresiones atómicas. Las operaciones y tienen exactamente dos nodos secundarios, mientras que las operaciones , y tienen exactamente uno. Hay infinitas WFE contables, sin embargo, cada WFE tiene un número finito de nodos. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ ${\textstyle {\text{ln}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Cálculo lambda

Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.

En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresiones, llamadas expresiones lambda , para formalizar funciones y su evaluación. ^{[29] [a]} Forman la base del cálculo lambda , un sistema formal utilizado en la lógica matemática y la teoría de los lenguajes de programación .

La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible . Esto también es así para las expresiones que representan números reales, que se construyen a partir de los números enteros mediante las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial ( teorema de Richardson ).

Historia

Matemáticas escritas tempranas

El hueso de Ishango en exposición en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales

Las matemáticas escritas comenzaron con números expresados ​​como marcas de conteo , donde cada una de ellas representaba una sola unidad. Los símbolos numéricos probablemente consistían en trazos o muescas cortadas en madera o piedra, y eran inteligibles por igual para todas las naciones. Por ejemplo, una muesca en un hueso representaba un animal, una persona o cualquier otra cosa. El hueso de Ishango , encontrado cerca de las cabeceras del río Nilo (noreste del Congo ), puede tener más de 20.000 años y generalmente se considera una evidencia temprana del conteo . Los grabados ordenados han llevado a muchos a especular sobre el significado detrás de estas marcas, incluidas interpretaciones como la importancia matemática o la relevancia astrológica . Las interpretaciones comunes son que el hueso de Ishango muestra un calendario lunar de seis meses . ^[30]

Imagen del problema 14 del Papiro matemático de Moscú . El problema incluye un diagrama que indica las dimensiones de la pirámide truncada.

Los antiguos egipcios tenían una matemática simbólica que era la numeración por jeroglíficos . ^{[31] [32]} Las matemáticas egipcias tenían un símbolo para uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. Más tarde, los egipcios utilizaron la escritura hierática en lugar de la jeroglífica para mostrar números. Por ejemplo, las cuatro líneas verticales utilizadas para representar cuatro fueron reemplazadas por una sola línea horizontal. Esto se encuentra en el Papiro matemático Rhind (c. 2000-1800 a. C.) y el Papiro matemático de Moscú (c. 1890 a. C.). El sistema que usaban los egipcios fue descubierto y modificado por muchas otras civilizaciones en el Mediterráneo. Los egipcios también tenían símbolos para operaciones básicas: las piernas que avanzaban representaban la suma y las piernas que caminaban hacia atrás para representar la resta.

Tablilla babilónica (c. 1800-1600 a. C.) que muestra una expresión para una aproximación a la raíz cuadrada de 2 (1 24 51 10 w: sexagesimal ) en el contexto del teorema de Pitágoras para un triángulo isósceles .

Los mesopotámicos tenían símbolos para cada potencia de diez. ^[33] Más tarde, escribieron sus números de casi exactamente la misma manera en que se hace en los tiempos modernos. En lugar de tener símbolos para cada potencia de diez, simplemente ponían el coeficiente de ese número. Cada dígito estaba separado solo por un espacio, pero en la época de Alejandro Magno , habían creado un símbolo que representaba el cero y era un marcador de posición. Los mesopotámicos también usaban un sistema sexagesimal , es decir, de base sesenta. Es este sistema el que se usa en los tiempos modernos para medir el tiempo y los ángulos. Las matemáticas babilónicas se derivan de más de 400 tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. ^[34] Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se inscribían mientras la arcilla estaba húmeda y se horneaban en un horno o al calor del sol. Algunas de estas parecen ser tareas calificadas. La evidencia más temprana de matemáticas escritas se remonta a los antiguos sumerios y al sistema de metrología del 3000 a. C. A partir del año 2500 a. C., los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y resolvieron ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros rastros de los numerales babilónicos también datan de esta época.

Etapa sincopada

La etapa " sincopada " es aquella en la que las operaciones y cantidades de uso frecuente se representan mediante abreviaturas sintácticas simbólicas . Durante la Antigüedad y la Edad Media, a menudo los estallidos de creatividad matemática iban seguidos de siglos de estancamiento. A medida que se iniciaba la Edad Moderna y comenzaba la difusión mundial del conocimiento, aparecieron ejemplos escritos de desarrollos matemáticos.

Las matemáticas griegas , que se originaron con el estudio de la geometría , emplearon la numeración ática , ^[35] que se basaba en el sistema de los egipcios y que luego fue adaptado y utilizado por los romanos . El razonamiento matemático griego era casi completamente geométrico (aunque a menudo se usaba para razonar sobre temas no geométricos como la teoría de números ), y por lo tanto, los griegos no tenían interés en los símbolos algebraicos . La gran excepción fue Diofanto de Alejandría , el gran algebrista. ^[36] Su Arithmetica fue uno de los textos para manipular expresiones y ecuaciones matemáticas simbólicamente; ^[37] utilizó lo que ahora se conoce como álgebra sincopada . No era completamente simbólica, pero lo era mucho más que los libros anteriores. Un número desconocido se llamaba . ^[38] El cuadrado de era ; el cubo era ; la cuarta potencia era ; y la quinta potencia era . ^[39] La principal diferencia entre el álgebra sincopada diofántica y la notación algebraica moderna es que la primera carecía de símbolos especiales para operaciones, relaciones y exponentes . ^[40] Así, por ejemplo, lo que se escribiría en notación moderna como Se escribiría en la notación sincopada de Diofanto como: ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Delta ^{v}}$ ${\displaystyle K^{v}}$ ${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$ ${\displaystyle \Delta K^{v}}$ $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

Etapa simbólica y aritmética temprana

La transición al álgebra simbólica, donde solo se utilizan símbolos, se puede ver por primera vez en el trabajo de Ibn al-Banna' al-Marrakushi (1256-1321) y Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1482). ^{[41] [42]} En contraste con las notaciones sincopadas de sus predecesores, Diofanto y Brahmagupta , que carecían de símbolos para operaciones matemáticas , ^[43] la notación algebraica de al-Qalasadi fue la primera en tener símbolos para estas funciones y fue, por lo tanto, "los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico". Representó símbolos matemáticos utilizando caracteres del alfabeto árabe . ^[44]

El uso de los signos más y menos en la imprenta en 1489.

El siglo XIV fue testigo del desarrollo de nuevos conceptos matemáticos para investigar una amplia gama de problemas. ^[45] Los dos símbolos aritméticos ampliamente utilizados son la suma y la resta, + y −. El signo más fue utilizado a partir de 1351 por Nicole Oresme ^[46] y se hizo público en 1360 en su obra Algorismus percentageum . ^[47] Se cree que es una abreviatura de "et", que significa "y" en latín, de la misma manera que el signo & también comenzaba como "et". Oresme en la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali proporcionaron de forma independiente demostraciones gráficas de la distancia recorrida por un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado, afirmando que el área bajo la línea que representa la aceleración constante representaba la distancia total recorrida. ^[48] El signo menos fue utilizado en 1489 por Johannes Widmann en Aritmética mercantil o Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft, . ^[49] Widmann utilizó el símbolo menos junto con el símbolo más para indicar déficit y superávit, respectivamente. ^[50] En Summa de arithmetica, geometria, percentagei e percentageità , ^[51] Luca Pacioli utilizó símbolos para los símbolos más y menos y contenía álgebra , aunque gran parte del trabajo se originó en Piero della Francesca, de quien se apropió y robó. ^{[ cita requerida ]}

El símbolo radical (√), para la raíz cuadrada, fue introducido por Christoph Rudolff a principios del siglo XVI. La importante obra de Michael Stifel, Arithmetica integra ^[52], contenía importantes innovaciones en las matemáticas escritas. En 1556, Niccolò Tartaglia utilizó paréntesis para agrupar por precedencia. En 1557, Robert Recorde publicó el libro de Simon Stevin De Thiende ('el arte de las décimas'), publicado en holandés en 1585, que contenía un tratamiento sistemático de la notación decimal , que influyó en todo el trabajo posterior sobre el sistema de números reales . La nueva álgebra (1591) de François Viète introdujo la manipulación notacional moderna de expresiones algebraicas.

William Oughtred introdujo el signo de multiplicación (×). Johann Rahn introdujo el signo de división (÷, una variante del óbelo reutilizada).

Tipos de expresiones

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes algebraicas , variables y operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación por un número racional ). ^[53] Por ejemplo, 3 x ² − 2 xy + c es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia ⁠1/2⁠ , lo siguiente también es una expresión algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Véase también: Ecuación algebraica y Cierre algebraico

Expresión polinómica

Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (números de elementos de algún campo), indeterminados y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas; por ejemplo ${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

Utilizando la asociatividad , la conmutatividad y la distributividad , cada expresión polinómica es equivalente a un polinomio , es decir, una expresión que es una combinación lineal de productos de potencias enteras de indeterminados. Por ejemplo, la expresión polinómica anterior es equivalente (denote el mismo polinomio como ${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

Muchos autores no distinguen entre polinomios y expresiones polinómicas. En este caso, la expresión de una expresión polinómica como combinación lineal se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio.

Expresión computacional

En informática , una expresión es una entidad sintáctica en un lenguaje de programación que puede evaluarse para determinar su valor ^[54] o no terminar, en cuyo caso la expresión no está definida. ^[55] Es una combinación de una o más constantes , variables , funciones y operadores que el lenguaje de programación interpreta (según sus reglas particulares de precedencia y de asociación ) y calcula para producir ("devolver", en un entorno con estado ) otro valor. Este proceso, para expresiones matemáticas, se llama evaluación . En configuraciones simples, el valor resultante suele ser uno de varios tipos primitivos , como cadena , booleano o numérico (como entero , punto flotante o complejo ).

En álgebra computacional , las fórmulas se consideran expresiones que se pueden evaluar como booleanas, según los valores que se les asignan a las variables que aparecen en las expresiones. Por ejemplo, toma el valor falso si se asigna a x un valor menor que 1 y el valor verdadero en caso contrario. ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Las expresiones a menudo se contrastan con las declaraciones : entidades sintácticas que no tienen valor (una instrucción).

Representación de la expresión (8 − 6) × (3 + 1) como un árbol Lisp , de una tesis de maestría de 1985 ^[56]

A excepción de los números y las variables , toda expresión matemática puede ser vista como el símbolo de un operador seguido de una secuencia de operandos. En el software de álgebra computacional, las expresiones se representan generalmente de esta manera. Esta representación es muy flexible y muchas cosas que a primera vista no parecen expresiones matemáticas, pueden representarse y manipularse como tales. Por ejemplo, una ecuación es una expresión con "=" como operador, una matriz puede representarse como una expresión con "matriz" como operador y sus filas como operandos.

Ver: Expresión de álgebra computacional

Expresión lógica

En lógica matemática , una "expresión lógica" puede hacer referencia a términos o fórmulas . Un término denota un objeto matemático, mientras que una fórmula denota un hecho matemático. En particular, los términos aparecen como componentes de una fórmula.

Un término de primer orden se construye recursivamente a partir de símbolos constantes, variables y símbolos de función . Una expresión formada al aplicar un símbolo de predicado a un número apropiado de términos se llama fórmula atómica , que evalúa como verdadera o falsa en lógicas bivalentes , dada una interpretación . Por ejemplo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$ es un término construido a partir de la constante 1, la variable x y los símbolos de función binaria ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle *}$ ; es parte de la fórmula atómica ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$ que evalúa como verdadera para cada valor de número real de x .

Véase también

• Expresión analítica
• Expresión de forma cerrada
• Cálculo formal
• Programación funcional
• Expresión infinita
• Oración numérica
• Expresión regular
• Reescritura
• Firma (lógica)

Notas

1. Oxford English Dictionary , sv “Expresión (n.), sentido II.7”, " Un grupo de símbolos que juntos representan una cantidad o función numérica, algebraica u otra cantidad o función matemática " .
2. Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
3. Oxford English Dictionary, sv "Evaluar (v.), percibir", " Matemáticas. Calcular el 'valor' de (una expresión cuantitativa); encontrar una expresión numérica para (cualquier hecho o relación cuantitativa). "
4. Oxford English Dictionary , sv “Simplificar (v.), sentido 4.a”, " Expresar (una ecuación u otra expresión matemática) en una forma que sea más fácil de entender, analizar o trabajar, por ejemplo, recopilando términos similares o sustituyendo variables " .
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37. (Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", pp. 180-182) "En este sentido, puede compararse con los grandes clásicos de la época alejandrina anterior; sin embargo, prácticamente no tiene nada en común con estos o, de hecho, con ninguna matemática griega tradicional. Representa esencialmente una nueva rama y hace uso de un enfoque diferente. Al estar divorciada de los métodos geométricos, se parece en gran medida al álgebra babilónica. Pero mientras que los matemáticos babilónicos se habían preocupado principalmente por soluciones aproximadas de ecuaciones determinadas hasta el tercer grado, la Aritmética de Diofanto (tal como la tenemos) está casi enteramente dedicada a la solución exacta de ecuaciones, tanto determinadas como indeterminadas . [...] A lo largo de los seis libros supervivientes de Aritmética hay un uso sistemático de abreviaturas para potencias de números y para relaciones y operaciones. Un número desconocido se representa mediante un símbolo parecido a la letra griega (quizás para la última letra de arithmos). [...] Se trata, en cambio, de una colección de unos 150 problemas, todos ellos resueltos en términos de ejemplos numéricos específicos, aunque tal vez se pretendiera generalizar el método. No se desarrolla ninguna postulación ni se hace ningún esfuerzo por encontrar todas las soluciones posibles. En el caso de ecuaciones cuadráticas con dos raíces positivas, sólo se da la mayor, y no se reconocen las raíces negativas. No se hace una distinción clara entre problemas determinados e indeterminados, e incluso para estos últimos, para los que el número de soluciones es generalmente ilimitado, sólo se da una única respuesta. Diofanto resolvió problemas que implicaban varios números desconocidos expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas, cuando era posible, en términos de sólo una de ellas."error de harv: sin destino: CITEREFBoyer1991 ( ayuda ) ${\displaystyle \zeta }$
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1. Para una historia completa, véase "Historia del cálculo lambda y la lógica combinatoria" de Cardone y Hindley (2006).

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