Grupo de rotación 3D

Grupo de rotaciones en 3 dimensiones

En mecánica y geometría , el grupo de rotación 3D , a menudo denominado SO (3) , es el grupo de todas las rotaciones alrededor del origen del espacio euclidiano tridimensional bajo la operación de composición . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación que conserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría ) y la orientación (es decir, la lateralidad del espacio). La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación, cada rotación tiene una rotación inversa única y la función identidad satisface la definición de rotación. Debido a las propiedades anteriores (junto con la propiedad asociativa de las rotaciones compuestas ), el conjunto de todas las rotaciones es un grupo bajo composición.

Toda rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, rotar R 90° en el plano xy seguido de S 90° en el plano yz no es lo mismo que S seguido de R ), lo que hace que el grupo de rotación 3D sea un grupo no abeliano . Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como variedad para la cual las operaciones del grupo son suavemente diferenciables , por lo que de hecho es un grupo de Lie . Es compacto y tiene dimensión 3.

Las rotaciones son transformaciones lineales de y, por lo tanto, pueden representarse mediante matrices una vez que se ha elegido una base de . En concreto, si elegimos una base ortonormal de , cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3 × 3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, al multiplicarse por su transpuesta , da como resultado la matriz identidad ) con determinante 1. Por lo tanto, el grupo SO(3) puede identificarse con el grupo de estas matrices bajo la multiplicación de matrices . Estas matrices se conocen como "matrices ortogonales especiales", lo que explica la notación SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El grupo SO(3) se utiliza para describir las posibles simetrías rotacionales de un objeto, así como las posibles orientaciones de un objeto en el espacio. Sus representaciones son importantes en física, donde dan lugar a las partículas elementales de espín entero .

Longitud y ángulo

Además de preservar la longitud, las rotaciones también preservan los ángulos entre los vectores. Esto se desprende del hecho de que el producto escalar estándar entre dos vectores u y v se puede escribir puramente en términos de longitud (véase la ley de los cosenos ): $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

De ello se deduce que toda transformación lineal que preserva la longitud en preserva el producto escalar y, por lo tanto, el ángulo entre vectores. Las rotaciones se definen a menudo como transformaciones lineales que preservan el producto interno en , lo que equivale a exigirles que preserven la longitud. Véase el grupo clásico para un tratamiento de este enfoque más general, donde SO(3) aparece como un caso especial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Matrices ortogonales y de rotación

Toda rotación asigna una base ortonormal de a otra base ortonormal. Como cualquier transformación lineal de espacios vectoriales de dimensión finita , una rotación siempre se puede representar mediante una matriz . Sea R una rotación dada. Con respecto a la base estándar, e ₁ , e ₂ , e ₃ de las columnas de R están dadas por ( R e ₁ , R e ₂ , R e ₃ ) . Dado que la base estándar es ortonormal, y dado que R conserva los ángulos y la longitud, las columnas de R forman otra base ortonormal. Esta condición de ortonormalidad se puede expresar en la forma ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

donde R ^T denota la transpuesta de R e I es la matriz identidad 3 × 3. Las matrices para las que se cumple esta propiedad se denominan matrices ortogonales . El grupo de todas las matrices ortogonales 3 × 3 se denota O(3) y consta de todas las rotaciones propias e impropias.

Además de preservar la longitud, las rotaciones adecuadas también deben preservar la orientación. Una matriz preservará o invertirá la orientación según si el determinante de la matriz es positivo o negativo. Para una matriz ortogonal R , observe que det R ^T = det R implica (det R ) ² = 1 , por lo que det R = ±1 . El subgrupo de matrices ortogonales con determinante +1 se denomina grupo ortogonal especial , denotado SO(3) .

De esta manera, cada rotación puede representarse de forma única mediante una matriz ortogonal con determinante unitario. Además, dado que la composición de rotaciones corresponde a la multiplicación de matrices , el grupo de rotaciones es isomorfo al grupo ortogonal especial SO(3) .

Las rotaciones impropias corresponden a matrices ortogonales con determinante −1 , y no forman un grupo porque el producto de dos rotaciones impropias es una rotación propia.

Estructura del grupo

El grupo de rotación es un grupo bajo composición de funciones (o equivalentemente el producto de transformaciones lineales ). Es un subgrupo del grupo lineal general que consiste en todas las transformaciones lineales invertibles del espacio real de 3 elementos . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Además, el grupo de rotación no es abeliano . Es decir, el orden en que se componen las rotaciones marca la diferencia. Por ejemplo, un cuarto de vuelta alrededor del eje x positivo seguido de un cuarto de vuelta alrededor del eje y positivo es una rotación diferente a la que se obtiene al girar primero alrededor de y y luego de x .

El grupo ortogonal, formado por todas las rotaciones propias e impropias, se genera por reflexiones. Toda rotación propia es la composición de dos reflexiones, un caso especial del teorema de Cartan-Dieudonné .

Clasificación completa de subgrupos finitos

Los subgrupos finitos de están completamente clasificados . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

Todo subgrupo finito es isomorfo a un elemento de una de dos familias infinitas contables de isometrías planas: los grupos cíclicos o los grupos diedros , o a uno de otros tres grupos: el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico o el grupo icosaédrico . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong A_{4}}$ ${\displaystyle \cong S_{4}}$ ${\displaystyle \cong A_{5}}$

Eje de rotación

Cada rotación propia no trivial en 3 dimensiones fija un subespacio lineal unidimensional único que se denomina eje de rotación (este es el teorema de rotación de Euler ). Cada una de estas rotaciones actúa como una rotación bidimensional ordinaria en el plano ortogonal a este eje. Dado que cada rotación bidimensional se puede representar mediante un ángulo φ , se puede especificar una rotación tridimensional arbitraria mediante un eje de rotación junto con un ángulo de rotación sobre este eje. (Técnicamente, es necesario especificar una orientación para el eje y si la rotación se toma en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a esta orientación). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por ejemplo, la rotación en sentido antihorario alrededor del eje z positivo por un ángulo φ se da por

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Dado un vector unitario n en y un ángulo φ , sea R ( φ ,  n ) una rotación en sentido antihorario alrededor del eje que pasa por n (con orientación determinada por n ). Entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• R (0, n ) es la transformación de identidad para cualquier n
• R ( φ , norte ) = R ( − φ , − norte )
• R ( π  +  φ , norte ) = R ( π  −  φ , − norte ).

Usando estas propiedades se puede demostrar que cualquier rotación puede ser representada por un ángulo único φ en el rango 0 ≤ φ ≤ π y un vector unitario n tal que

• n es arbitrario si φ = 0
• n es único si 0 < φ < π
• n es único hasta un signo si φ = π (es decir, las rotaciones R ( π , ± n ) son idénticas).

En la siguiente sección, esta representación de rotaciones se utiliza para identificar SO(3) topológicamente con el espacio proyectivo real tridimensional.

Topología

El grupo de Lie SO(3) es difeomorfo al espacio proyectivo real ^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}$

Consideremos la bola sólida en de radio π (es decir, todos los puntos de distancia π o menos desde el origen). Dado lo anterior, para cada punto en esta bola hay una rotación, con eje a través del punto y el origen, y ángulo de rotación igual a la distancia del punto desde el origen. La rotación identidad corresponde al punto en el centro de la bola. Las rotaciones a través de un ángulo 𝜃 entre 0 y π (sin incluir ninguno) están en el mismo eje a la misma distancia. La rotación a través de ángulos entre 0 y − π corresponde al punto en el mismo eje y distancia desde el origen pero en el lado opuesto del origen. El único problema restante es que las dos rotaciones a través de π y a través de − π son las mismas. Entonces identificamos (o "pegamos") puntos antípodas en la superficie de la bola. Después de esta identificación, llegamos a un espacio topológico homeomorfo al grupo de rotación. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

De hecho, la bola con puntos de superficie antípoda identificados es una variedad lisa , y esta variedad es difeomorfa al grupo de rotación. También es difeomorfa al espacio proyectivo tridimensional real , por lo que este último también puede servir como modelo topológico para el grupo de rotación. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$

Estas identificaciones ilustran que SO(3) está conectado , pero no simplemente conectado . En cuanto a esto último, en la bola con puntos de superficie antípoda identificados, considere la trayectoria que va desde el "polo norte" directamente a través del interior hasta el polo sur. Este es un bucle cerrado, ya que el polo norte y el polo sur están identificados. Este bucle no se puede encoger a un punto, ya que no importa cómo se deforme, el punto de inicio y el punto final deben permanecer antípoda, o de lo contrario el bucle se "abrirá". En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones sobre el eje z que comienza (por ejemplo) en la identidad (centro de la bola), a través del polo sur, salta al polo norte y termina nuevamente en la rotación identidad (es decir, una serie de rotaciones a través de un ángulo φ donde φ va de 0 a 2 π ).

Sorprendentemente, recorrer el camino dos veces, es decir, recorrer desde el polo norte hasta el polo sur, saltar de nuevo al polo norte (utilizando el hecho de que los polos norte y sur están identificados) y luego recorrer de nuevo desde el polo norte hasta el polo sur, de modo que φ va de 0 a 4 π , da un bucle cerrado que se puede reducir a un solo punto: primero, mueva los caminos de forma continua hacia la superficie de la pelota, aún conectando el polo norte con el polo sur dos veces. El segundo camino se puede reflejar entonces hacia el lado antípoda sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un bucle cerrado ordinario en la superficie de la pelota, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un gran círculo. Este círculo se puede reducir al polo norte sin problemas. El truco de la placa y trucos similares lo demuestran de forma práctica.

El mismo argumento se puede realizar en general, y muestra que el grupo fundamental de SO(3) es el grupo cíclico de orden 2 (un grupo fundamental con dos elementos). En aplicaciones de física , la no trivialidad (más de un elemento) del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores , y es una herramienta importante en el desarrollo del teorema de estadística de espín .

La cubierta universal de SO(3) es un grupo de Lie llamado Spin(3) . El grupo Spin(3) es isomorfo al grupo unitario especial SU(2); también es difeomorfo a la unidad 3-esfera S ³ y puede entenderse como el grupo de versores ( cuaterniones con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos de computadora , se explica en cuaterniones y rotaciones espaciales . La función de S ³ sobre SO(3) que identifica puntos antípodas de S ³ es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con núcleo {±1}. Topológicamente, esta función es una función de cubierta dos a uno . (Véase el truco de la placa ).

Conexión entre SO(3) y SU(2)

En esta sección, damos dos construcciones diferentes de un homomorfismo dos a uno y sobreyectivo de SU(2) sobre SO(3).

Utilizando cuaterniones de norma unitaria

El grupo SU(2) es isomorfo a los cuaterniones de norma unitaria a través de una función dada por ^[5] restringida a donde , , , y , . $${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U}$$ ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$ ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \beta =c+di\in \mathbb {C} }$

Identifiquémonos ahora con el lapso de . Se puede entonces verificar que si está en y es un cuaternión unidad, entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.}$$

Además, el mapa es una rotación de Además, es lo mismo que . Esto significa que hay un homomorfismo 2:1 desde los cuaterniones de norma unitaria hasta el grupo de rotación 3D SO(3) . ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$

Se puede resolver este homomorfismo explícitamente: el cuaternión unitario, q , se asigna a la matriz de rotación $${\displaystyle {\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

Se trata de una rotación alrededor del vector ( x , y , z ) en un ángulo 2 θ , donde cos θ = w y |sin θ | = ‖ ( x , y , z ) ‖ . El signo adecuado para sin θ está implícito, una vez que los signos de los componentes del eje están fijados. La naturaleza 2:1 es evidente ya que tanto q como − q se asignan al mismo Q .

Utilizando transformaciones de Möbius

Proyección estereográfica desde la esfera de radio1/2⁠ desde el polo norte ( x , y , z ) = (0, 0, ⁠1/2⁠ ) ​​en el plano M dado por z = − ⁠1/2⁠ coordinado por ( ξ , η ) , aquí mostrado en sección transversal.

La referencia general para esta sección es Gelfand, Minlos y Shapiro (1963). Los puntos P en la esfera

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}}$

puede, salvo el polo norte N , ponerse en biyección uno a uno con los puntos S ( P ) = P' en el plano M definido por z = − ⁠1/2⁠ , ver figura. La proyección S se llama proyección estereográfica .

Sean las coordenadas de M ( ξ , η ) . La línea L que pasa por N y P se puede parametrizar como

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Exigiendo que la coordenada z de sea igual a − ⁠ ${\displaystyle L(t_{0})}$1/2⁠ , uno encuentra

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

Tenemos De ahí el mapa ${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

donde, para mayor comodidad, el plano M se identifica con el plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Para la inversa, escribe L como

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

y demanda x ² + y ² + z ² = ⁠1/4⁠ para encontrar s = ⁠1/1 + ξ ² + η ²⁠ y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Si g ∈ SO(3) es una rotación, entonces llevará puntos en S a puntos en S por su acción estándar Π _s ( g ) en el espacio de incrustación. Al componer esta acción con S se obtiene una transformación S ∘ Π _s ( g ) ∘ S ⁻¹ de M , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Por lo tanto, Π _u ( g ) es una transformación de asociada a la transformación Π _s ( g ) de . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Resulta que g ∈ SO(3) representado de esta manera por Π _u ( g ) se puede expresar como una matriz Π _u ( g ) ∈ SU(2) (donde la notación se recicla para utilizar el mismo nombre para la matriz que para la transformación que representa). Para identificar esta matriz, considere primero una rotación g _φ alrededor del eje z a través de un ángulo φ , ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Por eso

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

lo cual, como era de esperar, es una rotación en el plano complejo. De manera análoga, si g _θ es una rotación alrededor del eje x a través de un ángulo θ , entonces

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

que, después de un poco de álgebra, se convierte en

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

Estas dos rotaciones corresponden entonces a transformaciones bilineales de R ² ≃ C ≃ M , es decir, son ejemplos de transformaciones de Möbius . ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$

Una transformación general de Möbius viene dada por

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

Las rotaciones generan todos los SO(3) y las reglas de composición de las transformaciones de Möbius muestran que cualquier composición de se traduce en la composición correspondiente de las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Möbius se pueden representar mediante matrices ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

ya que un factor común de α , β , γ , δ se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de forma única, ya que la multiplicación por − I no tiene efecto ni sobre el determinante ni sobre la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g , − g ∈ SL(2, C ) .

Utilizando esta correspondencia se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Estas matrices son unitarias y por lo tanto Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . En términos de ángulos de Euler ^{[nb 1]} se encuentra para una rotación general

uno tiene ^[6]

Para el caso inverso, considere una matriz general

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

Hacer las sustituciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

Con las sustituciones, Π( g _{α , β} ) asume la forma del lado derecho ( RHS ) de ( 2 ), que corresponde bajo Π _u a una matriz en la forma del lado derecho de ( 1 ) con los mismos φ , θ , ψ . En términos de los parámetros complejos α , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

Para verificar esto, sustituya α . β por los elementos de la matriz en el lado derecho de ( 2 ). Después de algunas manipulaciones, la matriz asume la forma del lado derecho de ( 1 ).

De la forma explícita en términos de ángulos de Euler se desprende claramente que el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

El grupo que se acaba de describir es un homomorfismo de grupo suave, 2:1 y sobreyectivo . Por lo tanto, es una descripción explícita del espacio de recubrimiento universal de SO(3) a partir del grupo de recubrimiento universal SU(2) .

Álgebra de Lie

Asociado a cada grupo de Lie está su álgebra de Lie , un espacio lineal de la misma dimensión que el grupo de Lie, cerrado bajo un producto alterno bilineal llamado corchete de Lie . El álgebra de Lie de SO(3) se denota por y consiste en todas las matrices 3 × 3 antisimétricas . ^[7] Esto puede verse diferenciando la condición de ortogonalidad , A ^T A = I , A ∈ SO(3) . ^{[nb 2]} El corchete de Lie de dos elementos de está, como para el álgebra de Lie de cada grupo de matrices, dado por el conmutador matricial , [ A ₁ , A ₂ ] = A ₁ A ₂ − A ₂ A ₁ , que nuevamente es una matriz antisimétrica. El corchete del álgebra de Lie captura la esencia del producto del grupo de Lie en un sentido hecho preciso por la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Los elementos de son los "generadores infinitesimales" de rotaciones, es decir, son los elementos del espacio tangente de la variedad SO(3) en el elemento identidad. Si denota una rotación en sentido antihorario con un ángulo φ sobre el eje especificado por el vector unitario, entonces ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Esto se puede utilizar para demostrar que el álgebra de Lie (con conmutador) es isomorfa al álgebra de Lie (con producto vectorial ). Bajo este isomorfismo, un vector de Euler corresponde a la función lineal definida por ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

En más detalle, la base más adecuada para un espacio vectorial tridimensional es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Las relaciones de conmutación de estos elementos base son,

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

que concuerdan con las relaciones de los tres vectores unitarios estándar de bajo el producto vectorial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Como se anunció anteriormente, se puede identificar cualquier matriz en esta álgebra de Lie con un vector de Euler ^[8] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

Esta identificación a veces se denomina mapa de sombrero . ^[9] Bajo esta identificación, el corchete corresponde al producto vectorial , ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

La matriz identificada con un vector tiene la propiedad de que ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

donde el lado izquierdo es la multiplicación de matrices ordinarias. Esto implica que está en el espacio nulo de la matriz antisimétrica con la que se identifica, porque ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

Una nota sobre las álgebras de Lie

En las representaciones del álgebra de Lie , el grupo SO(3) es compacto y simple de rango 1, y por lo tanto tiene un único elemento de Casimir independiente , una función invariante cuadrática de los tres generadores que conmuta con todos ellos. La forma de Killing para el grupo de rotación es simplemente la delta de Kronecker , y por lo tanto este invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores, del álgebra ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

Es decir, el invariante de Casimir viene dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

Para representaciones irreducibles unitarias D ^j , los valores propios de este invariante son reales y discretos, y caracterizan cada representación, que es de dimensión finita, de dimensionalidad . Es decir, los valores propios de este operador de Casimir son ${\displaystyle 2j+1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},}$

donde j es un número entero o semientero, y se denomina espín o momento angular .

Por lo tanto, los generadores 3 × 3 L mostrados arriba actúan sobre la representación triplete (spin 1), mientras que los generadores 2 × 2 a continuación, t , actúan sobre la representación doblete ( spin-1/2 ). Al tomar productos de Kronecker de D ^1/2 consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreducibles superiores D ^j . Es decir, los generadores resultantes para sistemas de espín superior en tres dimensiones espaciales, para j arbitrariamente grande , se pueden calcular utilizando estos operadores de espín y operadores de escalera .

Para cada representación irreducible unitaria D ^j existe una equivalente, D ^{− j −1} . Toda representación irreducible de dimensión infinita debe ser no unitaria, ya que el grupo es compacto.

En mecánica cuántica , el invariante de Casimir es el operador de "momento angular al cuadrado"; los valores enteros de espín j caracterizan las representaciones bosónicas , mientras que los valores semienteros caracterizan las representaciones fermiónicas . Las matrices antihermíticas utilizadas anteriormente se utilizan como operadores de espín , después de que se multiplican por i , por lo que ahora son hermíticas (como las matrices de Pauli). Por lo tanto, en este lenguaje,

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.}$

Las expresiones explícitas para estos D ^j son,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}}$

donde j es arbitrario y . ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1}$

Por ejemplo, las matrices de espín resultantes para el espín 1 ( ) son ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Obsérvese, sin embargo, cómo estos están en una base equivalente, pero diferente, la base esférica , que los i L anteriores en la base cartesiana. ^{[nb 3]}

Para giros más altos, como el giro ⁠3/2⁠ ( ): ${\displaystyle j={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Para girar5/2⁠ ( ), ${\displaystyle j={\tfrac {5}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Isomorfismo con 𝖘𝖚(2)

Las álgebras de Lie y son isomorfas. Una base para está dada por ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

Estos están relacionados con las matrices de Pauli por

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.}$

Las matrices de Pauli cumplen con la convención de los físicos para las álgebras de Lie. En esa convención, los elementos del álgebra de Lie se multiplican por i , la función exponencial (abajo) se define con un factor adicional de i en el exponente y las constantes de estructura permanecen iguales, pero la definición de ellas adquiere un factor de i . Del mismo modo, las relaciones de conmutación adquieren un factor de i . Las relaciones de conmutación para las son ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},}$

donde ε _ijk es el símbolo totalmente antisimétrico con ε ₁₂₃ = 1. El isomorfismo entre y se puede establecer de varias maneras. Para mayor comodidad, y se identifican mediante el mapeo ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

y extendiéndose por linealidad.

Mapa exponencial

El mapa exponencial para SO(3) es, dado que SO(3) es un grupo de Lie matricial, definido utilizando la serie exponencial matricial estándar,

${\displaystyle {\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}$

Para cualquier matriz antisimétrica A ∈ 𝖘𝖔(3) , e ^A siempre está en SO(3) . La demostración utiliza las propiedades elementales de la matriz exponencial

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

Como las matrices A y A ^T conmutan, esto se puede demostrar fácilmente con la condición de matriz antisimétrica. Esto no es suficiente para demostrar que 𝖘𝖔(3) es el álgebra de Lie correspondiente para SO(3) , y se debe demostrar por separado.

El nivel de dificultad de la prueba depende de cómo se defina el álgebra de Lie de un grupo de matrices. Hall (2003) define el álgebra de Lie como el conjunto de matrices

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

en cuyo caso es trivial. Rossmann (2002) utiliza para una definición las derivadas de segmentos de curvas suaves en SO(3) a través de la identidad tomada en la identidad, en cuyo caso es más difícil. ^[11]

Para un A ≠ 0 fijo , e ^tA , −∞ < t < ∞ es un subgrupo de un parámetro a lo largo de una geodésica en SO(3) . Que esto da un subgrupo de un parámetro se deduce directamente de las propiedades de la función exponencial. ^[12]

El mapa exponencial proporciona un difeomorfismo entre un vecindario del origen en 𝖘𝖔(3) y un vecindario de la identidad en SO(3) . ^[13] Para una prueba, consulte Teorema de subgrupo cerrado .

La función exponencial es sobreyectiva . Esto se deduce del hecho de que cada R ∈ SO(3) , ya que cada rotación deja un eje fijo ( teorema de rotación de Euler ), y es conjugada a una matriz diagonal en bloques de la forma

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

tal que A = BDB ⁻¹ , y que

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

junto con el hecho de que 𝖘𝖔(3) está cerrado bajo la acción adjunta de SO(3) , lo que significa que BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Así, por ejemplo, es fácil comprobar la identidad popular.

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

Como se muestra arriba, cada elemento A ∈ 𝖘𝖔(3) está asociado con un vector ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria. Como u está en el espacio nulo de A , si ahora se rota a una nueva base, a través de alguna otra matriz ortogonal O , con u como eje z , la columna y fila finales de la matriz de rotación en la nueva base serán cero.

Por lo tanto, sabemos de antemano a partir de la fórmula para la exponencial que exp( OAO ^T ) debe dejar u fija. Es matemáticamente imposible proporcionar una fórmula sencilla para dicha base como función de u , porque su existencia violaría el teorema de la bola peluda ; pero la exponenciación directa es posible y da

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

donde y . Esto se reconoce como una matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ : cf. Fórmula de rotación de Rodrigues . ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$ ${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Mapa de logaritmos

Dado R ∈ SO(3) , sea la parte antisimétrica y sea Entonces, el logaritmo de R está dado por ^[9] ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$ ${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

Esto se manifiesta mediante la inspección de la forma de simetría mixta de la fórmula de Rodrigues,

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

donde el primer y el último término del lado derecho son simétricos.

Muestreo aleatorio uniforme

${\displaystyle SO(3)}$está doblemente cubierto por el grupo de cuaterniones unitarios, que es isomorfo a la 3-esfera. Dado que la medida de Haar en los cuaterniones unitarios es solo la medida de 3 áreas en 4 dimensiones, la medida de Haar en es solo el avance de la medida de 3 áreas. ${\displaystyle SO(3)}$

En consecuencia, generar una rotación aleatoria uniforme en es equivalente a generar un punto aleatorio uniforme en la esfera tridimensional. Esto se puede lograr de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

donde son muestras aleatorias uniformes de . ^[14] ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Supongamos que X e Y en el álgebra de Lie están dadas. Sus exponenciales, exp( X ) y exp( Y ) , son matrices de rotación, que se pueden multiplicar. Dado que la función exponencial es una sobreyección, para algún Z en el álgebra de Lie, exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) , y se puede escribir tentativamente

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

para C alguna expresión en X e Y. Cuando exp( X ) y exp( Y ) conmutan, entonces Z = X + Y , imitando el comportamiento de la exponenciación compleja.

El caso general se da mediante la fórmula BCH más elaborada , una expansión en serie de corchetes de Lie anidados. ^[15] Para matrices, el corchete de Lie es la misma operación que el conmutador , que monitorea la falta de conmutatividad en la multiplicación. Esta expansión general se desarrolla de la siguiente manera, ^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

La expansión infinita en la fórmula BCH para SO(3) se reduce a una forma compacta,

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

para coeficientes de funciones trigonométricas adecuados ( α , β , γ ) .

Los coeficientes trigonométricos

Los ( α , β , γ ) están dados por

${\displaystyle \alpha =\phi \cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\gamma ,\qquad \beta =\theta \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\gamma ,\qquad \gamma ={\frac {\sin ^{-1}d}{d}}{\frac {c}{\theta \phi }},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\sin \theta \sin \phi -2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}\cos(\angle (u,v)),\quad a=c\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right),\quad b=c\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right),\\d&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\angle (u,v))+c^{2}\sin ^{2}(\angle (u,v))}},\end{aligned}}}$

para

${\displaystyle \theta =\|X\|,\quad \phi =\|Y\|,\quad \angle (u,v)=\cos ^{-1}{\frac {\langle X,Y\rangle }{\|X\|\|Y\|}}.}$

El producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt y la norma es la norma asociada. Bajo el isomorfismo del sombrero,

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} X^{\mathrm {T} }Y,}$

lo que explica los factores para θ y φ . Esto desaparece en la expresión para el ángulo.

Vale la pena escribir este generador de rotación compuesto como

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

para enfatizar que esta es una identidad del álgebra de Lie .

La identidad anterior se cumple para todas las representaciones fieles de 𝖘𝖔(3) . El núcleo de un homomorfismo del álgebra de Lie es un ideal , pero 𝖘𝖔(3) , al ser simple , no tiene ideales no triviales y, por lo tanto, todas las representaciones no triviales son fieles. Se cumple en particular en la representación de doblete o espinor. La misma fórmula explícita se deduce, por tanto, de una manera más sencilla a través de las matrices de Pauli, cf. la derivación 2×2 para SU(2) .

El caso SU(2)

La versión vectorial de Pauli de la misma fórmula BCH es la ley de composición de grupo algo más simple de SU(2),

${\displaystyle e^{ia'\left({\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib'\left({\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=\exp \left({\frac {c'}{\sin c'}}\sin a'\sin b'\left(\left(i\cot b'{\hat {u}}+i\cot a'{\hat {v}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}+{\frac {1}{2}}\left[i{\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }},i{\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]\right)\right),}$

dónde

${\displaystyle \cos c'=\cos a'\cos b'-{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}\sin a'\sin b',}$

la ley esférica de los cosenos . (Nótese que a', b', c' son ángulos, no a , b , c anteriores).

Es evidente que este formato es el mismo que el anterior.

${\displaystyle Z=\alpha 'X+\beta 'Y+\gamma '[X,Y],}$

con

${\displaystyle X=ia'{\hat {u}}\cdot \mathbf {\sigma } ,\quad Y=ib'{\hat {v}}\cdot \mathbf {\sigma } \in {\mathfrak {su}}(2),}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}\cos b'\\\beta '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin b'}{b'}}\cos a'\\\gamma '&={\frac {1}{2}}{\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}{\frac {\sin b'}{b'}}.\end{aligned}}}$

Para la normalización uniforme de los generadores en el álgebra de Lie involucrada, exprese las matrices de Pauli en términos de t -matrices, σ → 2 i t , de modo que

${\displaystyle a'\mapsto -{\frac {\theta }{2}},\quad b'\mapsto -{\frac {\phi }{2}}.}$

Para verificar entonces que estos son los mismos coeficientes que los anteriores, calcule las razones de los coeficientes,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha '}{\gamma '}}&=\theta \cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\beta '}{\gamma '}}&=\phi \cot {\frac {\phi }{2}}&={\frac {\beta }{\gamma }}.\end{aligned}}}$

Finalmente, γ = γ' dada la identidad d = sin 2 c' .

Para el caso general n × n , se podría utilizar la referencia ^{[16] .}

El caso del cuaternión

La formulación del cuaternión de la composición de dos rotaciones R _B y R _A también produce directamente el eje de rotación y el ángulo de la rotación compuesta R _C = R _B R _A .

Sea el cuaternión asociado a una rotación espacial R construido a partir de su eje de rotación S y el ángulo de rotación φ de este eje. El cuaternión asociado viene dado por,

${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$

Entonces la composición de la rotación R _R con R _A es la rotación R _C = R _B R _A con eje de rotación y ángulo definido por el producto de los cuaterniones

${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{ and }}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$

eso es

${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$

Expande este producto para obtener

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$

Divida ambos lados de esta ecuación por la identidad, que es la ley de los cosenos en una esfera ,

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$

y calcular

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.}$

Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje de una rotación compuesta definida en términos de los ejes de las dos rotaciones. Derivó esta fórmula en 1840 (véase la página 408). ^[17]

Los tres ejes de rotación A , B y C forman un triángulo esférico y los ángulos diedros entre los planos formados por los lados de este triángulo están definidos por los ángulos de rotación.

Rotaciones infinitesimales

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitamente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal que representa un elemento de (el grupo ortogonal especial ), la diferencial de una rotación es una matriz antisimétrica en el espacio tangente (el álgebra de Lie ortogonal especial ), que en sí misma no es una matriz de rotación. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

donde es la matriz identidad, es extremadamente pequeña, y ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Por ejemplo, si se representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimal son las habituales, salvo que los infinitesimales de segundo orden se descartan rutinariamente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. ^[18] Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Realizaciones de rotaciones

Hemos visto que hay una variedad de formas de representar rotaciones:

• como matrices ortogonales con determinante 1,
• por eje y ángulo de rotación
• en álgebra de cuaterniones con versores y la función 3-esfera S ³ → SO(3) (ver cuaterniones y rotaciones espaciales )
• En álgebra geométrica como un rotor.
• como una secuencia de tres rotaciones alrededor de tres ejes fijos; ver ángulos de Euler .

Armónicos esféricos

El grupo SO(3) de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert.

${\displaystyle L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},}$

donde son armónicos esféricos . Sus elementos son funciones complejas integrables cuadradas ^{[nb 5]} en la esfera. El producto interno en este espacio está dado por ${\displaystyle Y_{m}^{\ell }}$

Si f es una función integrable cuadrada arbitraria definida en la esfera unitaria S ² , entonces puede expresarse como ^[19]

donde los coeficientes de expansión están dados por

La acción del grupo de Lorentz se limita a la de SO(3) y se expresa como

Esta acción es unitaria, es decir que

La D ^{( ℓ )} se puede obtener a partir de la D ^{( m ,  n )} de arriba usando la descomposición de Clebsch–Gordan , pero se expresan más fácilmente de manera directa como una exponencial de una representación impar-dimensional su (2) (la tridimensional es exactamente 𝖘𝖔(3) ). ^{[20] [21]} En este caso el espacio L ² ( S ² ) se descompone claramente en una suma directa infinita de representaciones impares irreducibles de dimensión finita V _{2 i + 1} , i = 0, 1, ... según ^[22]

Esto es característico de las representaciones unitarias de dimensión infinita de SO(3) . Si Π es una representación unitaria de dimensión infinita en un espacio de Hilbert separable ^{[nb 6]} , entonces se descompone como una suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita. ^[19] Por lo tanto, una representación de este tipo nunca es irreducible. Todas las representaciones de dimensión finita irreducibles (Π, V ) pueden hacerse unitarias mediante una elección apropiada del producto interno, ^[19]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,}$

donde la integral es la única integral invariante sobre SO(3) normalizada a 1 , expresada aquí utilizando la parametrización de ángulos de Euler . El producto interno dentro de la integral es cualquier producto interno sobre V.

Generalizaciones

El grupo de rotaciones se generaliza de forma bastante natural al espacio euclidiano de n dimensiones , con su estructura euclidiana estándar. El grupo de todas las rotaciones propias e impropias en n dimensiones se denomina grupo ortogonal O( n ), y el subgrupo de rotaciones propias se denomina grupo ortogonal especial SO( n ), que es un grupo de Lie de dimensión n ( n − 1)/2 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En la relatividad especial , se trabaja en un espacio vectorial de cuatro dimensiones, conocido como espacio de Minkowski , en lugar de un espacio euclidiano tridimensional. A diferencia del espacio euclidiano, el espacio de Minkowski tiene un producto interno con una signatura indefinida . Sin embargo, se pueden definir rotaciones generalizadas que conserven este producto interno. Dichas rotaciones generalizadas se conocen como transformaciones de Lorentz y el grupo de todas esas transformaciones se denomina grupo de Lorentz .

El grupo de rotación SO(3) puede describirse como un subgrupo de E ⁺ (3) , el grupo euclidiano de isometrías directas de Euclides. Este grupo más grande es el grupo de todos los movimientos de un cuerpo rígido : cada uno de ellos es una combinación de una rotación alrededor de un eje arbitrario y una traslación, o dicho de otra manera, una combinación de un elemento de SO(3) y una traslación arbitraria. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

En general, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro del grupo de isometrías directas; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría completa y el grupo de isometrías directas. Para los objetos quirales es lo mismo que el grupo de simetría completa.

Véase también

• Grupo ortogonal
• Momento angular
• Rotaciones de coordenadas
• Gráficos sobre SO(3)
• Representaciones de SO(3)
• Ángulos de Euler
• La fórmula de rotación de Rodrigues
• Rotación infinitesimal
• Grupo de pines
• Cuaterniones y rotaciones espaciales
• Cuerpo rígido
• Armónicos esféricos
• Plano de rotación
• Grupo de mentiras
• Matriz de Pauli
• Truco del plato
• Operador de rotación tridimensional

Notas al pie

1. Esto se logra aplicando primero una rotación a través de ${\displaystyle g_{\theta }}$φ sobre eleje z para tomar laeje x a la líneaL , la intersección entre los planosxy yx'y , siendo este último el plano xy rotado . Luego, rota con a través de θ alrededor de L para obtener el nuevo eje z a partir del antiguo, y finalmente rota con a través de un ángulo ψ alrededor del nuevo eje z , donde ψ es el ángulo entre L y el nuevo eje x . En la ecuación, y se expresan en una base rotada temporal en cada paso, lo que se ve desde su forma simple. Para transformarlos de nuevo a la base original, observe que Aquí en negrita significa que la rotación se expresa en la base original . Asimismo, ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{\theta }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}.}$

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}.}$

   De este modo

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }\mathbf {g} _{\theta }\mathbf {g} _{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}*g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}*g_{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }.}$

2. Para una derivación alternativa de , véase Grupo clásico . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$
3. En concreto, para ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {J}}_{\alpha }{\boldsymbol {U}}^{\dagger }=i{\boldsymbol {L}}_{\alpha }}$

   ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&i&0\\\end{array}}\right).}$

4. Para una prueba completa, véase Derivada de la función exponencial . Aquí se pasan por alto las cuestiones de convergencia de esta serie al elemento correcto del álgebra de Lie. La convergencia está garantizada cuando y La serie puede converger incluso si no se cumplen estas condiciones. Siempre existe una solución ya que exp es sobreyectiva en los casos considerados. ${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<\log 2}$ ${\displaystyle \|Z\|<\log 2.}$
5. Los elementos de L ² ( S ² ) son en realidad clases de equivalencia de funciones. Dos funciones se declaran equivalentes si difieren únicamente en un conjunto de medida cero . La integral es la integral de Lebesgue para obtener un espacio de producto interno completo .
6. Un espacio de Hilbert es separable si y solo si tiene una base contable. Todos los espacios de Hilbert separables son isomorfos.

Referencias

1. Jacobson (2009), pág. 34, Ejemplo 14.
2. n  ×  n matrices reales son idénticas a las transformaciones lineales de expresadas en su base estándar . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
3. Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (tercera edición). Nueva York. p. 53. ISBN 0-486-61480-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Propuesta 1.17 del Salón 2015
5. Rossmann 2002 pág. 95.
6. Estas expresiones fueron, de hecho, fundamentales en el desarrollo de la mecánica cuántica en la década de 1930, cf. Cap. III, § 16, BL van der Waerden, 1932/1932
7. Propuesta 3.24 del Salón 2015
8. Rossmann 2002
9. Engø 2001
10. Hall 2015 Ejemplo 3.27
11. Véase Rossmann 2002, teorema 3, sección 2.2.
12. Rossmann 2002 Sección 1.1.
13. Hall 2003 Teorema 2.27.
14. Shoemake, Ken (1 de enero de 1992), Kirk, DAVID (ed.), "III.6 - Rotaciones aleatorias uniformes", Graphics Gems III (versión IBM) , San Francisco: Morgan Kaufmann, págs. 124-132, ISBN 978-0-12-409673-8, consultado el 29 de julio de 2022
15. Salón 2003, cap. 3; Varadarajan 1984, §2.15
16. Curtright, Fairlie y Zachos 2014 Los elementos del grupo SU(2) se expresan en forma cerrada como polinomios finitos de los generadores del álgebra de Lie, para todas las representaciones de espín definidas del grupo de rotación.
17. Rodrigues, O. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la variación des coordonnées provenant de ses déplacements considérés indépendamment des cause qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
18. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)
19. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
20. En la mecánica cuántica, teoría no relativista de Landau y Lifshitz, los D de orden más bajo se calculan analíticamente.
21. Curtright, Fairlie y Zachos 2014 Se da una fórmula para D ^{( ℓ )} válida para todos los ℓ .
22. Hall 2003 Sección 4.3.5.

Bibliografía

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