Base esférica

Base utilizada para expresar tensores esféricos

En matemáticas puras y aplicadas , particularmente en mecánica cuántica y gráficos por computadora y sus aplicaciones, una base esférica es la base utilizada para expresar tensores esféricos . ^{[ definición necesaria ]} La base esférica se relaciona estrechamente con la descripción del momento angular en la mecánica cuántica y las funciones armónicas esféricas .

Mientras que las coordenadas polares esféricas son un sistema de coordenadas ortogonales para expresar vectores y tensores utilizando ángulos polares y azimutales y distancias radiales, las bases esféricas se construyen a partir de la base estándar y utilizan números complejos .

En tres dimensiones

Un vector A en el espacio euclidiano 3D R ³ se puede expresar en el conocido sistema de coordenadas cartesianas en la base estándar e _x , e _y , e _z , y coordenadas A _x , A _y , A _z :

o cualquier otro sistema de coordenadas con un conjunto base de vectores asociado . A partir de esto, se extienden los escalares para permitir la multiplicación por números complejos, de modo que ahora trabajamos en en lugar de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definición de base

En las bases esféricas denotadas e ₊ , e ₋ , e ₀ , y coordenadas asociadas con respecto a esta base, denotadas A ₊ , A ₋ , A ₀ , el vector A es:

donde los vectores de base esférica se pueden definir en términos de la base cartesiana utilizando coeficientes de valor complejo en el plano xy : ^[1]

en el que denota la unidad imaginaria , y una normal al plano en la dirección z : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

Las relaciones inversas son:

Definición de conmutador

Si bien dar una base en un espacio tridimensional es una definición válida para un tensor esférico, solo cubre el caso en el que el rango es 1. Para rangos superiores, se puede utilizar la definición de conmutador o rotación de un tensor esférico. La definición de conmutador se proporciona a continuación; cualquier operador que satisfaga las siguientes relaciones es un tensor esférico: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ $${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$ $${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$$

Definición de rotación

De manera análoga a cómo los armónicos esféricos se transforman bajo una rotación, un tensor esférico general se transforma de la siguiente manera, cuando los estados se transforman bajo la matriz D de Wigner unitaria , donde R es un elemento del grupo (rotación 3×3) en SO(3) . Es decir, estas matrices representan los elementos del grupo de rotación. Con la ayuda de su álgebra de Lie , se puede demostrar que estas dos definiciones son equivalentes. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

Vectores de coordenadas

Para la base esférica, las coordenadas son números complejos A ₊ , A ₀ , A ₋ , y se pueden encontrar sustituyendo ( 3B ) en ( 1 ), o calculando directamente a partir del producto interno ⟨, ⟩ ( 5 ):

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

con relaciones inversas:

En general, para dos vectores con coeficientes complejos en la misma base ortonormal de valor real e _i , con la propiedad e _i · e _j = δ _ij , el producto interno es:

donde · es el producto escalar usual y se debe utilizar el conjugado complejo * para mantener la magnitud (o "norma") del vector definida positiva .

Propiedades (tres dimensiones)

Ortonormalidad

La base esférica es una base ortonormal , ya que el producto interno ⟨, ⟩ ( 5 ) de cada par se desvanece, lo que significa que los vectores base son todos mutuamente ortogonales :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

y cada vector base es un vector unitario :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

De ahí la necesidad de los factores normalizadores de . ${\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}$

Matriz de cambio de base

Las relaciones definitorias ( 3A ) se pueden resumir mediante una matriz de transformación U :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

con inversa:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Se puede observar que U es una matriz unitaria , en otras palabras, su conjugado hermítico U ^† ( conjugado complejo y matriz transpuesta ) es también la matriz inversa U ⁻¹ .

Para las coordenadas:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

y inversa:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Productos cruzados

Tomando productos cruzados de los vectores de la base esférica, encontramos una relación obvia:

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

donde q es un marcador de posición para +, −, 0 y dos relaciones menos obvias:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

Producto interior en la base esférica

El producto interno entre dos vectores A y B en la base esférica se deduce de la definición anterior del producto interno:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

Véase también

• Teorema de Wigner-Eckart
• Matriz D de Wigner
• Grupo de rotación 3D

Referencias

1. WJ Thompson (2008). Momento angular. John Wiley & Sons. pág. 311. ISBN 9783527617838.

General

• SSM Wong (2008). Introducción a la física nuclear (2.ª edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-35-276-179-13.

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