Proyección estereográfica

Mapeo particular que proyecta una esfera sobre un plano

Ilustración 3D de una proyección estereográfica desde el polo norte sobre un plano debajo de la esfera.

En matemáticas , una proyección estereográfica es una proyección en perspectiva de la esfera , a través de un punto específico en la esfera (el polo o centro de proyección ), sobre un plano (el plano de proyección ) perpendicular al diámetro que pasa por el punto. Es una función biyectiva suave desde toda la esfera excepto el centro de proyección hasta todo el plano. Mapea círculos en la esfera a círculos o líneas en el plano, y es conforme , lo que significa que preserva los ángulos en los que se encuentran las curvas y, por lo tanto, preserva aproximadamente las formas de manera local . No es isométrica (preserva la distancia) ni equiárea (preserva el área). ^[1]

La proyección estereográfica permite representar una esfera mediante un plano. La métrica inducida por la proyección estereográfica inversa desde el plano a la esfera define una distancia geodésica entre puntos en el plano igual a la distancia esférica entre los puntos esféricos que representan. Un sistema de coordenadas bidimensionales en el plano estereográfico es una configuración alternativa para la geometría analítica esférica en lugar de las coordenadas polares esféricas o las coordenadas cartesianas tridimensionales . Este es el análogo esférico del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico .

Intuitivamente, la proyección estereográfica es una forma de representar la esfera como el plano, con algunos compromisos inevitables. Dado que la esfera y el plano aparecen en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, también lo hace la proyección estereográfica; se utiliza en diversos campos, incluidos el análisis complejo , la cartografía , la geología y la fotografía . A veces, los cálculos estereográficos se realizan gráficamente utilizando un tipo especial de papel cuadriculado llamado red estereográfica , abreviada como red estereográfica o red de Wulff .

Historia

Ilustración de Rubens para "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles", de François d'Aguilon . Demuestra el principio de una proyección en perspectiva general, de la cual la proyección estereográfica es un caso especial.

El origen de la proyección estereográfica no se conoce, pero se cree que fue descubierta por astrónomos de la Antigua Grecia y utilizada para proyectar la esfera celeste sobre el plano, de modo que los movimientos de las estrellas y los planetas pudieran analizarse utilizando la geometría plana . Su descripción existente más antigua se encuentra en el Planisferio de Ptolomeo (siglo II d. C.), pero Sinesio ( c.  400 d. C. ) la atribuyó ambiguamente a Hiparco (siglo II a. C. ), ^[2] y las Cónicas de Apolonio ( c.  200 a. C. ) contienen un teorema que es crucial para demostrar la propiedad de que la proyección estereográfica mapea círculos en círculos. A veces se ha atribuido especulativamente a Hiparco, Apolonio, Arquímedes e incluso Eudoxo (siglo IV a. C.) la invención o el conocimiento de la proyección estereográfica, ^[3] pero algunos expertos consideran que estas atribuciones son injustificadas. ^[2] Ptolomeo se refiere al uso de la proyección estereográfica en un "instrumento horoscópico", tal vez el reloj anafórico  [fr; it] descrito por Vitruvio (siglo I a.C.). ^{[4] [5]}

En la época de Teón de Alejandría (siglo IV), el planisferio se había combinado con una dioptra para formar el astrolabio planisférico ("tomador de estrellas"), ^[3] un dispositivo portátil capaz de usarse para medir posiciones de estrellas y realizar una amplia variedad de cálculos astronómicos. El astrolabio fue utilizado continuamente por los astrónomos bizantinos y fue desarrollado significativamente por los astrónomos islámicos medievales . Fue transmitido a Europa occidental durante el siglo XI y XII, con textos árabes traducidos al latín.

En los siglos XVI y XVII, el aspecto ecuatorial de la proyección estereográfica se utilizaba habitualmente para los mapas de los hemisferios oriental y occidental . Se cree que ya el mapa creado en 1507 por Gualterius Lud ^[6] estaba en proyección estereográfica, al igual que los mapas posteriores de Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595) y muchos otros. ^[7] En los mapas estelares, incluso este aspecto ecuatorial ya había sido utilizado por los antiguos astrónomos como Ptolomeo . ^[8]

François d'Aguilon dio a la proyección estereográfica su nombre actual en su obra de 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Seis libros de óptica, útiles tanto para filósofos como para matemáticos). ^[9]

A finales del siglo XVI, Thomas Harriot demostró que la proyección estereográfica es conforme ; sin embargo, esta prueba nunca se publicó y permaneció entre sus papeles en una caja durante más de tres siglos. ^[10] En 1695, Edmond Halley , motivado por su interés en los mapas estelares , fue el primero en publicar una prueba. ^[11] Utilizó las herramientas recientemente establecidas del cálculo , inventadas por su amigo Isaac Newton .

Definición

Primera formulación

Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte sobre el plano z = 0 , mostrada aquí en sección transversal

La esfera unitaria S ² en el espacio tridimensional R ³ es el conjunto de puntos ( x , y , z ) tales que x ² + y ² + z ² = 1 . Sea N = (0, 0, 1) el "polo norte" y sea M el resto de la esfera. El plano z = 0 pasa por el centro de la esfera; el "ecuador" es la intersección de la esfera con este plano.

Para cualquier punto P en M , existe una única línea que pasa por N y P , y esta línea interseca el plano z = 0 en exactamente un punto P ′ , conocido como la proyección estereográfica de P sobre el plano.

En coordenadas cartesianas ( x , y , z ) en la esfera y ( X , Y ) en el plano, la proyección y su inversa están dadas por las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),\\(x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

En coordenadas esféricas ( φ , θ ) en la esfera (siendo φ el ángulo cenital , 0 ≤ φ ≤ π , y θ el acimut , 0 ≤ θ ≤ 2π ) y coordenadas polares ( R , Θ ) en el plano, la proyección y su inversa son

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right).\end{aligned}}}$

Aquí, se entiende que φ tiene valor π cuando R = 0. Además, hay muchas formas de reescribir estas fórmulas utilizando identidades trigonométricas . En coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) en la esfera y coordenadas polares ( R , Θ ) en el plano, la proyección y su inversa son

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).\end{aligned}}}$

Otras convenciones

Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte sobre el plano z = −1 , mostrada aquí en sección transversal

Algunos autores ^[12] definen la proyección estereográfica desde el polo norte (0, 0, 1) sobre el plano z = −1 , que es tangente a la esfera unitaria en el polo sur (0, 0, −1). Esto puede describirse como una composición de una proyección sobre el plano ecuatorial descrito anteriormente, y una homotecia desde éste hasta el plano polar. La homotecia escala la imagen por un factor de 2 (una relación entre un diámetro y un radio de la esfera), por lo que los valores X e Y producidos por esta proyección son exactamente el doble de los producidos por la proyección ecuatorial descrita en la sección anterior. Por ejemplo, esta proyección envía el ecuador al círculo de radio 2 centrado en el origen. Mientras que la proyección ecuatorial no produce distorsión infinitesimal del área a lo largo del ecuador, esta proyección polo-tangente en cambio no produce distorsión infinitesimal del área en el polo sur.

Otros autores ^[13] utilizan una esfera de radio ⁠1/2⁠ y el plano z = − ⁠1/2⁠ . En este caso las fórmulas se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Proyección estereográfica de una esfera desde un punto Q sobre el plano E , mostrada aquí en sección transversal

En general, se puede definir una proyección estereográfica desde cualquier punto Q de la esfera sobre cualquier plano E tal que

• E es perpendicular al diámetro que pasa por Q , y
• E nocontiene Q.

Mientras E cumpla estas condiciones, entonces, para cualquier punto P distinto de Q, la línea que pasa por P y Q corta a E en exactamente un punto P ′ , que se define como la proyección estereográfica de P sobre E . ^[14]

Generalizaciones

De manera más general, la proyección estereográfica puede aplicarse a la unidad n -esfera S ⁿ en el espacio euclidiano de dimensión ( n + 1 ) E ^{n +1} . Si Q es un punto de S ⁿ y E un hiperplano en E ^{n +1} , entonces la proyección estereográfica de un punto P ∈ S ⁿ − { Q } es el punto P ′ de intersección de la línea QP con E . En coordenadas cartesianas ( x _i , i de 0 a n ) en S ⁿ y ( X _i , i de 1 a n ) en E , la proyección de Q = (1, 0, 0, ..., 0) ∈ S ⁿ viene dada por La definición de la inversa viene dada por $${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$ $${\displaystyle s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}},}$$ $${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{and}}\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$

De manera más general, supongamos que S es una hipersuperficie cuadrática (no singular) en el espacio proyectivo P ^{n +1} . En otras palabras, S es el lugar geométrico de los ceros de una forma cuadrática no singular f ( x ₀ , ..., x _{n +1} ) en las coordenadas homogéneas x _i . Fijemos cualquier punto Q en S y un hiperplano E en P ^{n +1} que no contenga a Q . Entonces la proyección estereográfica de un punto P en S − { Q } es el único punto de intersección de QP con E . Como antes, la proyección estereográfica es conforme e invertible en un conjunto abierto de Zariski no vacío. La proyección estereográfica presenta la hipersuperficie cuadrática como una hipersuperficie racional . ^[15] Esta construcción juega un papel en la geometría algebraica y la geometría conforme .

Propiedades

La primera proyección estereográfica definida en la sección anterior envía el "polo sur" (0, 0, −1) de la esfera unitaria a (0, 0), el ecuador al círculo unitario , el hemisferio sur a la región interior del círculo y el hemisferio norte a la región exterior del círculo.

La proyección no está definida en el punto de proyección N = (0, 0, 1). Se envían pequeñas vecindades de este punto a subconjuntos del plano alejados de (0, 0). Cuanto más cerca esté P de (0, 0, 1), más distante estará su imagen de (0, 0) en el plano. Por esta razón, es común hablar de (0, 0, 1) como una proyección al "infinito" en el plano, y de la esfera como una compleción del plano mediante la adición de un punto en el infinito . Esta noción encuentra utilidad en la geometría proyectiva y el análisis complejo. A un nivel meramente topológico , ilustra cómo la esfera es homeomorfa a la compactificación de un punto del plano.

En coordenadas cartesianas, un punto P ( x , y , z ) en la esfera y su imagen P ′ ( X , Y ) en el plano son ambos puntos racionales o ninguno de ellos:

${\displaystyle P\in \mathbb {Q} ^{3}\iff P'\in \mathbb {Q} ^{2}}$

Una cuadrícula cartesiana en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las líneas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los cuadrados de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.

La cuadrícula polar en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las curvas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los sectores de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.

La proyección estereográfica es conforme, lo que significa que conserva los ángulos en los que las curvas se cruzan entre sí (ver figuras). Por otro lado, la proyección estereográfica no conserva el área; en general, el área de una región de la esfera no es igual al área de su proyección sobre el plano. El elemento de área se da en coordenadas ( X , Y ) por

${\displaystyle dA={\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;dX\;dY.}$

A lo largo del círculo unitario, donde X ² + Y ² = 1 , no hay inflación del área en el límite, lo que da un factor de escala de 1. Las áreas cercanas a (0, 0) se inflan por un factor de 4, y las áreas cercanas al infinito se inflan por factores arbitrariamente pequeños.

La métrica se da en coordenadas ( X , Y ) por

${\displaystyle {\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;(dX^{2}+dY^{2}),}$

y es la fórmula única que se encuentra en el Habilitationsschrift de Bernhard Riemann sobre los fundamentos de la geometría, presentado en Göttingen en 1854 y titulado Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen .

Ninguna función de la esfera en el plano puede ser conforme y al mismo tiempo preservadora del área. Si lo fuera, sería una isometría local y preservaría la curvatura gaussiana . La esfera y el plano tienen curvaturas gaussianas diferentes, por lo que esto es imposible.

Los círculos sobre la esfera que no pasan por el punto de proyección se proyectan sobre círculos en el plano. ^{[16] [17]} Los círculos sobre la esfera que pasan por el punto de proyección se proyectan sobre líneas rectas en el plano. Estas líneas a veces se consideran círculos que pasan por el punto en el infinito, o círculos de radio infinito. Estas propiedades se pueden verificar utilizando las expresiones de en términos de dadas en § Primera formulación: utilizando estas expresiones para una sustitución en la ecuación del plano que contiene un círculo sobre la esfera, y despejando los denominadores, se obtiene la ecuación de un círculo, es decir, una ecuación de segundo grado con como su parte cuadrática. La ecuación se vuelve lineal si , es decir, si el plano pasa por el punto de proyección. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X,Y,Z,}$ ${\displaystyle ax+by+cz-d=0}$ ${\displaystyle (c-d)(X^{2}+Y^{2})}$ ${\displaystyle c=d,}$

Todas las líneas del plano, cuando se transforman en círculos sobre la esfera mediante la proyección estereográfica inversa, se encuentran en el punto de proyección. Las líneas paralelas, que no se cortan en el plano, se transforman en círculos tangentes en el punto de proyección. Las líneas que se cortan se transforman en círculos que se cortan transversalmente en dos puntos de la esfera, uno de los cuales es el punto de proyección. (Observaciones similares se aplican al plano proyectivo real , pero las relaciones de intersección son diferentes en este caso).

La esfera, con varias loxodromias mostradas en distintos colores.

Las loxodromas de la esfera se corresponden con curvas en el plano de la forma.

${\displaystyle R=e^{\Theta /a},\,}$

donde el parámetro a mide la "estrechez" de la loxodromia. Por lo tanto, las loxodromias corresponden a espirales logarítmicas . Estas espirales intersecan líneas radiales en el plano en ángulos iguales, de la misma manera que las loxodromias intersecan meridianos en la esfera en ángulos iguales.

La proyección estereográfica se relaciona con la inversión del plano de una manera sencilla. Sean P y Q dos puntos de la esfera con proyecciones P ′ y Q ′ sobre el plano. Entonces P ′ y Q ′ son imágenes inversas entre sí en la imagen del círculo ecuatorial si y solo si P y Q son reflejos entre sí en el plano ecuatorial.

En otras palabras, si:

• P es un punto de la esfera, pero no un 'polo norte' N ni su antípoda , el 'polo sur' S ,
• P ′ es la imagen de P en una proyección estereográfica con el punto de proyección N y
• P″ es la imagen de P en una proyección estereográfica con el punto de proyección S ,

entonces P ′ y P″ son imágenes inversas entre sí en el círculo unitario.

${\displaystyle \triangle NOP^{\prime }\sim \triangle P^{\prime \prime }OS\implies OP^{\prime }:ON=OS:OP^{\prime \prime }\implies OP^{\prime }\cdot OP^{\prime \prime }=r^{2}}$

Red Wulff

Red de Wulff o stereonet, utilizada para realizar gráficos de la proyección estereográfica a mano.

Generación de una red de Wulff (red circular dentro del círculo rojo) mediante una proyección estereográfica con centro C y plano de proyección ${\displaystyle \pi }$

Los gráficos de proyección estereográfica se pueden realizar mediante una computadora utilizando las fórmulas explícitas dadas anteriormente. Sin embargo, para graficar a mano estas fórmulas son difíciles de manejar. En cambio, es común utilizar papel cuadriculado diseñado específicamente para la tarea. Este papel cuadriculado especial se llama red estereográfica o red de Wulff , en honor al mineralogista ruso George (Yuri Viktorovich) Wulff . ^[18]

La red de Wulff que se muestra aquí es la proyección estereográfica de la cuadrícula de paralelos y meridianos de un hemisferio centrado en un punto del ecuador (como el hemisferio oriental u occidental de un planeta).

En la figura, la propiedad de distorsión de área de la proyección estereográfica se puede ver comparando un sector de la cuadrícula cerca del centro de la red con uno en el extremo derecho o izquierdo. Los dos sectores tienen áreas iguales en la esfera. En el disco, el último tiene casi cuatro veces el área del primero. Si la cuadrícula se hace más fina, esta relación se acerca exactamente a 4.

En la red de Wulff, las imágenes de los paralelos y meridianos se intersecan en ángulos rectos. Esta propiedad de ortogonalidad es una consecuencia de la propiedad de conservación de ángulos de la proyección estereográfica. (Sin embargo, la propiedad de conservación de ángulos es más fuerte que esta propiedad. No todas las proyecciones que conservan la ortogonalidad de los paralelos y meridianos conservan los ángulos).

Ilustración de los pasos 1 a 4 para trazar un punto en una red de Wulff

Para un ejemplo del uso de la red de Wulff, imaginemos dos copias de la misma en papel fino, una sobre la otra, alineadas y unidas por su centro mutuo. Sea P el punto del hemisferio unitario inferior cuyas coordenadas esféricas son (140°, 60°) y cuyas coordenadas cartesianas son (0,321, 0,557, −0,766). Este punto se encuentra en una línea orientada 60° en sentido antihorario desde el eje x positivo (o 30° en sentido horario desde el eje y positivo ) y 50° por debajo del plano horizontal z = 0. Una vez que se conocen estos ángulos, hay cuatro pasos para trazar P :

1. Utilizando las líneas de la cuadrícula, que en las figuras están espaciadas 10° entre sí, marque el punto en el borde de la red que está a 60° en sentido antihorario desde el punto (1, 0) (o 30° en sentido horario desde el punto (0, 1)).
2. Gire la red superior hasta que este punto esté alineado con (1, 0) en la red inferior.
3. Utilizando las líneas de la cuadrícula en la red inferior, marque el punto que está a 50° hacia el centro desde ese punto.
4. Gire la red superior en sentido opuesto a cómo estaba orientada antes, para volver a alinearla con la red inferior. El punto marcado en el paso 3 es entonces la proyección que queríamos.

Para representar otros puntos cuyos ángulos no sean números tan redondos como 60° y 50°, se debe interpolar visualmente entre las líneas de cuadrícula más cercanas. Es útil tener una cuadrícula con un espaciado más fino que 10°. Los espaciamientos de 2° son comunes.

Para hallar el ángulo central entre dos puntos de la esfera según su gráfico estereográfico, superponga el gráfico sobre una red Wulff y gire el gráfico sobre el centro hasta que los dos puntos se encuentren sobre un meridiano o cerca de él. Luego, mida el ángulo entre ellos contando las líneas de la cuadrícula a lo largo de ese meridiano.

• 
  Se dibujan dos puntos P ₁ y P _{2 en una hoja transparente fijada en el origen de una red de Wulff.}
• 
  Se gira la lámina transparente y se lee el ángulo central a lo largo del meridiano común hasta ambos puntos P ₁ y P ₂ .

Aplicaciones dentro de las matemáticas

Análisis complejo

La proyección estereográfica desde el polo norte de una esfera hasta su plano ecuatorial establece una correspondencia biunívoca entre la esfera y el plano ecuatorial prolongado con un punto en el infinito denotado ∞ . Cuando el plano ecuatorial es el plano complejo , esto proporciona una visualización de la esfera de Riemann

Aunque cualquier proyección estereográfica omite un punto de la esfera (el punto de proyección), se puede representar la esfera entera utilizando dos proyecciones desde distintos puntos de proyección. En otras palabras, la esfera se puede cubrir con dos parametrizaciones estereográficas (las inversas de las proyecciones) desde el plano. Las parametrizaciones se pueden elegir para inducir la misma orientación en la esfera. Juntas, describen la esfera como una superficie orientada (o variedad bidimensional ).

Esta construcción tiene un significado especial en el análisis complejo. El punto ( X , Y ) en el plano real se puede identificar con el número complejo ζ = X + i Y . La proyección estereográfica desde el polo norte sobre el plano ecuatorial es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{aligned}}}$

De manera similar, siendo ξ = X − i Y otra coordenada compleja, las funciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{aligned}}}$

Definir una proyección estereográfica desde el polo sur sobre el plano ecuatorial. Los mapas de transición entre las coordenadas ζ y ξ son entonces ζ = ⁠1/o⁠ y ξ = ⁠1/o⁠ , con ζ acercándose a 0 cuando ξ tiende al infinito, y viceversa . Esto facilita una noción elegante y útil de infinito para los números complejos y, de hecho, una teoría completa de funciones meromórficas que se asignan a la esfera de Riemann . La métrica estándar en la esfera unitaria concuerda con la métrica de Fubini-Study en la esfera de Riemann.

Visualización de líneas y planos

Animación de líneas de Kikuchi de cuatro de las ocho zonas <111> en un cristal fcc. Los planos de canto (líneas con bandas) se intersecan en ángulos fijos.

El conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en el espacio tridimensional forma un espacio llamado plano proyectivo real . Este plano es difícil de visualizar, porque no puede insertarse en el espacio tridimensional.

Sin embargo, se puede visualizar como un disco, de la siguiente manera. Cualquier línea que pase por el origen interseca el hemisferio sur z  ≤ 0 en un punto, que luego se puede proyectar estereográficamente a un punto en un disco en el plano XY. Las líneas horizontales que pasan por el origen intersecan el hemisferio sur en dos puntos antípodas a lo largo del ecuador, que se proyectan hasta el límite del disco. Cualquiera de los dos puntos proyectados se puede considerar parte del disco; se entiende que los puntos antípodas en el ecuador representan una sola línea en el espacio 3 y un solo punto en el límite del disco proyectado (ver topología de cociente ). Por lo tanto, cualquier conjunto de líneas que pasen por el origen se puede representar como un conjunto de puntos en el disco proyectado. Pero los puntos límite se comportan de manera diferente a los puntos límite de un disco bidimensional ordinario, en el sentido de que cualquiera de ellos está simultáneamente cerca de puntos interiores en lados opuestos del disco (al igual que dos líneas casi horizontales que pasan por el origen pueden proyectarse a puntos en lados opuestos del disco).

Además, cada plano que pasa por el origen intersecta la esfera unitaria en un círculo máximo, llamado traza del plano. Este círculo se corresponde con un círculo bajo proyección estereográfica. Por lo tanto, la proyección nos permite visualizar los planos como arcos circulares en el disco. Antes de la disponibilidad de las computadoras, las proyecciones estereográficas con círculos máximos a menudo implicaban dibujar arcos de radio grande que requerían el uso de una brújula . Las computadoras ahora hacen que esta tarea sea mucho más sencilla.

Además, cada plano está asociado con una línea única, llamada polo del plano , que pasa por el origen y es perpendicular al plano. Esta línea se puede trazar como un punto en el disco, al igual que cualquier línea que pase por el origen. Por lo tanto, la proyección estereográfica también nos permite visualizar los planos como puntos en el disco. Para los gráficos que involucran muchos planos, trazar sus polos produce una imagen menos desordenada que trazar sus trazas.

Esta construcción se utiliza para visualizar datos direccionales en cristalografía y geología, como se describe a continuación.

Otra visualización

La proyección estereográfica también se aplica a la visualización de politopos . En un diagrama de Schlegel , un politopo n -dimensional en R ^{n +1} se proyecta sobre una esfera n -dimensional, que luego se proyecta estereográficamente sobre R ⁿ . La reducción de R ^{n +1} a R ⁿ puede hacer que el politopo sea más fácil de visualizar y comprender.

Geometría aritmética

Los puntos racionales de un círculo corresponden, bajo proyección estereográfica, a los puntos racionales de la línea.

En geometría aritmética elemental , la proyección estereográfica desde el círculo unitario proporciona un medio para describir todas las ternas pitagóricas primitivas . Específicamente, la proyección estereográfica desde el polo norte (0,1) sobre el eje x da una correspondencia biunívoca entre los puntos de números racionales ( x , y ) en el círculo unitario (con y ≠ 1 ) y los puntos racionales del eje x . Si ( ⁠metro/norte⁠ , 0) es un punto racional en el eje x , entonces su proyección estereográfica inversa es el punto

${\displaystyle \left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right)}$

que da la fórmula de Euclides para una terna pitagórica.

Sustitución de la mitad del ángulo tangente

Se puede pensar que el par de funciones trigonométricas (sin x , cos x ) parametrizan el círculo unitario. La proyección estereográfica ofrece una parametrización alternativa del círculo unitario:

${\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.}$

Bajo esta reparametrización, el elemento de longitud dx del círculo unitario pasa a

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.}$

Esta sustitución a veces puede simplificar integrales que involucran funciones trigonométricas.

Aplicaciones a otras disciplinas

Cartografía

El problema fundamental de la cartografía es que ningún mapa que se extienda desde la esfera al plano puede representar con precisión tanto ángulos como áreas. En general, las proyecciones cartográficas que preservan el área son las preferidas para aplicaciones estadísticas , mientras que las proyecciones cartográficas que preservan el ángulo (conformes) son las preferidas para la navegación .

La proyección estereográfica pertenece a la segunda categoría. Cuando la proyección está centrada en el polo norte o sur de la Tierra, tiene propiedades adicionales deseables: envía meridianos a los rayos que emanan del origen y paralelos a los círculos centrados en el origen.

• 
  Proyección estereográfica del mundo al norte de 30°S. Retícula de 15°.
• 
  La proyección estereográfica con la indicatriz de deformación de Tissot .

Ciencia planetaria

Proyección estereográfica de la Luna que muestra las regiones situadas en el polo de 60° Norte. Los cráteres que son círculos en la esfera aparecen circulares en esta proyección, independientemente de si están cerca del polo o del borde del mapa.

La proyección estereográfica es la única que convierte todos los círculos de una esfera en círculos de un plano . Esta propiedad es valiosa en la cartografía planetaria, donde los cráteres son características típicas. El conjunto de círculos que pasan por el punto de proyección tiene un radio ilimitado y, por lo tanto, degenera en líneas.

Cristalografía

Figura polar cristalográfica para la red de diamantes en dirección [111]

En cristalografía , las orientaciones de los ejes y las caras de los cristales en el espacio tridimensional son una preocupación geométrica central, por ejemplo, en la interpretación de los patrones de difracción de rayos X y electrones . Estas orientaciones se pueden visualizar como en la sección Visualización de líneas y planos anterior. Es decir, los ejes y polos de los cristales con respecto a los planos de los cristales se intersecan con el hemisferio norte y luego se representan gráficamente mediante proyección estereográfica. Un gráfico de polos se denomina figura polar .

En la difracción de electrones , los pares de líneas de Kikuchi aparecen como bandas que decoran la intersección entre las trazas del plano reticular y la esfera de Ewald , lo que proporciona un acceso experimental a la proyección estereográfica de un cristal. Los mapas modelo de Kikuchi en el espacio recíproco ^[19] y los mapas de visibilidad de franjas para su uso con contornos de curvatura en el espacio directo ^[20] actúan así como mapas de ruta para explorar el espacio de orientación con cristales en el microscopio electrónico de transmisión .

Geología

Uso de la proyección estereográfica del hemisferio inferior para representar gráficamente datos planos y lineales en geología estructural, utilizando el ejemplo de un plano de falla con una lineación de slickenside

Los investigadores en geología estructural se interesan por las orientaciones de los planos y las líneas por varias razones. La foliación de una roca es una característica plana que a menudo contiene una característica lineal llamada lineación . De manera similar, un plano de falla es una característica plana que puede contener características lineales como las laderas de falla .

Estas orientaciones de líneas y planos a varias escalas se pueden representar gráficamente utilizando los métodos de la sección Visualización de líneas y planos anterior. Al igual que en la cristalografía, los planos se representan gráficamente típicamente por sus polos. A diferencia de la cristalografía, se utiliza el hemisferio sur en lugar del norte (porque las características geológicas en cuestión se encuentran debajo de la superficie de la Tierra). En este contexto, la proyección estereográfica se conoce a menudo como la proyección del hemisferio inferior de ángulos iguales . La proyección del hemisferio inferior de áreas iguales definida por la proyección de áreas iguales azimutal de Lambert también se utiliza, especialmente cuando el gráfico se va a someter a un análisis estadístico posterior, como el contorno de densidad . ^[21]

Mecánica de rocas

La proyección estereográfica es uno de los métodos más utilizados para evaluar la estabilidad de taludes rocosos. Permite la representación y el análisis de datos de orientación tridimensionales en dos dimensiones. El análisis cinemático dentro de la proyección estereográfica se utiliza para evaluar el potencial de varios modos de fallas de taludes rocosos, como fallas planas, en cuña y por vuelco, que ocurren debido a la presencia de discontinuidades orientadas desfavorablemente. ^{[22] [23]} Esta técnica es particularmente útil para visualizar la orientación de taludes rocosos en relación con conjuntos de discontinuidades, lo que facilita la evaluación del tipo de falla más probable. ^[22] Por ejemplo, la falla plana es más probable cuando el rumbo de un conjunto de discontinuidades es paralelo a la pendiente y las discontinuidades se inclinan hacia la pendiente en un ángulo lo suficientemente pronunciado para permitir el deslizamiento, pero no más pronunciado que la pendiente misma.

Además, algunos autores han desarrollado métodos gráficos basados ​​en la proyección estereográfica para calcular fácilmente parámetros de corrección geométrica, como los relacionados con el paralelismo entre la pendiente y las discontinuidades, la inclinación de la discontinuidad y el ángulo relativo entre la discontinuidad y la pendiente, para clasificaciones de masas rocosas en pendientes, incluyendo la clasificación de masas de pendientes (SMR) ^[24] y la clasificación de masas rocosas . ^[25]

Fotografía

Proyección estereográfica del panorama esférico de la escultura La Última Cena de Michele Vedani en Esino Lario , Lombardía, Italia, durante Wikimania 2016

"Vue circularire des montagnes qu'on découvre du sommet du Glacier de Buet", Horace-Benedict de Saussure, Voyage dans les Alpes, précédés d'un ensayo sobre la historia natural de los alrededores de Ginebra . Neuchatel, 1779–96, pl. 8.

Algunas lentes de ojo de pez utilizan una proyección estereográfica para capturar una vista de gran angular. ^[26] En comparación con las lentes de ojo de pez más tradicionales que utilizan una proyección de área igual, las áreas cercanas al borde conservan su forma y las líneas rectas son menos curvas. Sin embargo, las lentes de ojo de pez estereográficas suelen ser más caras de fabricar. ^[27] El software de reasignación de imágenes, como Panotools , permite la reasignación automática de fotos desde un ojo de pez de área igual a una proyección estereográfica.

La proyección estereográfica se ha utilizado para cartografiar panoramas esféricos , comenzando por Horace Bénédict de Saussure en 1779. Esto da como resultado efectos conocidos como pequeño planeta (cuando el centro de proyección es el nadir ) y tubo (cuando el centro de proyección es el cenit ). ^[28]

La popularidad del uso de proyecciones estereográficas para mapear panoramas en comparación con otras proyecciones azimutales se atribuye a la preservación de la forma que resulta de la conformidad de la proyección. ^[28]

Véase también

• Lista de proyecciones cartográficas
• Astrolabio
• Reloj astronómico
• Modelo de disco de Poincaré , la aplicación análoga del plano hiperbólico
• Proyección estereográfica en cartografía
• Perspectiva curvilínea
• Lente ojo de pez

Referencias

1. Bajo la métrica euclidiana en el plano.
2. Synesius escribió en una carta en la que describía un instrumento que utilizaba la proyección estereográfica: "Hace mucho tiempo, Hiparco insinuó el desarrollo de una superficie esférica [sobre un plano], de modo de mantener una proporción adecuada entre las proporciones dadas en las diferentes figuras, y de hecho fue el primero en dedicarse a este tema. Yo, sin embargo (si no es presuntuoso hacer una afirmación tan grande), lo he seguido hasta sus últimas consecuencias y lo he perfeccionado, aunque durante la mayor parte del tiempo intermedio el problema había sido descuidado; porque el gran Ptolomeo y la banda divina de sus sucesores se contentaron con hacer un uso de él sólo en la medida en que fuera suficiente para el reloj de la noche por medio de las dieciséis estrellas, que eran las únicas que Hiparco reordenó e ingresó en su instrumento". Traducción de Dicks, DR (1960). Los fragmentos geográficos de Hiparco . Universidad de Londres, Athlone Press, fragmento 63 págs. 102–103.
   Dicks concluye (comentario sobre el fragmento 63, págs. 194-207): "El hecho de que el testimonio de Sinesio pueda aceptarse sin más depende de la opinión que se adopte sobre la solidez de las objeciones planteadas anteriormente. En general, parece que se ha exagerado mucho el valor de su testimonio y que no se ha enfatizado lo suficiente su carácter insatisfactorio en muchos puntos. En cualquier caso, el "instrumento" que envió a Peonio era un reloj astrolábico modificado del tipo vitruviano o un simple mapa celeste, y no un astrolabio planisférico. Además, a la luz de las pruebas disponibles, en mi opinión no estamos justificados para atribuir a Hiparco un conocimiento ni de la proyección estereográfica ni del astrolabio planisférico".
3. Neugebauer, Otto (1949). "La historia temprana del astrolabio". Isis . 40 (3): 240–256. doi :10.1086/349045. JSTOR  227240.
4. Sleeswyk, AW; Huldén, B. (1991). "Los tres relojes de agua descritos por Vitruvio". Historia y tecnología . 8 (1): 25–50. doi :10.1080/07341519108581788.
5. Drachmann, AG . (1953). "El astrolabio plano y el reloj anafórico". Centaurus . 3 (1): 183–189. Bibcode :1953Cent....3..183D. doi :10.1111/j.1600-0498.1953.tb00528.x.
6. Según (Snyder 1993), aunque reconoce que no lo vio personalmente
7. Snyder (1989).
8. Brown, Lloyd Arnold: La historia de los mapas, p.59.
9. Según (Elkins, 1988), quien hace referencia a Eckert, "Die Kartenwissenschaft", Berlín 1921, págs. 121-123.
10. Lohne, John (1979). "Ensayos sobre Thomas Harriot". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 20 (3/4): 189–312. doi :10.1007/BF00327737. S2CID  118095486.
11. Timothy Feeman. 2002. "Retratos de la Tierra: un matemático observa los mapas". Sociedad Matemática Estadounidense.
12. Cf. Apóstol (1974) p. 17.
13. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
14. Cf. Pedoe (1988).
15. Cf. Shafarevich (1995).
16. Ahlfors, Lars (1966). Análisis complejo . McGraw-Hill, Inc., pág. 19.
17. Conway, John ; Doyle, Peter; Gilman, Jane ; Thurston, Bill (1994-04-12), "Proyección estereográfica", Geometría y la imaginación en Minneapolis, Minnesota University, arXiv : 1804.03055 , archivado desde el original el 2021-04-19 , consultado el 2022-04-26
18. Wulff, George, Untersuchungen im Gebiete der optischen Eigenschaften isomorfo Kristalle: Zeits. Krist., 36, 1-28 (1902)
19. M. von Heimendahl, W. Bell y G. Thomas (1964) Aplicaciones del análisis de líneas de Kikuchi en microscopía electrónica, J. Appl. Phys. 35:12 , 3614–3616.
20. P. Fraundorf, Wentao Qin, P. Moeck y Eric Mandell (2005) Dando sentido a las franjas reticulares de los nanocristales, J. Appl. Phys. 98 :114308.
21. Lisle, RJ; Leyshon, PR (2004). Técnicas de proyección estereográfica para geólogos e ingenieros civiles (2.ª edición). Cambridge University Press. ISBN 9780521535823.
22. Hoek, Evert; Bray, Jonathan D. (30 de junio de 1981). Ingeniería de taludes rocosos: tercera edición. CRC Press. ISBN 978-0-419-16010-6.
23. Lisle, Richard J.; Leyshon, Peter R. (2004). Técnicas de proyección estereográfica para geólogos e ingenieros civiles (2.ª edición). Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9781139171366. ISBN 978-0-521-53582-3.
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25. Moon, Vicki; Russell, Geoff; Stewart, Meagan (julio de 2001). "El valor de los sistemas de clasificación de macizos rocosos para macizos rocosos débiles: un ejemplo de caso de Huntly, Nueva Zelanda". Ingeniería geológica . 61 (1): 53–67. Bibcode :2001EngGe..61...53M. doi :10.1016/s0013-7952(01)00024-2. ISSN  0013-7952.
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27. "Samyang 8 mm f/3.5 Aspherical IF MC Fish-eye". lenstip.com . Consultado el 7 de julio de 2011 .
28. Alemán y col. (2007).

Fuentes

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• Brown, James y Churchill, Ruel (1989). Variables complejas y aplicaciones . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
• Casselman, Bill (2014), Columna destacada de febrero de 2014: Proyección estereográfica, AMS , consultado el 12 de diciembre de 2014
• Alemán, Daniel; Burchill, L.; Duret-Lutz, A.; Pérez-Duarte, S.; Pérez-Duarte, E.; Sommers, J. (junio de 2007). "Aplanando la esfera visible". Actas de estética computacional 2007 . Banff: Eurografía. págs. 23-28.
• Gelfand, IM ; Minlos, RA ; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representaciones de los grupos de rotación y de Lorentz y sus aplicaciones , Nueva York: Pergamon Press
• Do Carmo ; Manfredo P. (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
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• Oprea, John (2003). Geometría diferencial y aplicaciones . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-065246-6.
• Pedoe, Dan (1988). Geometría . Dover. ISBN. 0-486-65812-0.
• Shafarevich, Igor (1995). Geometría algebraica básica I. Springer. ISBN 0-387-54812-2.
• Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo, documento profesional 1395. Servicio Geológico de Estados Unidos.
• Snyder, John P. (1989). Un álbum de proyecciones cartográficas, papel profesional 1453. Servicio Geológico de Estados Unidos.
• Snyder, John P. (1993). Aplanando la Tierra . Universidad de Chicago. ISBN 0-226-76746-9.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial, volumen IV . Houston, Texas: Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.

Enlaces externos

• Proyección estereográfica e inversión de Cut-the-Knot
• Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS: “La proyección estereográfica”

Vídeos

• Prueba sobre la proyección estereográfica que convierte círculos en la esfera en círculos en el plano
• Proyección estereográfica con lapso de tiempo en Vimeo

Software

• Stereonet, una herramienta de software para geología estructural de Rick Allmendinger .
• PTCLab, el laboratorio de cristalografía de transformación de fases
• Sphaerica, herramienta de software para la construcción de reglas y compás sobre la esfera, que incluye una opción de visualización de proyección estereográfica
• Estereografica Web, una aplicación web para proyección estereográfica en geología estructural y cinemática de fallas de Ernesto Cristallini.