Teorema del subgrupo cerrado

Teorema de teoría de grupos

En matemáticas , el teorema del subgrupo cerrado (a veces denominado teorema de Cartan ) es un teorema de la teoría de los grupos de Lie . Afirma que si H es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G , entonces H es un grupo de Lie embebido con la estructura suave (y, por lo tanto, la topología del grupo ) que concuerda con la incrustación. ^{[1] [2] [3]} Uno de los varios resultados conocidos como teorema de Cartan , fue publicado por primera vez en 1930 por Élie Cartan , ^[4] quien se inspiró en la prueba de 1929 de John von Neumann de un caso especial para grupos de transformaciones lineales . ^{[5] [6]}

Descripción general

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Ahora sea H un subgrupo cerrado arbitrario de G. Es necesario demostrar que H es una subvariedad incrustada suave de G. El primer paso es identificar algo que podría ser el álgebra de Lie de H , es decir, el espacio tangente de H en la identidad. El desafío es que no se supone que H tenga ninguna suavidad y, por lo tanto, no está claro cómo se puede definir su espacio tangente. Para continuar, defina el "álgebra de Lie" de H mediante la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.}$$

No es difícil demostrar que es una subálgebra de Lie de . ^[7] En particular, es un subespacio de , que se podría esperar que fuera el espacio tangente de H en la identidad. Sin embargo, para que esta idea funcione, debe ser lo suficientemente grande como para capturar alguna información interesante sobre H . Si, por ejemplo, H fuera un subgrupo grande de G pero resultara ser cero, no sería útil. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

El paso clave, entonces, es demostrar que en realidad captura todos los elementos de H que están suficientemente cerca de la identidad. Es decir, es necesario demostrar el siguiente lema crítico: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Lema  —  Tómese un pequeño vecindario U del origen ental que la función exponencial envíe a U difeomórficamente a algún vecindariode la identidad en G , y sea log: V → U la inversa de la función exponencial. Entonces existe un vecindario más pequeño W ⊂ V tal que si h pertenece a W ∩ H , entonces log( h ) pertenece a. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Una vez establecido esto, se pueden utilizar coordenadas exponenciales en W , es decir, escribir cada g ∈ W (no necesariamente en H ) como g = e ^X para X = log( g ) . En estas coordenadas, el lema dice que X corresponde a un punto en H precisamente si X pertenece a . Es decir, en coordenadas exponenciales cercanas a la identidad, H se parece a . Dado que es solo un subespacio de , esto significa que es como R ^k ⊂ R ⁿ , con y . Por lo tanto, hemos exhibido un " sistema de coordenadas de corte " en el que H ⊂ G se parece localmente a R ^k ⊂ R ⁿ , que es la condición para una subvariedad incrustada. ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}$

Vale la pena señalar que Rossmann muestra que para cualquier subgrupo H de G (no necesariamente cerrado), el álgebra de Lie de H es un subálgebra de Lie de . ^[10] Rossmann luego introduce coordenadas ^[11] en H que convierten el componente identidad de H en un grupo de Lie. Es importante notar, sin embargo, que la topología en H que proviene de estas coordenadas no es la topología del subconjunto. Es decir, el componente identidad de H es una subvariedad inmersa de G pero no una subvariedad incrustada. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En particular, el lema enunciado anteriormente no se cumple si H no está cerrado.

Ejemplo de un subgrupo no cerrado

El toro G . Imaginemos una hélice doblada dispuesta sobre la superficie que representa H . Si a = p ⁄ q en términos mínimos, la hélice se cerrará sobre sí misma en (1, 1) después de p rotaciones en φ y q rotaciones en θ . Si a es irracional, la hélice se enrolla indefinidamente.

Para un ejemplo de un subgrupo que no es un subgrupo de Lie incrustado, considere el toro y un " devanado irracional del toro ". y su subgrupo con un irracional. Entonces H es denso en G y por lo tanto no cerrado. ^[12] En la topología relativa , un pequeño subconjunto abierto de H está compuesto de infinitos segmentos de línea casi paralelos en la superficie del toro. Esto significa que H no está localmente conexo por trayectorias . En la topología de grupo, los pequeños conjuntos abiertos son segmentos de línea individuales en la superficie del toro y H está localmente conexo por trayectorias. $${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},}$$ $${\displaystyle H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},}$$

El ejemplo muestra que para algunos grupos H se pueden encontrar puntos en un entorno arbitrariamente pequeño U en la topología relativa τ _r de la identidad que son exponenciales de elementos de h , pero no se pueden conectar a la identidad con un camino que permanezca en U . ^[13] El grupo ( H , τ _r ) no es un grupo de Lie. Mientras que la función exp : h → ( H , τ _r ) es una biyección analítica, su inversa no es continua. Es decir, si U ⊂ h corresponde a un pequeño intervalo abierto − ε < θ < ε , no hay ningún abierto V ⊂ ( H , τ _r ) con log( V ) ⊂ U debido a la aparición de los conjuntos V . Sin embargo, con la topología de grupo τ _g , ( H , τ _g ) es un grupo de Lie. Con esta topología la inyección ι  : ( H , τ _g ) → G es una inmersión inyectiva analítica, pero no un homeomorfismo , por lo tanto no es una incrustación. También hay ejemplos de grupos H para los cuales se pueden encontrar puntos en un entorno arbitrariamente pequeño (en la topología relativa) de la identidad que no son exponenciales de elementos de h . ^[14] Para subgrupos cerrados este no es el caso como lo muestra la prueba del teorema a continuación.

Aplicaciones

Debido a la conclusión del teorema, algunos autores optaron por definir los grupos de Lie lineales o matriciales como subgrupos cerrados de GL( n , R ) o GL( n , C ) . ^[15] En este contexto, se demuestra que cada elemento del grupo suficientemente cercano a la identidad es el exponencial de un elemento del álgebra de Lie. ^[8] (La prueba es prácticamente idéntica a la prueba del teorema del subgrupo cerrado que se presenta a continuación). De ello se deduce que cada subgrupo cerrado es una subvariedad incrustada de GL( n , C ) ^[16]

Teorema de construcción del espacio homogéneo  :  si H ⊂ G es un subgrupo de Lie cerrado , entonces G / H , el espacio de clase lateral izquierda, tiene una estructura de variedad analítica real única tal que la función cociente π : G → G / H es una inmersión analítica . La acción izquierda dada por g ₁ ⋅ ( g ₂ H ) = ( g ₁ g ₂ ) H convierte a G / H en un G -espacio homogéneo .

El teorema del subgrupo cerrado simplifica ahora considerablemente las hipótesis, ampliando a priori la clase de espacios homogéneos. Todo subgrupo cerrado produce un espacio homogéneo.

De manera similar, el teorema del subgrupo cerrado simplifica la hipótesis del siguiente teorema.

Si X es un conjunto con acción de grupo transitivo y el grupo de isotropía o estabilizador de un punto x ∈ X es un subgrupo de Lie cerrado, entonces X tiene una estructura de variedad suave única tal que la acción es suave.

Condiciones para estar cerrado

A continuación se dan algunas condiciones suficientes para que H ⊂ G sea cerrado, y por tanto un grupo de Lie incrustado.

• Todos los grupos clásicos están cerrados en GL( F , n ) , donde F es R , C o H , los cuaterniones .
• Un subgrupo que está localmente cerrado es cerrado. ^[17] Un subgrupo es localmente cerrado si cada punto tiene un vecindario en U ⊂ G tal que H ∩ U está cerrado en U .
• Si H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B } , donde A es un grupo compacto y B es un conjunto cerrado, entonces H es cerrado. ^[18]
• Si h ⊂ g es una subálgebra de Lie tal que para ningún X ∈ g ∖ h , [ X , h ] ∈ h , entonces Γ( h ) , el grupo generado por e ^h , es cerrado en G . ^[19]
• Si X ∈ g , entonces el subgrupo de un parámetro generado por X no es cerrado si y sólo si X es similar en C a una matriz diagonal con dos entradas de razón irracional. ^[20]
• Sea h ⊂ g una subálgebra de Lie. Si existe un grupo compacto simplemente conexo k con k isomorfo a h , entonces Γ( h ) es cerrado en G . ^[21]
• Si G está simplemente conexo y h ⊂ g es un ideal , entonces el subgrupo de Lie conexo con el álgebra de Lie h es cerrado. ^[22]

Conversar

Un subgrupo de Lie insertado H ⊂ G es cerrado ^[23] , por lo que un subgrupo es un subgrupo de Lie insertado si y solo si es cerrado. De manera equivalente, H es un subgrupo de Lie insertado si y solo si su topología de grupo es igual a su topología relativa. ^[24]

Prueba

En 1929, John von Neumann demostró el teorema en el caso de grupos de matrices como los que se dan aquí. Fue un destacado investigador en muchas áreas, entre ellas la mecánica cuántica , la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas .

La prueba se da para grupos de matrices con G = GL( n , R ) para concreción y relativa simplicidad, ya que las matrices y su aplicación exponencial son conceptos más fáciles que en el caso general. Históricamente, este caso fue demostrado primero, por John von Neumann en 1929, e inspiró a Cartan para demostrar el teorema de subgrupo cerrado completo en 1930. ^{[5] [6]} La prueba para G general es formalmente idéntica, ^[25] excepto que los elementos del álgebra de Lie son campos vectoriales invariantes en G y la aplicación exponencial es el flujo de tiempo uno del campo vectorial. Si H ⊂ G con G cerrado en GL( n , R ) , entonces H es cerrado en GL( n , R ) , por lo que la especialización a GL( n , R ) en lugar de G ⊂ GL( n , R ) arbitrario importa poco.

Prueba del lema clave

Comenzamos estableciendo el lema clave enunciado en la sección “descripción general” anterior.

Dote a g de un producto interno (por ejemplo, el producto interno de Hilbert–Schmidt ), y sea h el álgebra de Lie de H definida como h = { X ∈ M _n ( R ) = g | e ^tX ∈ H ∀ t ∈ R } . Sea s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h } , el complemento ortogonal de h . Entonces g se descompone como la suma directa g = s ⊕ h , por lo que cada X ∈ g se expresa de forma única como X = S + T con S ∈ s , T ∈ h .

Defina una función Φ : g → GL( n , R ) por ( S , T ) ↦ e ^S e ^T . Desarrolle las exponenciales y el empuje hacia adelante o diferencial en 0 , Φ _∗ ( S , T ) = ⁠ $${\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),}$$d/es⁠ Φ( tS , tT ) | _{t = 0} se ve que es S + T , es decir Φ _∗ = Id , la identidad. La hipótesis del teorema de la función inversa se satisface con Φ analítica, y por lo tanto hay conjuntos abiertos U ₁ ⊂ g , ​​V ₁ ⊂ GL( n , R ) con 0 ∈ U ₁ e I ∈ V ₁ tales que Φ es unabiyección real-analítica de U ₁ a V ₁ con inversa analítica. Queda por demostrar que U ₁ y V ₁ contienen conjuntos abiertos U y V tales que la conclusión del teorema se cumple.

Considérese una base de vecindad contable Β en 0 ∈ g , ordenada linealmente por inclusión inversa con B ₁ ⊂ U ₁ . ^[a] Supóngase con el propósito de obtener una contradicción que para todo i , Φ( B _i ) ∩ H contiene un elemento h _i que no está en la forma h _i = e ^{T _i} , T _i ∈ h . Entonces, como Φ es una biyección en B _i , hay una secuencia única X _i = S _i + T _i , con 0 ≠ S _i ∈ s y T _i ∈ h tal que X _i ∈ B _i converge a 0 porque Β es una base de vecindad, con e ^{S _i} e ^{T _i} = h _i . Como e ^{T _i} ∈ H y h _i ∈ H , e ^{S _i} ∈ H también.

Normalizar la secuencia en s , Y _i = ⁠Sí _yo/|| Si ||_​⁠ . Toma sus valores en la esfera unidad en s y como es compacta , hay una subsucesión convergente que converge a Y ∈ s . ^[26] El índice i de aquí en adelante se refiere a esta subsucesión. Se mostrará que e ^tY ∈ H , ∀ t ∈ R . Fijemos t y elijamos una sucesión m _i de enteros tales que m _i || S _i || → t cuando i → ∞ . Por ejemplo, m _i tal que m _i || S _i || ≤ t ≤ ( m _i + 1) || S _i || servirá, cuando S _i → 0 . Entonces $${\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}$$

Como H es un grupo, el lado izquierdo está en H para todo i . Como H es cerrado, e ^tY ∈ H , ∀ t , ^[27] por lo tanto Y ∈ h . Esto es una contradicción. Por lo tanto, para algún i los conjuntos U = Β _i y V = Φ(Β _i ) satisfacen e ^{U ∩ h} = H ∩ V y la exponencial restringida al conjunto abierto ( U ∩ h ) ⊂ h está en biyección analítica con el conjunto abierto Φ( U ) ∩ H ⊂ H . Esto demuestra el lema.

Prueba del teorema

Para j ≥ i , la imagen en H de B _j bajo Φ forma una base de vecindad en I . Esta es, por la forma en que está construida, una base de vecindad tanto en la topología de grupo como en la topología relativa . Como la multiplicación en G es analítica, las traslaciones izquierda y derecha de esta base de vecindad por un elemento de grupo g ∈ G dan una base de vecindad en g . Estas bases restringidas a H dan bases de vecindad en todos los h ∈ H . La topología generada por estas bases es la topología relativa. La conclusión es que la topología relativa es la misma que la topología de grupo.

A continuación, construya gráficos de coordenadas en H . Primero defina φ ₁  : e ^{( U )} ⊂ G → g , g ↦ log( g ) . Esta es una biyección analítica con inversa analítica. Además, si h ∈ H , entonces φ ₁ ( h ) ∈ h . Al fijar una base para g = h ⊕ s e identificar g con R ⁿ , entonces en estas coordenadas φ ₁ ( h ) = ( x ₁ ( h ), ..., x _m ( h ), 0, ..., 0) , donde m es la dimensión de h . Esto muestra que ( e ^U , φ ₁ ) es un gráfico de rebanadas . Al traducir los gráficos obtenidos a partir de la base de vecindad contable utilizada anteriormente, se obtienen gráficos de rebanadas alrededor de cada punto en H . Esto muestra que H es una subvariedad incrustada de G .

Además, la multiplicación m y la inversión i en H son analíticas ya que estas operaciones son analíticas en G y la restricción a una subvariedad (incrustada o inmersa) con la topología relativa nuevamente produce operaciones analíticas m  : H × H → G e i  : H × H → G . ^[28] Pero como H está incrustada, m  : H × H → H e i  : H × H → H también son analíticas. ^[29]

Véase también

• Teorema de la función inversa
• Correspondencia de mentiras

Notas

1. Para esto se pueden elegir bolas abiertas, Β = { B _k | diam( B _k ) = ⁠1/k + m⁠ , k ∈ N } para algún m suficientemente grandetal que B ₁ ⊂ U ₁ . Aquí se utiliza la métrica obtenida del producto interno de Hilbert-Schmidt.

Citas

1. Lee 2003, Teorema 20.10. Lee enuncia y demuestra este teorema con toda generalidad.
2. Rossmann 2002, Teorema 1, Sección 2.7 Rossmann enuncia el teorema para grupos lineales. El enunciado es que existe un subconjunto abierto U ⊂ g tal que U × H → G , ( X , H ) → e ^X H es una biyección analítica sobre un entorno abierto de H en G .
3. Hall 2015, Para grupos lineales, Hall demuestra un resultado similar en el Corolario 3.45.
4. Cartan 1930, § 26.
5. von Neumann 1929.
6. Bochner 1958.
7. Hall 2015, Teorema 3.20.
8. Hall 2015, Teorema 3.42.
9. Lee 2003, Capítulo 5.
10. Rossmann 2002, Capítulo 2, Proposición 1 y Corolario 7.
11. Rossmann 2002, Sección 2.3.
12. Lee 2003, Ejemplo 7.3.
13. Rossmann 2002, Véase el comentario al Corolario 5, Sección 2.2.
14. Rossmann 2002.
15. Eg Hall 2015. Véase la definición en el Capítulo 1.
16. Hall 2015, Corolario 3.45.
17. Rossmann 2002, Problema 1. Sección 2.7.
18. Rossmann 2002, Problema 3. Sección 2.7.
19. Rossmann 2002, Problema 4. Sección 2.7.
20. Rossmann 2002, Problema 5. Sección 2.7.
21. Hall 2015, El resultado se desprende del Teorema 5.6.
22. Hall 2015, Ejercicio 14 en el Capítulo 5.
23. Lee 2003, Corolario 15.30.
24. Rossmann 2002, Problema 2. Sección 2.7.
25. Véase por ejemplo Lee 2003 Capítulo 21
26. Willard 1970, Por el problema 17G, s es secuencialmente compacto, lo que significa que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
27. Willard 1970, Corolario 10.5.
28. Lee 2003, Proposición 8.22.
29. Lee 2003, Corolario 8.25.

Referencias

• Bochner, S. (1958), "John von Neumann 1903–1957" (PDF) , Memorias biográficas de la Academia Nacional de Ciencias : 438–456. Véase en particular la pág. 441.
• Cartan, Élie (1930), "La théorie des groupes finis et continus et l' Análisis Situs ", Mémorial Sc. Matemáticas. , vol. XLII, págs. 1–61
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• von Neumann, John (1929), "Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 30 (1): 3–42, doi :10.1007/BF01187749, S2CID  122565679
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Dover Publications, ISBN 0-486-43479-6