Flujo lineal en el toro

En matemáticas , especialmente en el área de análisis matemático conocida como teoría de sistemas dinámicos , un flujo lineal en el toro es un flujo en el toro n -dimensional que está representado por las siguientes ecuaciones diferenciales con respecto a las coordenadas angulares estándar. $${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$$ ${\displaystyle \left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right):}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\omega _{1},\quad {\frac {d\theta _{2}}{dt}}=\omega _{2},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\theta _{n}}{dt}}=\omega _{n}.}$$

La solución de estas ecuaciones se puede expresar explícitamente como $${\displaystyle \Phi _{\omega }^{t}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})=(\theta _{1}+\omega _{1}t,\theta _{2}+\omega _{2}t,\dots ,\theta _{n}+\omega _{n}t){\bmod {2}}\pi .}$$

Si representamos el toro como vemos que un punto de partida es movido por el flujo en la dirección a velocidad constante y cuando llega al borde del cubo unitario salta a la cara opuesta del cubo. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega =\left(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\right)}$ ${\displaystyle n}$

Rotación irracional en un toro de 2 ejes

Para un flujo lineal en el toro, todas las órbitas son periódicas o todas las órbitas son densas en un subconjunto del -toro que es un -toro. Cuando los componentes de son racionalmente independientes, todas las órbitas son densas en todo el espacio. Esto se puede ver fácilmente en el caso bidimensional: si los dos componentes de son racionalmente independientes, entonces la sección de Poincaré del flujo en un borde del cuadrado unitario es una rotación irracional en un círculo y, por lo tanto, sus órbitas son densas en el círculo; como consecuencia, las órbitas del flujo deben ser densas en el toro. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Bobinado irracional de un toro

En topología , un bobinado irracional de un toro es una inyección continua de una línea en un toro bidimensional que se utiliza para configurar varios contraejemplos. ^[1] Una noción relacionada es la foliación de Kronecker de un toro, una foliación formada por el conjunto de todas las traducciones de un bobinado irracional dado.

Definición

Una forma de construir un toro es como el espacio cociente de un espacio vectorial real bidimensional por el subgrupo aditivo de vectores enteros, con la proyección correspondiente Cada punto en el toro tiene como preimagen una de las traslaciones de la red cuadrada en y se factoriza a través de una función que lleva cualquier punto en el plano a un punto en el cuadrado unitario dado por las partes fraccionarias de las coordenadas cartesianas del punto original. Ahora considere una línea en dada por la ecuación Si la pendiente de la línea es racional , entonces puede representarse por una fracción y un punto reticular correspondiente de Se puede demostrar que entonces la proyección de esta línea es una curva cerrada simple sobre un toro. Sin embargo, si es irracional , entonces no cruzará ningún punto reticular excepto 0, lo que significa que su proyección sobre el toro no será una curva cerrada, y la restricción de sobre esta línea es inyectiva . Además, se puede demostrar que la imagen de esta proyección restringida como un subespacio, llamado el devanado irracional de un toro, es densa en el toro. ${\displaystyle \mathbb {T^{2}} =\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {T^{2}} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle [0,1)^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=kx.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi }$

Aplicaciones

Los devanados irracionales de un toro pueden usarse para establecer contraejemplos relacionados con los monomorfismos . Un devanado irracional es una subvariedad inmersa pero no una subvariedad regular del toro, lo que demuestra que la imagen de una variedad bajo una inyección continua en otra variedad no es necesariamente una subvariedad (regular). ^[2] Los devanados irracionales también son ejemplos del hecho de que la topología de la subvariedad no tiene por qué coincidir con la topología del subespacio de la subvariedad. ^[2]

En segundo lugar, el toro puede considerarse como un grupo de Lie , y la línea puede considerarse como . Entonces es fácil demostrar que la imagen del homomorfismo de grupo continuo y analítico no es una subvariedad regular para irracionales ^{[2] [3]} aunque es una subvariedad inmersa y, por lo tanto, un subgrupo de Lie. También puede usarse para demostrar que si un subgrupo del grupo de Lie no es cerrado, el cociente no necesita ser una variedad ^[4] e incluso podría no ser un espacio de Hausdorff . ${\displaystyle U(1)\times U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left(e^{ix},e^{ikx}\right)}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Véase también

• Sistema completamente integrable  – Propiedad de ciertos sistemas dinámicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría ergódica  : Rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos.
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Movimiento cuasiperiódico  : tipo de movimiento que es aproximadamente periódico.
• Nudo toroidal  : Nudo que se encuentra en la superficie de un toro en el espacio tridimensional.

Notas

^  a:  Como subespacio topológico del toro, el devanado irracional no es una variedad en absoluto, porque no es localmente homeomorfo a. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Referencias

1. DP Zhelobenko (enero de 1973). Grupos de Lie compactos y sus representaciones. ISBN 9780821886649.
2. Loring W. Tu (2010). Introducción a las variedades . Springer. pp. 168. ISBN 978-1-4419-7399-3.
3. Cap, Andreas; Slovák, Jan (2009), Geometrías parabólicas: antecedentes y teoría general, AMS, p. 24, ISBN 978-0-8218-2681-2
4. Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, p. 146, ISBN 0-387-94732-9

Bibliografía

• Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.