Espacio cociente (topología)

Construcción del espacio topológico

Ilustración de la construcción de una esfera topológica como espacio cociente de un disco , pegando en un único punto los puntos (en azul) del límite del disco.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el espacio cociente de un espacio topológico bajo una relación de equivalencia dada es un nuevo espacio topológico construido dotando al conjunto cociente del espacio topológico original con la topología cociente , es decir, con la topología más fina que hace continua la función de proyección canónica (la función que mapea puntos a sus clases de equivalencia ). En otras palabras, un subconjunto de un espacio cociente es abierto si y solo si su preimagen bajo la función de proyección canónica es abierta en el espacio topológico original.

Intuitivamente hablando, los puntos de cada clase de equivalencia se identifican o se "pegan" para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, al identificar los puntos de una esfera que pertenecen al mismo diámetro, se obtiene el plano proyectivo como un espacio cociente.

Definición

Sea un espacio topológico , y sea una relación de equivalencia en El conjunto cociente es el conjunto de clases de equivalencia de elementos de La clase de equivalencia de se denota ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x].}$

La construcción de define una sobreyección canónica . Como se analiza a continuación, es una aplicación cociente, comúnmente llamada mapa cociente canónico o mapa de proyección canónica, asociada a ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle q:X\ni x\mapsto [x]\in Y.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X/{\sim }.}$

El espacio cociente bajo es el conjunto dotado de la topología cociente , cuyos conjuntos abiertos son aquellos subconjuntos cuya preimagen es abierta . En otras palabras, es abierto en la topología cociente en si y sólo si es abierto en De manera similar, un subconjunto es cerrado si y sólo si es cerrado en ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle U\subseteq Y}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$ ${\displaystyle X.}$

La topología cociente es la topología final en el conjunto cociente, con respecto al mapa. ${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Mapa de cocientes

Una función es una función cociente (a veces llamada función de identificación ^[1] ) si es sobreyectiva y está equipada con la topología final inducida por La última condición admite dos formulaciones más elementales: un subconjunto es abierto (cerrado) si y solo si es abierto (resp. cerrado). Toda función cociente es continua, pero no toda función continua es una función cociente. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Conjuntos saturados

Un subconjunto de se llama saturado (con respecto a ) si es de la forma para algún conjunto que es verdadero si y solo si La asignación establece una correspondencia biunívoca (cuyo inverso es ) entre subconjuntos de y subconjuntos saturados de Con esta terminología, una sobreyección es una función cociente si y solo si para cada subconjunto saturado de es abierto en si y solo si es abierto en En particular, los subconjuntos abiertos de que no están saturados no tienen impacto en si la función es una función cociente (o, de hecho, continua: una función es continua si y solo si, para cada saturado tal que es abierto en , el conjunto es abierto en ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ ${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle S\mapsto f(S)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y=f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\textstyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\textstyle f(X)}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X}$

De hecho, si es una topología en y es cualquier mapa, entonces el conjunto de todos los que son subconjuntos saturados de forma una topología en Si es también un espacio topológico entonces es un mapa cociente (respectivamente, continuo ) si y sólo si lo mismo es cierto de ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$ ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Caracterización del espacio cociente de fibras

Dada una relación de equivalencia en denote la clase de equivalencia de un punto por y sea denotado el conjunto de clases de equivalencia. La función que envía puntos a sus clases de equivalencia (es decir, está definida por para cada ) se llama función canónica . Es una función sobreyectiva y para todos si y solo si en consecuencia, para todos En particular, esto muestra que el conjunto de la clase de equivalencia es exactamente el conjunto de fibras de la función canónica Si es un espacio topológico entonces al dar la topología cociente inducida por lo convertirá en un espacio cociente y hará en una función cociente. Hasta un homeomorfismo , esta construcción es representativa de todos los espacios cocientes; ahora se explica el significado preciso de esto. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$ ${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle q(a)=q(b);}$ ${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$

Sea una sobreyección entre espacios topológicos (aún no asumidos como continuos o una función cociente) y declare para todos que si y solo si Entonces es una relación de equivalencia en tal que para cada lo que implica que (definido por ) es un conjunto singleton ; denote el elemento único en por (entonces por definición, ). La asignación define una biyección entre las fibras de y puntos en Defina la función como arriba (por ) y dé la topología cociente inducida por (lo que hace una función cociente). Estas funciones están relacionadas por: De esto y del hecho de que es una función cociente, se sigue que es continua si y solo si esto es cierto para Además, es una función cociente si y solo si es un homeomorfismo (o equivalentemente, si y solo si ambos y su inverso son continuos). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$ ${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Definiciones relacionadas

ALa función cociente hereditaria es una función sobreyectivacon la propiedad de que para cada subconjuntola restricciónes también una función cociente. Existen funciones cociente que no son cocientes hereditarias. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$

Ejemplos

• Pegado . Los topólogos hablan de pegar puntos entre sí. Si es un espacio topológico, pegar los puntos y en significa considerar el espacio cociente obtenido a partir de la relación de equivalencia si y solo si o (o ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=x,b=y}$ ${\displaystyle a=y,b=x}$
• Consideremos el cuadrado unitario y la relación de equivalencia ~ generada por el requisito de que todos los puntos límite sean equivalentes, identificando así todos los puntos límite con una única clase de equivalencia. Entonces es homeomorfo a la esfera ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle I^{2}/\sim }$ ${\displaystyle S^{2}.}$

Por ejemplo, es homeomorfo al círculo ${\displaystyle [0,1]/\{0,1\}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

• Espacio de adjunción . En términos más generales, supongamosque es un espacio yes un subespacio deSe pueden identificar todos los puntos enuna única clase de equivalencia y dejar los puntos fuera deequivalentes solo a ellos mismos. El espacio cociente resultante se denotaLa 2-esfera es homeomorfa a un disco cerrado con su límite identificado a un único punto: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X/A.}$ ${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• Considere el conjunto de números reales con la topología ordinaria y escriba si y solo si es un entero . Entonces el espacio cociente es homeomorfo al círculo unitario a través del homeomorfismo que envía la clase de equivalencia de a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• Una generalización del ejemplo anterior es la siguiente: Supóngase que un grupo topológico actúa continuamente sobre un espacio Se puede formar una relación de equivalencia sobre diciendo que los puntos son equivalentes si y solo si se encuentran en la misma órbita . El espacio cociente bajo esta relación se llama espacio de órbitas , denotado En el ejemplo anterior actúa sobre por traslación. El espacio de órbitas es homeomorfo a ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/G.}$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}.}$
  • Nota : La notación es algo ambigua. Si se entiende que es un grupo que actúa sobre mediante la adición, entonces el cociente es el círculo. Sin embargo, si se piensa que es un subespacio topológico de (que se identifica como un único punto), entonces el cociente (que es identificable con el conjunto ) es un ramo infinito numerable de círculos unidos en un único punto. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Este siguiente ejemplo muestra que en general no es cierto que si es una función cociente entonces cada secuencia convergente (respectivamente, cada red convergente ) en tiene una elevación (por ) a una secuencia convergente (o red convergente ) en Sea y Sea y sea la función cociente de modo que y para cada La función definida por está bien definida (porque ) y un homeomorfismo . Sea y sea cualquier secuencia (o más generalmente, cualquier red) valorada en tal que en Entonces la secuencia converge a en pero no existe ninguna elevación convergente de esta secuencia por la función cociente (es decir, no hay ninguna secuencia en que ambas converjan a algún y satisfagan para cada ). Este contraejemplo se puede generalizar a las redes dejando cualquier conjunto dirigido , y convirtiéndolo en una red declarando que para cualquier se cumple si y solo si tanto (1) como (2) si entonces la red indexada definida dejando igual e igual a no tiene elevación (por ) a una red indexada convergente en ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$ ${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x],}$ ${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$ ${\displaystyle q(x)=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in (0,1).}$ ${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$ ${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$ $${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$ ${\displaystyle [0]=[1]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$ ${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$ ${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y_{(a,m)}}$ ${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$ ${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$

Propiedades

Los mapas cocientes se caracterizan entre los mapas sobreyectivos por la siguiente propiedad: si es cualquier espacio topológico y es cualquier función, entonces es continua si y sólo si es continua. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:Y\to Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ q}$

Propiedad característica de la topología cociente

El espacio cociente junto con la función cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal : si es una función continua tal que implica para todo entonces existe una única función continua tal que En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$ ${\displaystyle g=f\circ q.}$

Se dice que se desciende al cociente para expresar esto, es decir que se factoriza a través del espacio cociente. Las funciones continuas definidas en son, por tanto, precisamente aquellas funciones que surgen de funciones continuas definidas en que respetan la relación de equivalencia (en el sentido de que envían elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio se utiliza profusamente al estudiar espacios cocientes. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$

Dada una sobreyección continua, es útil tener criterios mediante los cuales se pueda determinar si es una función cociente. Dos criterios suficientes son que sea abierta o cerrada . Nótese que estas condiciones son solo suficientes , no necesarias . Es fácil construir ejemplos de funciones cocientes que no sean ni abiertas ni cerradas. Para los grupos topológicos, la función cociente es abierta. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Compatibilidad con otras nociones topológicas

Separación

• En general, los espacios cocientes se comportan mal con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación de no necesitan ser heredadas por y pueden tener propiedades de separación no compartidas por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle X/{\sim }}$es un espacio T1 si y sólo si cada clase de equivalencia de está cerrada en ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X.}$
• Si el mapa cociente es abierto , entonces es un espacio de Hausdorff si y sólo si ~ es un subconjunto cerrado del espacio del producto ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X\times X.}$

Conectividad

• Si un espacio es conexo o conexo por trayectorias , entonces también lo son todos sus espacios cocientes.
• Un espacio cociente de un espacio simplemente conexo o contráctil no necesita compartir esas propiedades.

Compacidad

• Si un espacio es compacto, entonces también lo son todos sus espacios cocientes.
• Un espacio cociente de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto.

Dimensión

• La dimensión topológica de un espacio cociente puede ser mayor (o menor) que la dimensión del espacio original; las curvas que llenan el espacio proporcionan tales ejemplos.

Véase también

Topología

• Espacio de cobertura  – Tipo de mapa continuo en topología
• Unión disjunta (topología)  : espacio formado al equipar la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjuntaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Cono de mapeo (topología)  : construcción topológicaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de productos  – Topología sobre productos cartesianos de espacios topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Subespacio (topología)  – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio topológico  – Espacio matemático con noción de cercanía

Álgebra

• Categoría de cociente
• Grupo cociente  : Grupo que se obtiene al agregar elementos similares de un grupo más grande.
• Espacio cociente (álgebra lineal)  : espacio vectorial que consta de subconjuntos afines
• Cono de mapeo (álgebra homológica)  – Herramienta en álgebra homológica

Notas

1. Brown 2006, pág. 103.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Brown, Ronald (2006), Topología y grupoides, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de pregrado en matemáticas. Traducido por Berberian, SK. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90972-1.OCLC 10277303  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1.OCLC 338047  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6.