En matemáticas , una subvariedad de una variedad es un subconjunto que tiene la estructura de una variedad y para el cual la función de inclusión satisface ciertas propiedades. Existen diferentes tipos de subvariedades según las propiedades que se requieran. Diferentes autores suelen tener definiciones diferentes.
En lo que sigue suponemos que todas las variedades son variedades diferenciables de clase para un fijo , y todos los morfismos son diferenciables de clase .
Una subvariedad sumergida de una variedad es la imagen de un mapa de inmersión ; en general, esta imagen no será una subvariedad como subconjunto, y un mapa de inmersión ni siquiera necesita ser inyectivo (uno a uno) – puede tener autointersecciones. [1]
En términos más específicos, se puede requerir que el mapa sea una inyección (uno a uno), en lo que lo llamamos una inmersión inyectiva , y definir una subvariedad inmersa como el subconjunto imagen junto con una topología y estructura diferencial tal que es una variedad y la inclusión es un difeomorfismo : esta es solo la topología en , que en general no estará de acuerdo con la topología del subconjunto: en general, el subconjunto no es una subvariedad de , en la topología del subconjunto.
Dada cualquier inmersión inyectiva, la imagen de in puede tener de manera única la estructura de una subvariedad inmersa, de modo que es un difeomorfismo . De ello se deduce que las subvariedades inmersas son precisamente las imágenes de inmersiones inyectivas.
La topología de subvariedad en una subvariedad inmersa no necesita ser necesariamente la topología de subespacio heredada de . En general, será más fina que la topología de subespacio (es decir, tendrá más conjuntos abiertos ).
Las subvariedades inmersas aparecen en la teoría de grupos de Lie , donde los subgrupos de Lie son subvariedades inmersas de forma natural. También aparecen en el estudio de foliaciones , donde las subvariedades inmersas proporcionan el contexto adecuado para demostrar el teorema de Frobenius .
Una subvariedad incrustada (también llamada subvariedad regular ) es una subvariedad inmersa cuyo mapa de inclusión es una incrustación topológica . Es decir, la topología de la subvariedad en es la misma que la topología del subespacio.
Dado que cualquier incrustación de una variedad en la imagen tiene naturalmente la estructura de una subvariedad incrustada, es decir, las subvariedades incrustadas son precisamente las imágenes de incrustaciones.
Existe una definición intrínseca de una subvariedad incrustada que suele ser útil. Sea una variedad -dimensional, y sea un entero tal que . Una subvariedad incrustada -dimensional de es un subconjunto tal que para cada punto existe un gráfico que contiene tal que es la intersección de un plano -dimensional con . Los pares forman un atlas para la estructura diferencial en .
El teorema de Alexander y el teorema de Jordan-Schoenflies son buenos ejemplos de incrustaciones suaves.
Existen otras variaciones de subvariedades utilizadas en la literatura. Una subvariedad ordenada es una variedad cuyo límite coincide con el límite de la variedad completa. [2] Sharpe (1997) define un tipo de subvariedad que se encuentra en algún punto entre una subvariedad incrustada y una subvariedad sumergida.
Muchos autores también definen subvariedades topológicas. Estas son las mismas subvariedades con . [3] Una subvariedad topológica incrustada no es necesariamente regular en el sentido de la existencia de un gráfico local en cada punto que extiende la incrustación. Los contraejemplos incluyen arcos salvajes y nudos salvajes .
Dada cualquier subvariedad inmersa de , el espacio tangente a un punto en puede naturalmente considerarse como un subespacio lineal del espacio tangente a en . Esto se desprende del hecho de que la función de inclusión es una inmersión y proporciona una inyección
Supóngase que S es una subvariedad inmersa de . Si la función de inclusión es cerrada , entonces es en realidad una subvariedad incrustada de . A la inversa, si es una subvariedad incrustada que también es un subconjunto cerrado , entonces la función de inclusión es cerrada. La función de inclusión es cerrada si y solo si es una función propia (es decir, las imágenes inversas de conjuntos compactos son compactas). Si es cerrada, entonces se denomina subvariedad incrustada cerrada de . Las subvariedades incrustadas cerradas forman la clase más agradable de subvariedades.
Las variedades lisas se definen a veces como subvariedades incrustadas del espacio de coordenadas real , para algún . Este punto de vista es equivalente al enfoque abstracto habitual, porque, por el teorema de incrustación de Whitney , cualquier variedad lisa (abstracta) de segundo orden contable puede incrustarse de manera lisa en .
