Topología del subespacio

Topología heredada

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un subespacio de un espacio topológico X es un subconjunto S de X que está equipado con una topología inducida a partir de la de X llamada topología del subespacio ^[1] (o topología relativa , ^[1] o topología inducida , ^[1] o topología de traza ). ^[2]

Definición

Dado un espacio topológico y un subconjunto de , la topología del subespacio en se define por ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

Es decir, un subconjunto de está abierto en la topología de subespacios si y solo si es la intersección de con un conjunto abierto en . Si está equipado con la topología de subespacios, entonces es un espacio topológico por derecho propio y se denomina subespacio de . Por lo general, se supone que los subconjuntos de espacios topológicos están equipados con la topología de subespacios a menos que se indique lo contrario. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Alternativamente, podemos definir la topología del subespacio para un subconjunto de como la topología más burda para la cual se utiliza el mapa de inclusión. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

es continua​

En términos más generales, supongamos que es una inyección de un conjunto a un espacio topológico . Entonces, la topología del subespacio en se define como la topología más burda para la cual es continua. Los conjuntos abiertos en esta topología son precisamente los de la forma para abierto en . es entonces homeomorfo a su imagen en (también con la topología del subespacio) y se llama incrustación topológica . ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \iota }$

Un subespacio se denomina subespacio abierto si la inyección es una función abierta , es decir, si la imagen hacia delante de un conjunto abierto de es abierta en . Asimismo, se denomina subespacio cerrado si la inyección es una función cerrada . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \iota }$

Terminología

La distinción entre un conjunto y un espacio topológico a menudo se difumina en la notación, por conveniencia, lo que puede ser una fuente de confusión cuando uno se encuentra por primera vez con estas definiciones. Por lo tanto, siempre que es un subconjunto de , y es un espacio topológico, entonces los símbolos sin adornos " " y " " a menudo se pueden usar para referirse tanto a como considerados como dos subconjuntos de , y también a y como los espacios topológicos, relacionados como se discutió anteriormente. Por lo tanto, frases como " un subespacio abierto de " se usan para significar que es un subespacio abierto de , en el sentido utilizado anteriormente; es decir: (i) ; y (ii) se considera que está dotado de la topología del subespacio. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (S,\tau _{S})}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (S,\tau _{S})}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

A continuación se representan los números reales con su topología habitual. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• La topología del subespacio de los números naturales , como subespacio de , es la topología discreta . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números racionales considerados como un subespacio de no tienen la topología discreta ({0} por ejemplo no es un conjunto abierto en porque no hay ningún subconjunto abierto de cuya intersección con pueda dar como resultado únicamente el singleton {0}). Si a y b son racionales, entonces los intervalos ( a , b ) y [ a , b ] son ​​respectivamente abiertos y cerrados, pero si a y b son irracionales, entonces el conjunto de todos los x racionales con a < x < b es a la vez abierto y cerrado. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• El conjunto [0,1] como subespacio de es a la vez abierto y cerrado, mientras que como subconjunto de él es solamente cerrado. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Como subespacio de , [0, 1] ∪ [2, 3] está compuesto de dos subconjuntos abiertos disjuntos (que también son cerrados) y, por lo tanto, es un espacio desconectado . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Sea S = [0, 1) un subespacio de la recta real . Entonces [0, 1 ⁄ 2 ) es abierto en S pero no en (como por ejemplo la intersección entre (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) y S resulta en [0, 1 ⁄ 2 )). Asimismo, [ 1 ⁄ 2 , 1) es cerrado en S pero no en (ya que no hay ningún subconjunto abierto de que pueda intersecar con [0, 1) para resultar en [ 1 ⁄ 2 , 1)). S es tanto abierto como cerrado como un subconjunto de sí mismo pero no como un subconjunto de . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades

La topología de subespacios tiene la siguiente propiedad característica. Sea un subespacio de y sea la función de inclusión. Entonces, para cualquier espacio topológico, una función es continua si y solo si la función compuesta es continua. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Y\to X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:Z\to Y}$ ${\displaystyle i\circ f}$

Propiedad característica de la topología del subespacio

Esta propiedad es característica en el sentido de que puede utilizarse para definir la topología del subespacio en . ${\displaystyle Y}$

Enumeramos algunas propiedades adicionales de la topología de subespacios. En el siguiente ejemplo, sea un subespacio de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• Si es continua entonces la restricción a es continua. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$
• Si es continua entonces es continua. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$
• Los conjuntos cerrados en son precisamente las intersecciones de con conjuntos cerrados en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un subespacio de entonces también es un subespacio de con la misma topología. En otras palabras, la topología del subespacio que hereda de es la misma que la que hereda de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Supongamos que es un subespacio abierto de (por lo que ). Entonces un subconjunto de es abierto en si y solo si es abierto en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Supongamos que es un subespacio cerrado de (por lo que ). Entonces un subconjunto de es cerrado en si y solo si es cerrado en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Si es una base para entonces es una base para . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$ ${\displaystyle S}$
• La topología inducida en un subconjunto de un espacio métrico al restringir la métrica a este subconjunto coincide con la topología del subespacio para este subconjunto.

Preservación de propiedades topológicas

Si un espacio topológico que tiene alguna propiedad topológica implica que sus subespacios tienen esa propiedad, entonces decimos que la propiedad es hereditaria . Si solo los subespacios cerrados deben compartir la propiedad, lo llamamos débilmente hereditario .

• Todo subespacio abierto y todo subespacio cerrado de un espacio completamente metrizable es completamente metrizable.
• Cada subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.
• Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.
• Ser un espacio Hausdorff es hereditario.
• Ser un espacio normal es débilmente hereditario.
• La limitación total es hereditaria.
• Estar totalmente desconectado es hereditario.
• La primera y la segunda contabilidad son hereditarias.

Véase también

• El espacio cociente de la noción dual
• topología del producto
• topología de suma directa

Notas

1. tom Dieck, Tammo (2008), Topología algebraica, EMS Textbooks in Mathematics, Sociedad Matemática Europea (EMS), Zúrich, pág. 5, doi :10.4171/048, ISBN 978-3-03719-048-7, Sr.  2456045
2. Pinoli, Jean-Charles (junio de 2014), "El marco geométrico y topológico", Fundamentos matemáticos del procesamiento y análisis de imágenes 2 , Wiley, págs. 57-69, doi :10.1002/9781118984574.ch26, ISBN 9781118984574; véase la Sección 26.2.4. Subvariedades, pág. 59

Referencias

• Bourbaki, Nicolas , Elementos de matemáticas: topología general , Addison-Wesley (1966)
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446
• Willard, Stephen. Topología general , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6