Variedad analítica

En matemáticas , una variedad analítica , también conocida como variedad, es una variedad diferenciable con mapas de transición analíticos . ^[1] El término generalmente se refiere a variedades analíticas reales, aunque las variedades complejas también son analíticas. ^[2] En geometría algebraica, los espacios analíticos son una generalización de las variedades analíticas tales que se permiten singularidades. ${\displaystyle C^{\omega }}$

Para , el espacio de funciones analíticas, , consta de funciones infinitamente diferenciables , tales que la serie de Taylor ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\omega }(U)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T_{f}(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x_{0}} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )^{\alpha }}$

converge a en un entorno de , para todo . El requisito de que las aplicaciones de transición sean analíticas es significativamente más restrictivo que el de que sean infinitamente diferenciables; las variedades analíticas son un subconjunto propio de las suaves , es decir , las variedades. ^[1] Hay muchas similitudes entre la teoría de las variedades analíticas y suaves, pero una diferencia crítica es que las variedades analíticas no admiten particiones analíticas de la unidad, mientras que las particiones suaves de la unidad son una herramienta esencial en el estudio de las variedades suaves. ^[3] Se puede encontrar una descripción más completa de las definiciones y la teoría general en variedades diferenciables , para el caso real, y en variedades complejas , para el caso complejo. ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} \in U}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Véase también

• Variedad compleja
• Variedad analítica
• Geometría algebraica § Geometría analítica

Referencias

1. Varadarajan, VS (1984), Varadarajan, VS (ed.), "Variedades analíticas y diferenciables", Grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 102, Springer, págs. 1–40, doi :10.1007/978-1-4612-1126-6_1, ISBN 978-1-4612-1126-6
2. Vaughn, Michael T. (2008), Introducción a la física matemática, John Wiley & Sons, pág. 98, ISBN 9783527618866.
3. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades . Universitext. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6. ISBN 978-1-4419-7399-3.