Infinidad

Concepto matemático

Debido al constante reflejo de la luz entre espejos opuestos , parece que hay una cantidad ilimitada de espacio y repetición dentro de ellos.

El infinito es algo que es ilimitado, infinito o más grande que cualquier número natural . A menudo se indica con el símbolo de infinito . ${\displaystyle \infty }$

Desde la época de los antiguos griegos , la naturaleza filosófica del infinito ha sido objeto de muchas discusiones entre los filósofos. En el siglo XVII, con la introducción del símbolo del infinito ^[1] y el cálculo infinitesimal , los matemáticos comenzaron a trabajar con series infinitas y lo que algunos matemáticos (incluidos L'Hôpital y Bernoulli ) ^[2] consideraban cantidades infinitamente pequeñas, pero infinitas. siguió estando asociado a procesos interminables. Mientras los matemáticos luchaban con los fundamentos del cálculo , no estaba claro si el infinito podía considerarse como un número o una magnitud y, de ser así, cómo podía hacerse. ^[1] A finales del siglo XIX, Georg Cantor amplió el estudio matemático del infinito estudiando conjuntos infinitos y números infinitos , demostrando que pueden ser de varios tamaños. ^{[1] [3]} Por ejemplo, si una línea se ve como el conjunto de todos sus puntos, su número infinito (es decir, la cardinalidad de la línea) es mayor que el número de números enteros . ^[4] En este uso, el infinito es un concepto matemático, y infinitos objetos matemáticos pueden estudiarse, manipularse y usarse como cualquier otro objeto matemático.

El concepto matemático de infinito refina y amplía el antiguo concepto filosófico, en particular al introducir infinitos tamaños diferentes de conjuntos infinitos. Entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , sobre los que se puede desarrollar la mayor parte de las matemáticas modernas, se encuentra el axioma del infinito , que garantiza la existencia de conjuntos infinitos. ^[1] El concepto matemático de infinito y la manipulación de conjuntos infinitos son ampliamente utilizados en matemáticas, incluso en áreas como la combinatoria que puede parecer que no tienen nada que ver con ellos. Por ejemplo, la demostración de Wiles del último teorema de Fermat se basa implícitamente en la existencia de universos de Grothendieck , conjuntos infinitos muy grandes, ^[5] para resolver un problema de larga data planteado en términos de aritmética elemental .

En física y cosmología , si el universo es espacialmente infinito es una cuestión abierta.

Historia

Las culturas antiguas tenían varias ideas sobre la naturaleza del infinito. Los antiguos indios y los griegos no definieron el infinito con un formalismo preciso como lo hacen las matemáticas modernas, sino que lo abordaron como un concepto filosófico.

Griego temprano

La idea más antigua registrada del infinito en Grecia puede ser la de Anaximandro (c. 610 – c. 546 a. C.), un filósofo griego presocrático . Usó la palabra apeiron , que significa "ilimitado", "indefinido", y quizás pueda traducirse como "infinito". ^{[dieciséis ]}

Aristóteles (350 a. C.) distinguía el infinito potencial del infinito real , que consideraba imposible debido a las diversas paradojas que parecía producir. ^[7] Se ha argumentado que, de acuerdo con este punto de vista, los griegos helenísticos tenían un "horror al infinito" ^{[8] [9]} lo que explicaría, por ejemplo, por qué Euclides (c. 300 a. C.) no dijo que hay una infinidad de números primos, sino que "los números primos son más que cualquier multitud de números primos asignados". ^[10] También se ha sostenido que, al demostrar la infinitud de los números primos , Euclides "fue el primero en superar el horror del infinito". ^[11] Existe una controversia similar respecto del postulado paralelo de Euclides , a veces traducido:

Si una recta que pasa por dos [otras] rectas forma ángulos internos en el mismo lado [de sí misma cuya suma es] menor que dos ángulos rectos, entonces las dos [otras] rectas, prolongadas hasta el infinito, se cortan en ese lado [de la recta original] que la [suma de los ángulos internos] es menor que dos ángulos rectos. ^[12]

Otros traductores, sin embargo, prefieren la traducción "las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente...", ^[13] evitando así la implicación de que Euclides se sentía cómodo con la noción de infinito. Finalmente, se ha sostenido que una reflexión sobre el infinito, lejos de provocar un "horror al infinito", subyacía en toda la filosofía griega temprana y que el "infinito potencial" de Aristóteles es una aberración de la tendencia general de este período. ^[14]

Zenón: Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea ( c.  495 - c.  430 a. C.) no presentó ninguna opinión sobre el infinito. Sin embargo, sus paradojas, ^[15] especialmente "Aquiles y la tortuga", fueron contribuciones importantes porque dejaron en claro la insuficiencia de las concepciones populares. Bertrand Russell describió las paradojas como "inmensurablemente sutiles y profundas". ^[dieciséis]

Aquiles corre contra una tortuga, dándole a esta última una ventaja.

• Paso #1: Aquiles corre hacia el punto de partida de la tortuga mientras la tortuga camina hacia adelante.
• Paso 2: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso 1 mientras la tortuga avanza aún más.
• Paso 3: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso 2 mientras la tortuga avanza aún más.
• Paso 4: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso 3 mientras la tortuga avanza aún más.

Etc.

Aparentemente, Aquiles nunca alcanza a la tortuga, ya que por muchos pasos que dé, la tortuga permanece delante de él.

Zenón no intentaba aclarar nada sobre el infinito. Como miembro de la escuela eleática , que consideraba el movimiento como una ilusión, consideraba un error suponer que Aquiles podía correr. Los pensadores posteriores, al considerar inaceptable esta solución, lucharon durante más de dos milenios para encontrar otras debilidades en el argumento.

Finalmente, en 1821, Augustin-Louis Cauchy proporcionó una definición satisfactoria de límite y una prueba de que, para 0 < x < 1 , ^[17]

$${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

Supongamos que Aquiles corre a 10 metros por segundo, la tortuga camina a 0,1 metros por segundo y esta última tiene una ventaja de 100 metros. La duración de la persecución se ajusta al patrón de Cauchy con a = 10 segundos y x = 0,01 . Aquiles alcanza a la tortuga; se lo lleva

$${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.}$$

Indio temprano

El texto matemático jainista Surya Prajnapti (c. Siglos IV-III a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables , innumerables e infinitos. Cada uno de estos se subdividió en tres órdenes: ^[18]

• Enumerables: más bajo, intermedio y más alto
• Innumerables: casi innumerables, verdaderamente innumerables e innumerablemente innumerables
• Infinito: casi infinito, verdaderamente infinito, infinitamente infinito

siglo 17

En el siglo XVII, los matemáticos europeos empezaron a utilizar números infinitos y expresiones infinitas de forma sistemática. En 1655, John Wallis utilizó por primera vez la notación para tal número en su Desectionibus conicis , ^[19] y la explotó en cálculos de área dividiendo la región en franjas infinitesimales de ancho del orden de ^[20] Pero en Arithmetica infinitorum (1656 ), ^[21] indica series infinitas, productos infinitos e infinitas fracciones continuas escribiendo algunos términos o factores y luego agregando "&c.", como en "1, 6, 12, 18, 24, &c". ^[22] ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

En 1699, Isaac Newton escribió sobre ecuaciones con un número infinito de términos en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^[23]

Matemáticas

Hermann Weyl abrió un discurso matemático-filosófico pronunciado en 1930 con: ^[24]

Las matemáticas son la ciencia del infinito.

Símbolo

El símbolo del infinito (a veces llamado lemniscata ) es un símbolo matemático que representa el concepto de infinito. El símbolo está codificado en Unicode en U+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^[25] y en LaTeX como . ^[26] ${\displaystyle \infty }$ \infty

Fue introducido en 1655 por John Wallis , ^{[27] [28]} y desde su introducción, también se ha utilizado fuera de las matemáticas en el misticismo moderno ^[29] y la simbología literaria . ^[30]

Cálculo

Gottfried Leibniz , uno de los co-inventores del cálculo infinitesimal , especuló ampliamente sobre los números infinitos y su uso en matemáticas. Para Leibniz, tanto los infinitesimales como las cantidades infinitas eran entidades ideales, no de la misma naturaleza que las cantidades apreciables, pero que disfrutaban de las mismas propiedades de acuerdo con la ley de continuidad . ^{[31] [2]}

Análisis reales

En el análisis real , el símbolo , llamado "infinito", se utiliza para indicar un límite ilimitado . ^[32] La notación significa que  aumenta sin límite, y significa que  disminuye sin límite. Por ejemplo, si para cada  , entonces ^[33] ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(t)\geq 0}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$significa que no limita un área finita de a ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$significa que el área debajo es infinita. ${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$significa que el área total debajo es finita y es igual a ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a.}$

Infinito también se puede utilizar para describir series infinitas , de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$significa que la suma de la serie infinita converge a algún valor real ${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$significa que la suma de la serie infinita propiamente diverge hacia el infinito, en el sentido de que las sumas parciales aumentan sin límite. ^[34]

Además de definir un límite, el infinito también se puede utilizar como valor en el sistema de números reales extendido. Los puntos etiquetados y se pueden agregar al espacio topológico de los números reales, produciendo la compactación de dos puntos de los números reales. Sumando propiedades algebraicas a esto nos da los números reales extendidos . ^[35] También podemos tratar y de la misma manera, lo que lleva a la compactación en un punto de los números reales, que es la línea proyectiva real . ^[36] La geometría proyectiva también se refiere a una línea en el infinito en la geometría plana, un plano en el infinito en el espacio tridimensional y un hiperplano en el infinito para las dimensiones generales , cada uno de los cuales consta de puntos en el infinito . ^[37] ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Análisis complejo

Mediante proyección estereográfica , el plano complejo puede "envolverse" en una esfera, correspondiendo el punto superior de la esfera al infinito. Esto se llama esfera de Riemann .

En análisis complejo el símbolo , llamado "infinito", denota un límite infinito sin signo . La expresión significa que la magnitud  de  crece más allá de cualquier valor asignado. Se puede agregar un punto etiquetado al plano complejo como un espacio topológico dando la compactación de un punto del plano complejo. Cuando se hace esto, el espacio resultante es una variedad compleja unidimensional , o superficie de Riemann , llamada plano complejo extendido o esfera de Riemann . ^[38] También se pueden definir operaciones aritméticas similares a las dadas anteriormente para los números reales extendidos, aunque no hay distinción en los signos (lo que lleva a la única excepción de que el infinito no se puede sumar a sí mismo). Por otro lado, este tipo de infinito permite la división por cero , es decir, para cualquier número complejo distinto de cero . En este contexto, suele ser útil considerar funciones meromórficas como aplicaciones en la esfera de Riemann que toman el valor de en los polos. El dominio de una función de valores complejos se puede ampliar para incluir también el punto en el infinito. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de transformaciones de Möbius (ver Transformación de Möbius § Descripción general ). ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$  ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty }$

Análisis no estándar

Infinitesimales (ε) e infinitos (ω) en la recta numérica hiperreal (1/ε = ω/1)

La formulación original del cálculo infinitesimal de Isaac Newton y Gottfried Leibniz utilizaba cantidades infinitesimales . En la segunda mitad del siglo XX, se demostró que este tratamiento se podía poner sobre una base rigurosa a través de varios sistemas lógicos , incluido el análisis infinitesimal fluido y el análisis no estándar . En este último, los infinitesimales son invertibles y sus inversos son números infinitos. Los infinitos en este sentido son parte de un campo hiperreal ; no hay equivalencia entre ellos como ocurre con los transfinitos cantorianos . Por ejemplo, si H es un número infinito en este sentido, entonces H + H = 2H y H + 1 son números infinitos distintos. Este enfoque del cálculo no estándar está completamente desarrollado en Keisler (1986).

Teoría de conjuntos

Correspondencia uno a uno entre un conjunto infinito y su subconjunto propio

Una forma diferente de "infinito" son los infinitos ordinales y cardinales de la teoría de conjuntos, un sistema de números transfinitos desarrollado por primera vez por Georg Cantor . En este sistema, el primer cardinal transfinito es aleph-nulo ( ℵ ₀ ), la cardinalidad del conjunto de los números naturales . Esta concepción matemática moderna del infinito cuantitativo se desarrolló a finales del siglo XIX a partir de obras de Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros, utilizando la idea de colecciones o conjuntos. ^[1]

El enfoque de Dedekind consistió esencialmente en adoptar la idea de la correspondencia uno a uno como estándar para comparar el tamaño de conjuntos y rechazar la opinión de Galileo (derivada de Euclides ) de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte. (Sin embargo, vea la paradoja de Galileo donde Galileo concluye que los números enteros positivos no se pueden comparar con el subconjunto de números enteros cuadrados positivos ya que ambos son conjuntos infinitos). Un conjunto infinito se puede definir simplemente como uno que tiene el mismo tamaño que al menos una de sus partes propias . ; Esta noción de infinito se llama infinito de Dedekind . El diagrama de la derecha da un ejemplo: viendo las líneas como conjuntos infinitos de puntos, la mitad izquierda de la línea azul inferior se puede asignar de manera uno a uno (correspondencias verdes) a la línea azul superior y, a su vez, , a toda la línea azul inferior (correspondencias rojas); por lo tanto, toda la línea azul inferior y su mitad izquierda tienen la misma cardinalidad, es decir, "tamaño". ^{[ cita necesaria ]}

Cantor definió dos tipos de números infinitos: los números ordinales y los números cardinales . Los números ordinales caracterizan conjuntos bien ordenados , o el conteo realizado hasta cualquier punto de parada, incluidos los puntos después de que ya se haya contado un número infinito. La generalización de secuencias finitas e infinitas (ordinarias) que son aplicaciones de números enteros positivos conduce a asignaciones de números ordinales a secuencias transfinitas. Los números cardinales definen el tamaño de los conjuntos, es decir, cuántos miembros contienen, y pueden estandarizarse eligiendo el primer número ordinal de un determinado tamaño para representar el número cardinal de ese tamaño. El infinito ordinal más pequeño es el de los números enteros positivos, y cualquier conjunto que tenga la cardinalidad de los números enteros es contablemente infinito . Si un conjunto es demasiado grande para ponerlo en correspondencia uno a uno con los números enteros positivos, se llama incontable . Las opiniones de Cantor prevalecieron y las matemáticas modernas aceptan el infinito real como parte de una teoría consistente y coherente. ^{[39] [40] [ página necesaria ]} Ciertos sistemas numéricos extendidos, como los números hiperreales, incorporan números ordinarios (finitos) y números infinitos de diferentes tamaños. ^{[ cita necesaria ]}

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo es mayor que la de los números naturales ; es decir, hay más números reales R que números naturales N. Es decir, Cantor demostró eso . ^[41] ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle {\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

La hipótesis del continuo afirma que no existe un número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir, . ${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

Esta hipótesis no puede ser probada ni refutada dentro de la ampliamente aceptada teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , incluso suponiendo el axioma de elección . ^[42]

La aritmética cardinal se puede utilizar para mostrar no sólo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta , sino también que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, , en cualquier espacio de dimensión finita . ^{[ cita necesaria ]}

Los primeros tres pasos de una construcción fractal cuyo límite es una curva que llena el espacio , mostrando que hay tantos puntos en una línea unidimensional como en un cuadrado bidimensional

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia uno a uno entre el intervalo ( −π/2,π/2) y R .

El segundo resultado fue demostrado por Cantor en 1878, pero sólo se hizo evidente intuitivamente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se tuercen y giran lo suficiente como para llenar la totalidad de cualquier cuadrado, cubo , hipercubo o hipercubo . espacio de dimensión finita. Estas curvas se pueden utilizar para definir una correspondencia uno a uno entre los puntos de un lado de un cuadrado y los puntos del cuadrado. ^[43]

Geometría

Hasta finales del siglo XIX, rara vez se hablaba del infinito en geometría , excepto en el contexto de procesos que podían continuar sin límite alguno. Por ejemplo, una recta era lo que hoy se llama segmento de recta , con la condición de que se pueda extenderla tanto como se quiera; pero extenderlo infinitamente estaba fuera de discusión. De manera similar, generalmente no se consideraba que una línea estuviera compuesta por una cantidad infinita de puntos, sino que era un lugar donde se podía colocar un punto. Incluso si hay infinitas posiciones posibles, sólo se podría colocar un número finito de puntos en una línea. Testigo de ello es la expresión "el lugar geométrico de un punto que satisface alguna propiedad" (singular), donde los matemáticos modernos dirían generalmente "el conjunto de los puntos que tienen la propiedad" (plural).

Una de las raras excepciones de un concepto matemático que involucra el infinito real fue la geometría proyectiva , donde los puntos en el infinito se agregan al espacio euclidiano para modelar el efecto de perspectiva que muestra líneas paralelas que se cruzan "en el infinito". Matemáticamente, los puntos en el infinito tienen la ventaja de permitir no considerar algunos casos especiales. Por ejemplo, en un plano proyectivo , dos líneas distintas se cruzan exactamente en un punto, mientras que sin puntos en el infinito, no hay puntos de intersección para líneas paralelas. Por tanto, las rectas paralelas y no paralelas deben estudiarse por separado en geometría clásica, mientras que no es necesario distinguirlas en geometría proyectiva.

Antes del uso de la teoría de conjuntos para la base de las matemáticas , los puntos y las líneas se consideraban entidades distintas y un punto podía ubicarse en una línea . Con el uso universal de la teoría de conjuntos en matemáticas, el punto de vista ha cambiado dramáticamente: ahora se considera una línea como el conjunto de sus puntos , y se dice que un punto pertenece a una línea en lugar de que está ubicado en una línea (sin embargo, esta última frase todavía se utiliza).

En particular, en las matemáticas modernas, las líneas son conjuntos infinitos .

Dimensión infinita

Los espacios vectoriales que se dan en la geometría clásica tienen siempre una dimensión finita , generalmente dos o tres. Sin embargo, esto no está implícito en la definición abstracta de un espacio vectorial, y se pueden considerar espacios vectoriales de dimensión infinita. Este suele ser el caso en el análisis funcional donde los espacios funcionales son generalmente espacios vectoriales de dimensión infinita.

En topología, algunas construcciones pueden generar espacios topológicos de dimensión infinita. En particular, este es el caso de los espacios de bucle iterados .

Fractales

La estructura de un objeto fractal se reitera en sus ampliaciones. Los fractales pueden ampliarse indefinidamente sin perder su estructura y volverse "suaves"; tienen perímetros infinitos y pueden tener áreas infinitas o finitas. Una de esas curvas fractales con un perímetro infinito y un área finita es el copo de nieve de Koch . ^{[ cita necesaria ]}

Matemáticas sin infinito

Leopold Kronecker se mostró escéptico respecto de la noción de infinito y de cómo la utilizaban sus colegas matemáticos en las décadas de 1870 y 1880. Este escepticismo se desarrolló en la filosofía de las matemáticas llamada finitismo , una forma extrema de filosofía matemática en las escuelas filosóficas y matemáticas generales del constructivismo y el intuicionismo . ^[44]

Física

En física , las aproximaciones de números reales se utilizan para mediciones continuas y los números naturales se utilizan para mediciones discretas (es decir, contar). Existen conceptos de cosas infinitas, como una onda plana infinita , pero no existen medios experimentales para generarlos. ^[45]

Cosmología

La primera propuesta publicada de que el universo es infinito provino de Thomas Digges en 1576. ^[46] Ocho años más tarde, en 1584, el filósofo y astrónomo italiano Giordano Bruno propuso un universo ilimitado en Sobre el universo y los mundos infinitos : "Existen innumerables soles; Innumerables Tierras giran alrededor de estos soles de manera similar a como los siete planetas giran alrededor de nuestro Sol. Los seres vivos habitan estos mundos." ^[47]

Los cosmólogos llevan mucho tiempo intentando descubrir si existe el infinito en nuestro universo físico : ¿Existe un número infinito de estrellas? ¿Tiene el universo un volumen infinito? ¿El espacio " dura para siempre "? Ésta es todavía una cuestión abierta de cosmología . La cuestión de ser infinito está lógicamente separada de la cuestión de tener límites. La superficie bidimensional de la Tierra, por ejemplo, es finita, pero no tiene aristas. Al viajar en línea recta con respecto a la curvatura de la Tierra, eventualmente regresaremos al punto exacto desde el que partimos. El universo, al menos en principio, podría tener una topología similar . Si es así, uno podría eventualmente regresar al punto de partida después de viajar en línea recta a través del universo durante un tiempo suficiente. ^[48]

La curvatura del universo se puede medir mediante momentos multipolares en el espectro de la radiación cósmica de fondo . Hasta la fecha, el análisis de los patrones de radiación registrados por la nave espacial WMAP sugiere que el universo tiene una topología plana. Esto sería consistente con un universo físico infinito. ^{[49] [50] [51]}

Sin embargo, el universo podría ser finito, incluso si su curvatura fuera plana. Una manera fácil de entender esto es considerar ejemplos bidimensionales, como videojuegos donde los elementos que salen de un borde de la pantalla reaparecen en el otro. La topología de estos juegos es toroidal y la geometría es plana. También existen muchas posibilidades planas y acotadas para el espacio tridimensional. ^[52]

El concepto de infinito también se extiende a la hipótesis del multiverso , que, explicada por astrofísicos como Michio Kaku , postula que existe un número y variedad infinitos de universos. ^[53] Además, los modelos cíclicos postulan una cantidad infinita de Big Bangs , lo que resulta en una variedad infinita de universos después de cada evento de Big Bang en un ciclo infinito. ^[54]

Lógica

En lógica , un argumento de regresión infinita es "un tipo distintivamente filosófico de argumento que pretende mostrar que una tesis es defectuosa porque genera una serie infinita cuando (forma A) no existe tal serie o (forma B) si existiera, la La tesis carecería del papel (por ejemplo, de justificación) que se supone que debe desempeñar". ^[55]

Informática

El estándar de punto flotante IEEE (IEEE 754) especifica un valor infinito positivo y negativo (y también valores indefinidos ). Estas se definen como el resultado del desbordamiento aritmético , la división por cero y otras operaciones excepcionales. ^[56]

Algunos lenguajes de programación , como Java ^[57] y J , ^[58] permiten al programador un acceso explícito a los valores infinitos positivos y negativos como constantes del lenguaje. Estos se pueden utilizar como elementos mayores y menores , ya que comparan (respectivamente) mayores o menores que todos los demás valores. Tienen usos como valores centinela en algoritmos que implican clasificación , búsqueda o ventanas . ^{[ cita necesaria ]}

En lenguajes que no tienen elementos mayores y menores, pero que permiten la sobrecarga de operadores relacionales , es posible que un programador cree los elementos mayores y menores. En lenguajes que no brindan acceso explícito a dichos valores desde el estado inicial del programa, pero que implementan el tipo de datos de punto flotante , los valores infinitos aún pueden ser accesibles y utilizables como resultado de ciertas operaciones. ^{[ cita necesaria ]}

En programación, un bucle infinito es un bucle cuya condición de salida nunca se cumple, por lo que se ejecuta indefinidamente.

Artes, juegos y ciencias cognitivas.

La obra de arte en perspectiva utiliza el concepto de puntos de fuga , que corresponden aproximadamente a puntos matemáticos en el infinito , ubicados a una distancia infinita del observador. Esto permite a los artistas crear pinturas que representan de manera realista el espacio, las distancias y las formas. ^[59] El artista MC Escher es específicamente conocido por emplear el concepto de infinito en su trabajo de esta y otras maneras. ^{[ cita necesaria ]}

Las variaciones del ajedrez que se juegan en un tablero ilimitado se denominan ajedrez infinito . ^{[60] [61]}

El científico cognitivo George Lakoff considera el concepto de infinito en las matemáticas y las ciencias como una metáfora. Esta perspectiva se basa en la metáfora básica del infinito (IMC), definida como la secuencia cada vez mayor <1,2,3,...>. ^[62]

Ver también

• 0,999...
• número alef
• Ananta
• exponenciación
• forma indeterminada
• Nombres de números grandes.
• Teorema del mono infinito
• conjunto infinito
• Infinitesimal
• Paradojas del infinito
• Supertarea
• numero surrealista

Referencias

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enlaces externos

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• El misterio del Aleph: matemáticas, la Cabalá y la búsqueda del infinito
• Diccionario del Infinito (recopilación de artículos sobre el infinito en física, matemáticas y filosofía)