En geometría , cualquier hiperplano H de un espacio proyectivo P puede tomarse como un hiperplano en el infinito . Entonces, el complemento de conjunto P ∖ H se llama espacio afín . Por ejemplo, si ( x 1 , ..., x n , x n +1 ) son coordenadas homogéneas para el espacio proyectivo n -dimensional, entonces la ecuación x n +1 = 0 define un hiperplano en el infinito para el espacio afín n -dimensional con coordenadas ( x 1 , ..., x n ) . H también se llama hiperplano ideal .
De manera similar, a partir de un espacio afín A , toda clase de rectas paralelas puede asociarse a un punto en el infinito . La unión de todas las clases de paralelas constituye los puntos del hiperplano en el infinito. La unión de los puntos de este hiperplano (llamados puntos ideales ) a A lo convierte en un espacio proyectivo n -dimensional, como el espacio proyectivo real R P n .
Al sumar estos puntos ideales, todo el espacio afín A se completa en un espacio proyectivo P , que puede llamarse compleción proyectiva de A . Cada subespacio afín S de A se completa en un subespacio proyectivo de P al sumar a S todos los puntos ideales correspondientes a las direcciones de las líneas contenidas en S . Los subespacios proyectivos resultantes a menudo se denominan subespacios afines del espacio proyectivo P , a diferencia de los subespacios infinitos o ideales , que son los subespacios del hiperplano en el infinito (sin embargo, son espacios proyectivos, no espacios afines).
En el espacio proyectivo, cada subespacio proyectivo de dimensión k intersecta el hiperplano ideal en un subespacio proyectivo "en el infinito" cuya dimensión es k − 1 .
Un par de hiperplanos afines no paralelos se intersecan en un subespacio afín de dimensión n − 2 , pero un par de hiperplanos afines paralelos se intersecan en un subespacio proyectivo del hiperplano ideal (la intersección se encuentra en el hiperplano ideal). Por lo tanto, los hiperplanos paralelos, que no se encontraban en el espacio afín, se intersecan en la completitud proyectiva debido a la adición del hiperplano en el infinito.