La paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos . En su último trabajo científico, Dos nuevas ciencias , Galileo Galilei hizo declaraciones aparentemente contradictorias sobre los números enteros positivos . Primero, un cuadrado es un número entero que es el cuadrado de un número entero. Algunos números son cuadrados , mientras que otros no; por lo tanto, todos los números, incluidos los cuadrados y los no cuadrados, deben ser más numerosos que sólo los cuadrados. Y, sin embargo, por cada número hay exactamente un cuadrado; por tanto, no puede haber más de uno que de otro. Este es un uso temprano, aunque no el primero, de la idea de correspondencia uno a uno en el contexto de conjuntos infinitos.
Galileo concluyó que las ideas de menor , igual y mayor se aplican a (lo que ahora llamaríamos) conjuntos finitos , pero no a conjuntos infinitos. Durante el siglo XIX, Cantor encontró un marco en el que esta restricción no es necesaria; es posible definir comparaciones entre conjuntos infinitos de una manera significativa (por cuya definición los dos conjuntos, enteros y cuadrados, tienen "el mismo tamaño"), y que según esta definición algunos conjuntos infinitos son estrictamente más grandes que otros .
Las ideas no eran nuevas para Galileo, pero su nombre ha llegado a asociarse con ellas. En particular, Duns Escoto , alrededor de 1302, comparó los números pares con el conjunto de números. [1]
A continuación se extrae la sección correspondiente de Two New Sciences : [2]
- Simplicio : Aquí se presenta una dificultad que me parece insoluble. Como es claro que podemos tener una recta mayor que otra, conteniendo cada una de ellas un número infinito de puntos, nos vemos obligados a admitir que, dentro de una misma clase, podemos tener algo mayor que el infinito, porque la infinidad de puntos en la línea larga es mayor que la infinidad de puntos de la línea corta. Esto de asignar a una cantidad infinita un valor mayor que el infinito está completamente fuera de mi comprensión.
- Salviati : Ésta es una de las dificultades que surgen cuando intentamos, con nuestra mente finita, discutir lo infinito, asignándole aquellas propiedades que le damos a lo finito y limitado; pero creo que esto es erróneo, porque no podemos hablar de cantidades infinitas como si una fuera mayor, menor o igual a otra. Para probar esto tengo en mente un argumento que, en aras de la claridad, plantearé en forma de preguntas a Simplicio, quien planteó esta dificultad.
- Doy por sentado que sabes cuáles de los números son cuadrados y cuáles no.
- Simplicio : Soy muy consciente de que un número al cuadrado es aquel que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo; así 4, 9, etc., son números al cuadrado que resultan de multiplicar 2, 3, etc., por sí mismos.
- Salviati : Muy bien; y también sabes que así como los productos se llaman cuadrados así los factores se llaman lados o raíces; mientras que, por otro lado, aquellos números que no constan de dos factores iguales no son cuadrados. Por lo tanto, si afirmo que todos los números, incluidos los cuadrados y los no cuadrados, son más que los cuadrados solos, diré la verdad, ¿no es así?
- Simplicio : Sin duda.
- Salviati : Si siguiera preguntando cuántos cuadrados hay, se podría responder con certeza que hay tantos como el número correspondiente de raíces, ya que cada cuadrado tiene su propia raíz y cada raíz su propio cuadrado, mientras que ningún cuadrado tiene más de una raíz. y ninguna raíz de más de un cuadrado.
- Simplicio : Precisamente.
- Salviati : Pero si pregunto cuántas raíces hay, no se puede negar que hay tantas como números porque cada número es raíz de algún cuadrado. Concedido esto, debemos decir que hay tantos cuadrados como números porque son tan numerosos como sus raíces, y todos los números son raíces. Sin embargo, al principio dijimos que hay muchos más números que cuadrados, ya que la mayor parte de ellos no son cuadrados. No sólo eso, sino que el número proporcional de cuadrados disminuye a medida que pasamos a números mayores, así hasta 100 tenemos 10 cuadrados, es decir, los cuadrados constituyen 1/10 parte de todos los números; hasta 10000, encontramos que sólo 1/100 parte son cuadrados; y hasta un millón sólo 1/1000 parte; por otra parte, en un número infinito, si uno pudiera concebir tal cosa, se vería obligado a admitir que hay tantos cuadrados como números tomados en conjunto.
- Sagredo : ¿Qué hay que concluir entonces en estas circunstancias?
- Salviati : Por lo que veo, sólo podemos inferir que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito y que el número de sus raíces es infinito; ni el número de cuadrados es menor que la totalidad de todos los números, ni éste mayor que el primero; y finalmente los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables a cantidades infinitas, sino sólo a finitas. Entonces, cuando Simplicio introduce varias líneas de diferentes longitudes y me pregunta cómo es posible que las más largas no contengan más puntos que las más cortas, le respondo que una línea no contiene más ni menos ni tantos puntos como otra, pero que cada línea contiene un número infinito.
— Galileo, Dos nuevas ciencias