En matemáticas , una dualidad traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras de manera biunívoca , a menudo (pero no siempre) mediante una operación de involución : si el dual de A es B , entonces el dual de B es A. En otros casos, el dual del dual (el doble dual o bidual) no es necesariamente idéntico al original (también llamado primal ). Tales involuciones a veces tienen puntos fijos , de modo que el dual de A es A en sí mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues es autodual en este sentido bajo la dualidad estándar en geometría proyectiva .
En contextos matemáticos, la dualidad tiene numerosos significados. [1] Se la ha descrito como "un concepto muy generalizado e importante en las matemáticas (modernas)" [2] y "un tema general importante que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas". [3]
Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos , funciones bilineales de un objeto de un tipo y otro objeto del segundo tipo con alguna familia de escalares. Por ejemplo, la dualidad del álgebra lineal corresponde de esta manera a aplicaciones bilineales de pares de espacios vectoriales con escalares, la dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba asociadas corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución con una función de prueba, y la dualidad de Poincaré corresponde de manera similar al número de intersección , visto como un emparejamiento entre subvariedades de una variedad dada. [4]
Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la dualidad también puede verse como un funtor , al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción pullback asigna a cada flecha f : V → W su dual f ∗ : W ∗ → V ∗ .
En palabras de Michael Atiyah ,
La dualidad en matemáticas no es un teorema, sino un “principio”. [5]
La siguiente lista de ejemplos muestra las características comunes de muchas dualidades, pero también indica que el significado preciso de la dualidad puede variar de un caso a otro.
Una dualidad simple surge al considerar subconjuntos de un conjunto fijo S . Para cualquier subconjunto A ⊆ S , el complemento A c [6] consiste en todos aquellos elementos de S que no están contenidos en A . Es nuevamente un subconjunto de S . Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:
Esta dualidad aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de algún espacio topológico fijo X : un subconjunto U de X es cerrado si y solo si su complemento en X es abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales a teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta, por lo que dualmente, cualquier intersección de conjuntos cerrados es cerrada. [7] El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande contenido en él, y la clausura del conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que lo contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto U es igual a la clausura del complemento de U .
La construcción del cono dual proporciona una dualidad en geometría . Dado un conjunto de puntos en el plano (o más generalmente puntos en ), el cono dual se define como el conjunto que consiste en aquellos puntos que satisfacen para todos los puntos en , como se ilustra en el diagrama. A diferencia del complemento de conjuntos mencionado anteriormente, en general no es cierto que aplicar la construcción del cono dual dos veces devuelva el conjunto original . En cambio, es el cono más pequeño [8] que contiene que puede ser mayor que . Por lo tanto, esta dualidad es más débil que la anterior, en que
Las otras dos propiedades se conservan sin cambios:
Un ejemplo muy importante de dualidad surge en el álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial V su espacio vectorial dual V * . Sus elementos son los funcionales lineales , donde K es el cuerpo sobre el que V está definido. Las tres propiedades del cono dual se trasladan a este tipo de dualidad al reemplazar subconjuntos de por el espacio vectorial e inclusiones de dichos subconjuntos por aplicaciones lineales. Es decir:
Una característica particular de esta dualidad es que V y V * son isomorfos para ciertos objetos, a saber, espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es en cierto sentido una coincidencia afortunada, ya que dar tal isomorfismo requiere una cierta elección, por ejemplo la elección de una base de V. Esto también es cierto en el caso de que V sea un espacio de Hilbert , a través del teorema de representación de Riesz .
En todas las dualidades discutidas anteriormente, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es nuevamente un espacio vectorial. Muchas afirmaciones de dualidad no son de este tipo. En cambio, tales dualidades revelan una relación cercana entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de tal dualidad más general es de la teoría de Galois . Para una extensión fija de Galois K / F , uno puede asociar el grupo de Galois Gal( K / E ) a cualquier cuerpo intermedio E (es decir, F ⊆ E ⊆ K ). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois G = Gal( K / F ) . Por el contrario, a cualquier subgrupo de este tipo H ⊆ G existe el cuerpo fijo K H que consiste en elementos fijados por los elementos en H .
En comparación con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características:
Dado un conjunto parcial P = ( X , ≤) (abreviatura de conjunto parcialmente ordenado; es decir, un conjunto que tiene una noción de orden pero en el que dos elementos no necesariamente pueden colocarse en orden uno con respecto al otro), el conjunto parcial dual P d = ( X , ≥) comprende el mismo conjunto básico pero la relación inversa . Ejemplos familiares de órdenes parciales duales incluyen
Una transformada de dualidad es un antiautomorfismo involutivo f de un conjunto parcialmente ordenado S , es decir, una involución de orden inverso f : S → S . [9] [10] En varios casos importantes, estas propiedades simples determinan la transformada de forma única hasta algunas simetrías simples. Por ejemplo, si f 1 , f 2 son dos transformadas de dualidad, entonces su composición es un automorfismo de orden de S ; por lo tanto, dos transformadas de dualidad cualesquiera difieren solo por un automorfismo de orden. Por ejemplo, todos los automorfismos de orden de un conjunto potencia S = 2 R son inducidos por permutaciones de R .
Un concepto definido para un orden parcial P corresponderá a un concepto dual en el conjunto poset dual P d . Por ejemplo, un elemento mínimo de P será un elemento máximo de P d : minimalidad y maximalidad son conceptos duales en la teoría del orden. Otros pares de conceptos duales son límites superiores e inferiores , conjuntos inferiores y conjuntos superiores , e ideales y filtros .
En topología, los conjuntos abiertos y cerrados son conceptos duales: el complemento de un conjunto abierto es cerrado, y viceversa. En la teoría de matroides , la familia de conjuntos complementarios a los conjuntos independientes de un matroide dado forman a su vez otro matroide, llamado matroide dual .
Existen muchas dualidades distintas pero interrelacionadas en las que los objetos geométricos o topológicos corresponden a otros objetos del mismo tipo, pero con una inversión de las dimensiones de las características de los objetos. Un ejemplo clásico de esto es la dualidad de los sólidos platónicos , en la que el cubo y el octaedro forman un par dual, el dodecaedro y el icosaedro forman un par dual, y el tetraedro es autodual. El poliedro dual de cualquiera de estos poliedros puede formarse como la envoltura convexa de los puntos centrales de cada cara del poliedro primario, de modo que los vértices del dual se corresponden uno a uno con las caras del primario. De manera similar, cada arista del dual corresponde a una arista del primario, y cada cara del dual corresponde a un vértice del primario. Estas correspondencias preservan la incidencia: si dos partes del poliedro primario se tocan entre sí, también lo hacen las dos partes correspondientes del poliedro dual . De manera más general, utilizando el concepto de reciprocidad polar , cualquier poliedro convexo , o más generalmente cualquier politopo convexo , corresponde a un poliedro dual o politopo dual, con una característica i -dimensional de un politopo n -dimensional correspondiente a una característica ( n − i − 1) -dimensional del politopo dual. La naturaleza de preservación de la incidencia de la dualidad se refleja en el hecho de que las redes de caras de los poliedros o politopos primarios y duales son en sí mismas duales de teoría del orden. La dualidad de politopos y la dualidad de teoría del orden son ambas involuciones : el politopo dual del politopo dual de cualquier politopo es el politopo original, e invertir todas las relaciones de orden dos veces regresa al orden original. Elegir un centro de polaridad diferente conduce a politopos duales geométricamente diferentes, pero todos tienen la misma estructura combinatoria.
A partir de cualquier poliedro tridimensional, se puede formar un grafo plano , el grafo de sus vértices y aristas. El poliedro dual tiene un grafo dual , un grafo con un vértice por cada cara del poliedro y con una arista por cada dos caras adyacentes. El mismo concepto de dualidad de grafos planos se puede generalizar a grafos que se dibujan en el plano pero que no provienen de un poliedro tridimensional, o más generalmente a incrustaciones de grafos en superficies de género superior: se puede dibujar un grafo dual colocando un vértice dentro de cada región limitada por un ciclo de aristas en la incrustación, y dibujando una arista que conecte dos regiones cualesquiera que compartan una arista límite. Un ejemplo importante de este tipo proviene de la geometría computacional : la dualidad para cualquier conjunto finito S de puntos en el plano entre la triangulación de Delaunay de S y el diagrama de Voronoi de S . Al igual que con los poliedros duales y los politopos duales, la dualidad de los grafos en superficies es una involución de inversión de dimensión: cada vértice en el grafo incrustado primario corresponde a una región de la incrustación dual, cada arista en el primario es cruzada por una arista en el dual, y cada región del primario corresponde a un vértice del dual. El grafo dual depende de cómo está incrustado el grafo primario: diferentes incrustaciones planares de un solo grafo pueden conducir a diferentes grafos duales. La dualidad matroide es una extensión algebraica de la dualidad de grafos planares, en el sentido de que el matroide dual del matroide gráfico de un grafo planar es isomorfo al matroide gráfico del grafo dual.
En la teoría de la optimización también se da una especie de dualidad geométrica , pero no una que invierta las dimensiones. Un programa lineal puede especificarse mediante un sistema de variables reales (las coordenadas de un punto en el espacio euclidiano ), un sistema de restricciones lineales (que especifican que el punto se encuentra en un semiespacio ; la intersección de estos semiespacios es un politopo convexo, la región factible del programa) y una función lineal (qué optimizar). Todo programa lineal tiene un problema dual con la misma solución óptima, pero las variables del problema dual corresponden a las restricciones del problema primario y viceversa.
En lógica, las funciones o relaciones A y B se consideran duales si A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , donde ¬ es la negación lógica . La dualidad básica de este tipo es la dualidad de los cuantificadores ∃ y ∀ en lógica clásica. Estos son duales porque ∃ x .¬ P ( x ) y ¬∀ x . P ( x ) son equivalentes para todos los predicados P en lógica clásica: si existe una x para la cual P no se cumple, entonces es falso que P se cumpla para toda x (pero la recíproca no se cumple de manera constructiva). De esta dualidad lógica fundamental se siguen varias otras:
De éstas se desprenden otras dualidades análogas:
El dual del dual, llamado bidual o doble dual , según el contexto, es a menudo idéntico al original (también llamado primigenio ), y la dualidad es una involución. En este caso no se suele distinguir el bidual, y en su lugar solo se hace referencia al primigenio y al dual. Por ejemplo, el poset dual del poset dual es exactamente el poset original, ya que la relación inversa está definida por una involución.
En otros casos, el bidual no es idéntico al primigenio, aunque a menudo existe una conexión estrecha. Por ejemplo, el cono dual del cono dual de un conjunto contiene al conjunto primigenio (es el cono más pequeño que contiene al conjunto primigenio), y es igual si y solo si el conjunto primigenio es un cono.
Un caso importante es el de los espacios vectoriales, donde existe una función del espacio primal al doble dual, V → V ** , conocida como la "función de evaluación canónica". Para los espacios vectoriales de dimensión finita, esto es un isomorfismo, pero no son espacios idénticos: son conjuntos diferentes. En la teoría de categorías, esto se generaliza mediante § Objetos duales, y una " transformación natural " del funtor identidad al funtor doble dual. Para los espacios vectoriales (considerados algebraicamente), esto es siempre una inyección; véase Espacio dual § Inyección en el doble dual . Esto se puede generalizar algebraicamente a un módulo dual . Todavía hay una función de evaluación canónica, pero no siempre es inyectiva; si lo es, se conoce como módulo sin torsión ; si es un isomorfismo, el módulo se llama reflexivo.
Para los espacios vectoriales topológicos (incluidos los espacios vectoriales normados ), existe una noción separada de dual topológico , denotado para distinguirlo del dual algebraico V * , con diferentes topologías posibles en el dual, cada una de las cuales define un espacio bidual diferente . En estos casos, la función de evaluación canónica no es en general un isomorfismo. Si lo es, se conoce (para ciertos espacios vectoriales localmente convexos con la topología de espacio dual fuerte ) como un espacio reflexivo .
En otros casos, mostrar una relación entre el primal y el bidual es un resultado significativo, como en la dualidad de Pontryagin (un grupo abeliano localmente compacto es naturalmente isomorfo a su bidual).
Un grupo de dualidades puede describirse dotando, para cualquier objeto matemático X , el conjunto de morfismos Hom ( X , D ) en algún objeto fijo D , con una estructura similar a la de X . Esto a veces se llama Hom interno . En general, esto produce una dualidad verdadera solo para elecciones específicas de D , en cuyo caso X * = Hom ( X , D ) se conoce como el dual de X . Siempre hay una función de X al bidual , es decir, el dual del dual, que asigna a algún x ∈ X la función que asocia a cualquier función f : X → D (es decir, un elemento en Hom( X , D ) ) el valor f ( x ) . Dependiendo de la dualidad concreta considerada y también dependiendo del objeto X , esta función puede o no ser un isomorfismo.
La construcción del espacio vectorial dual mencionado en la introducción es un ejemplo de tal dualidad. De hecho, el conjunto de morfismos, es decir, las aplicaciones lineales , forma un espacio vectorial por derecho propio. La aplicación V → V ** mencionada anteriormente es siempre inyectiva. Es sobreyectiva, y por lo tanto un isomorfismo, si y solo si la dimensión de V es finita. Este hecho caracteriza a los espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a una base.
Un espacio vectorial V es isomorfo a V ∗ precisamente si V es de dimensión finita. En este caso, tal isomorfismo es equivalente a una forma bilineal no degenerada En este caso V se llama espacio de producto interno . Por ejemplo, si K es el cuerpo de números reales o complejos , cualquier forma bilineal definida positiva da lugar a tal isomorfismo. En geometría de Riemann , V se toma como el espacio tangente de una variedad y tales formas bilineales positivas se denominan métricas de Riemann . Su propósito es medir ángulos y distancias. Por lo tanto, la dualidad es una base fundamental de esta rama de la geometría. Otra aplicación de los espacios de producto interno es la estrella de Hodge que proporciona una correspondencia entre los elementos del álgebra exterior . Para un espacio vectorial de n -dimensional, el operador de estrella de Hodge asigna k -formas a ( n − k ) -formas. Esto se puede utilizar para formular las ecuaciones de Maxwell . De esta manera, la dualidad inherente al espacio del producto interno intercambia el papel de los campos magnéticos y eléctricos .
En algunos planos proyectivos , es posible encontrar transformaciones geométricas que asignan cada punto del plano proyectivo a una línea, y cada línea del plano proyectivo a un punto, de una manera que preserva la incidencia. [11] Para tales planos surge un principio general de dualidad en planos proyectivos : dado cualquier teorema en tal geometría proyectiva plana, intercambiar los términos "punto" y "línea" en todas partes da como resultado un nuevo teorema igualmente válido. [12] Un ejemplo simple es que la afirmación "dos puntos determinan una línea única, la línea que pasa por estos puntos" tiene la afirmación dual de que "dos líneas determinan un punto único, el punto de intersección de estas dos líneas". Para más ejemplos, consulte Teoremas duales .
Una explicación conceptual de este fenómeno en algunos planos (notablemente planos de campo) la ofrece el espacio vectorial dual. De hecho, los puntos en el plano proyectivo corresponden a subespacios vectoriales unidimensionales [13] mientras que las líneas en el plano proyectivo corresponden a subespacios vectoriales de dimensión 2. La dualidad en tales geometrías proyectivas surge de asignar a un unidimensional el subespacio de que consiste en aquellas funciones lineales que satisfacen . Como consecuencia de la fórmula de dimensión del álgebra lineal , este espacio es bidimensional, es decir, corresponde a una línea en el plano proyectivo asociada a .
La forma bilineal (definida positiva) produce una identificación de este plano proyectivo con el . Concretamente, la dualidad asigna a su ortogonal . Las fórmulas explícitas en dualidad en geometría proyectiva surgen por medio de esta identificación.
En el ámbito de los espacios vectoriales topológicos existe una construcción similar, en la que se reemplaza el dual por el espacio vectorial dual topológico . Existen varias nociones de espacio dual topológico y cada una de ellas da lugar a un determinado concepto de dualidad. Un espacio vectorial topológico que es canónicamente isomorfo a su bidual se denomina espacio reflexivo :
Ejemplos:
La red dual de una red L está dada por el conjunto de funciones lineales en el espacio vectorial real que contiene la red que asignan los puntos de la red a los números enteros . Esto se utiliza en la construcción de variedades tóricas . [16] El dual de Pontryagin de grupos topológicos localmente compactos G está dado por homomorfismos de grupo continuos con valores en el círculo (con la multiplicación de números complejos como operación de grupo).
En otro grupo de dualidades, los objetos de una teoría se traducen en objetos de otra teoría y las aplicaciones entre objetos de la primera teoría se traducen en morfismos de la segunda teoría, pero con la dirección invertida. Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , esto equivale a un funtor contravariante entre dos categorías C y D :
que para cualesquiera dos objetos X e Y de C da una función
Ese funtor puede ser o no una equivalencia de categorías . Hay varias situaciones en las que un funtor de este tipo es una equivalencia entre la categoría opuesta C op de C y D. Utilizando una dualidad de este tipo, cada enunciado de la primera teoría puede traducirse en un enunciado "dual" en la segunda teoría, donde la dirección de todas las flechas tiene que invertirse. [17] Por lo tanto, cualquier dualidad entre las categorías C y D es formalmente lo mismo que una equivalencia entre C y D op ( C op y D ). Sin embargo, en muchas circunstancias las categorías opuestas no tienen un significado inherente, lo que hace de la dualidad un concepto adicional y separado. [18]
Una categoría que es equivalente a su dual se llama autodual . Un ejemplo de categoría autodual es la categoría de los espacios de Hilbert . [19]
Muchas nociones de la teoría de categorías se presentan en pares en el sentido de que se corresponden entre sí al considerar la categoría opuesta. Por ejemplo, los productos cartesianos Y 1 × Y 2 y las uniones disjuntas Y 1 ⊔ Y 2 de conjuntos son duales entre sí en el sentido de que
y
para cualquier conjunto X . Este es un caso particular de un fenómeno de dualidad más general, bajo el cual los límites en una categoría C corresponden a colimites en la categoría opuesta C op ; otros ejemplos concretos de esto son epimorfismos vs. monomorfismo , en particular módulos factoriales (o grupos, etc.) vs. submódulos , productos directos vs. sumas directas (también llamados coproductos para enfatizar el aspecto de dualidad). Por lo tanto, en algunos casos, las pruebas de ciertas afirmaciones pueden reducirse a la mitad, utilizando dicho fenómeno de dualidad. Otras nociones que muestran relación por dicha dualidad categórica son módulos proyectivos e inyectivos en álgebra homológica , [20] fibraciones y cofibraciones en topología y, de manera más general, categorías modelo . [21]
Dos funtores F : C → D y G : D → C son adjuntos si para todos los objetos c en C y d en D
de forma natural. En realidad, la correspondencia de límites y colímites es un ejemplo de adjuntos, ya que existe una adjunción
entre el funtor colimite que asigna a cualquier diagrama en C indexado por alguna categoría I su colimite y el funtor diagonal que asigna cualquier objeto c de C al diagrama constante que tiene c en todos los lugares. Dualmente,
La dualidad de Gelfand es una dualidad entre las C*-álgebras conmutativas A y los espacios compactos de Hausdorff X. Es la misma: asigna a X el espacio de funciones continuas (que se anulan en el infinito) desde X hasta C , los números complejos. A la inversa, el espacio X puede reconstruirse a partir de A como el espectro de A. Tanto la dualidad de Gelfand como la de Pontryagin pueden deducirse de una manera en gran parte formal y teórica de categorías. [22]
En una línea similar, existe una dualidad en la geometría algebraica entre anillos conmutativos y esquemas afines : a cada anillo conmutativo A hay un espectro afín, Spec A. A la inversa, dado un esquema afín S , se obtiene un anillo tomando secciones globales del haz de estructura O S. Además, los homomorfismos de anillos están en correspondencia uno a uno con los morfismos de esquemas afines, por lo que hay una equivalencia.
Los esquemas afines son los bloques de construcción locales de los esquemas . Por lo tanto, el resultado anterior indica que la teoría local de esquemas es la misma que el álgebra conmutativa , el estudio de los anillos conmutativos.
La geometría no conmutativa se inspira en la dualidad de Gelfand y estudia las C*-álgebras no conmutativas como si fueran funciones en un espacio imaginario. La dualidad de Tannaka-Krein es un análogo no conmutativo de la dualidad de Pontryagin. [24]
En varias situaciones, las dos categorías que son duales entre sí surgen en realidad de conjuntos parcialmente ordenados , es decir, existe alguna noción de que un objeto "es más pequeño" que otro. Una dualidad que respeta los ordenamientos en cuestión se conoce como conexión de Galois . Un ejemplo es la dualidad estándar en la teoría de Galois mencionada en la introducción: una extensión de campo más grande corresponde -según la aplicación que asigna a cualquier extensión L ⊃ K (dentro de algún campo fijo más grande Ω) el grupo de Galois Gal (Ω / L ) - a un grupo más pequeño. [25]
La colección de todos los subconjuntos abiertos de un espacio topológico X forma un álgebra de Heyting completa . Existe una dualidad, conocida como dualidad de Stone , que conecta espacios sobrios y lugares espaciales .
La dualidad de Pontryagin da una dualidad en la categoría de grupos abelianos localmente compactos : dado cualquier grupo G , el grupo de caracteres
dado por homomorfismos de grupo continuos desde G hasta el grupo circular S 1 puede estar dotado de la topología compacta-abierta . La dualidad de Pontryagin establece que el grupo de caracteres es nuevamente abeliano localmente compacto y que
Además, los grupos discretos corresponden a grupos abelianos compactos ; los grupos finitos corresponden a grupos finitos. Por un lado, Pontryagin es un caso especial de dualidad de Gelfand. Por otro lado, es la razón conceptual del análisis de Fourier , véase más abajo.
En análisis , los problemas frecuentemente se resuelven pasando a la descripción dual de funciones y operadores.
La transformada de Fourier cambia entre funciones en un espacio vectorial y su dual: y a la inversa Si f es una función L 2 en R o R N , digamos, entonces también lo es y . Además, la transformada intercambia operaciones de multiplicación y convolución en los espacios de funciones correspondientes . Una explicación conceptual de la transformada de Fourier se obtiene mediante la dualidad de Pontryagin antes mencionada, aplicada a los grupos localmente compactos R (o R N etc.): cualquier carácter de R está dado por ξ ↦ e −2 πixξ . El carácter dualizante de la transformada de Fourier tiene muchas otras manifestaciones, por ejemplo, en descripciones alternativas de sistemas mecánicos cuánticos en términos de representaciones de coordenadas y momento.
Los teoremas que muestran que ciertos objetos de interés son espacios duales (en el sentido del álgebra lineal) de otros objetos de interés se denominan a menudo dualidades . Muchas de estas dualidades se dan mediante un emparejamiento bilineal de dos espacios vectoriales K
Para emparejamientos perfectos , existe, por tanto, un isomorfismo de A al dual de B.
La dualidad de Poincaré de una variedad compleja compacta suave X se da por un emparejamiento de cohomología singular con coeficientes C (equivalentemente, cohomología de haz del haz constante C )
donde n es la dimensión (compleja) de X. [27] La dualidad de Poincaré también se puede expresar como una relación de homología singular y cohomología de De Rham , al afirmar que la función
(integrar una forma diferencial k sobre un ciclo 2 n − k (real) -dimensional) es un emparejamiento perfecto.
La dualidad de Poincaré también invierte las dimensiones; corresponde al hecho de que, si una variedad topológica se representa como un complejo de celdas , entonces el dual del complejo (una generalización de mayor dimensión del dual del grafo planar) representa la misma variedad. En la dualidad de Poincaré, este homeomorfismo se refleja en un isomorfismo del k -ésimo grupo de homología y el ( n − k )-ésimo grupo de cohomología .
El mismo patrón de dualidad se cumple para una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo cerrado separablemente , utilizando en su lugar la cohomología l-ádica con coeficientes Q ℓ . [28] Esto se generaliza aún más a variedades posiblemente singulares , utilizando en su lugar la cohomología de intersección , una dualidad llamada dualidad de Verdier . [29] La dualidad de Serre o la dualidad coherente son similares a las afirmaciones anteriores, pero se aplican en su lugar a la cohomología de haces coherentes . [30]
A medida que aumenta el nivel de generalidad, resulta que una cantidad cada vez mayor de conocimientos técnicos es útil o necesaria para comprender estos teoremas: la formulación moderna de estas dualidades se puede realizar utilizando categorías derivadas y ciertos funtores de imagen directa e inversa de haces (con respecto a la topología analítica clásica en variedades para la dualidad de Poincaré, haces l-ádicos y la topología étale en el segundo caso, y con respecto a haces coherentes para la dualidad coherente).
Otro grupo de enunciados de dualidad similares se encuentra en aritmética : la cohomología étale de cuerpos finitos , locales y globales (también conocida como cohomología de Galois , ya que la cohomología étale sobre un cuerpo es equivalente a la cohomología de grupo del grupo de Galois (absoluto) del cuerpo) admite emparejamientos similares. El grupo de Galois absoluto G ( F q ) de un cuerpo finito, por ejemplo, es isomorfo a , la completitud profinita de Z , los enteros. Por lo tanto, el emparejamiento perfecto (para cualquier G -módulo M )
es una consecuencia directa de la dualidad de Pontryagin de grupos finitos. Para los campos locales y globales, existen afirmaciones similares ( dualidad local y dualidad global o de Poitou–Tate ). [32]
