La dualidad de Tate

En matemáticas , la dualidad de Tate o dualidad Poitou-Tate es un teorema de dualidad para grupos de cohomología de Galois de módulos sobre el grupo de Galois de un cuerpo numérico algebraico o cuerpo local , introducido por John Tate  (1962) y Georges Poitou (1967).

La dualidad local de Tate

Para un cuerpo local p -ádico , la dualidad local de Tate dice que hay un emparejamiento perfecto de los grupos finitos que surgen de la cohomología de Galois: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

donde es un esquema de grupo finito, su dual y es el grupo multiplicativo . Para un cuerpo local de característica , la afirmación es similar, excepto que el emparejamiento toma valores en . ^[1] La afirmación también es válida cuando es un cuerpo arquimediano , aunque la definición de los grupos de cohomología parece algo diferente en este caso. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,G_{m})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k}$

Dualidad global de la Tate

Dado un esquema de grupo finito sobre un cuerpo global , la dualidad de Tate global relaciona la cohomología de con la de utilizando los emparejamientos locales construidos anteriormente. Esto se hace a través de los mapas de localización ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})}$

${\displaystyle \alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),}$

donde varía en todos los lugares de , y donde denota un producto restringido con respecto a los grupos de cohomología no ramificados. La suma de los emparejamientos locales da un emparejamiento perfecto canónico ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \prod '}$

${\displaystyle {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Una parte de la dualidad Poitou-Tate establece que, bajo este emparejamiento, la imagen de tiene aniquilador igual a la imagen de para . ${\displaystyle H^{r}(k,M)}$ ${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$ ${\displaystyle r=0,1,2}$

El mapa tiene un núcleo finito para todos los , y Tate también construye un emparejamiento perfecto canónico ${\displaystyle \alpha _{r,M}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Estas dualidades a menudo se presentan en forma de una secuencia exacta de nueve términos.

${\displaystyle 0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.}$

Aquí, el asterisco denota el dual de Pontryagin de un grupo abeliano localmente compacto dado.

Tate presentó todas estas afirmaciones en una forma más general dependiendo de un conjunto de lugares de , siendo las afirmaciones anteriores la forma de sus teoremas para el caso donde contiene todos los lugares de . Para el resultado más general, véase, por ejemplo, Neukirch, Schmidt y Wingberg (2000, Teorema 8.4.4). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

La dualidad Poitou-Tate

Entre otras afirmaciones, la dualidad de Poitou-Tate establece un emparejamiento perfecto entre ciertos grupos de Shafarevich . Dado un cuerpo global , un conjunto S de primos y la extensión máxima que no está ramificada fuera de S , los grupos de Shafarevich capturan, en términos generales, aquellos elementos en cuya cohomología se desvanecen en la cohomología de Galois de los cuerpos locales pertenecientes a los primos en S. [ ^2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{S}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{S}/k)}$

Geisser y Schmidt (2018) mostraron una extensión del caso en el que el anillo de enteros S se reemplaza por un esquema regular de tipo finito . Otra generalización se debe a Česnavičius, quien relajó la condición en el conjunto localizador S mediante el uso de cohomología plana en curvas propias suaves. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}}$

Véase también

• La dualidad Artin-Verdier
• Emparejamiento de Tate

Referencias

1. Neukirch, Schmidt y Wingberg (2000, Teorema 7.2.6)
2. Véase Neukirch, Schmidt y Wingberg (2000, Teorema 8.6.8) para una declaración precisa.
3. Česnavičius, Kęstutis (2015). "Poitou–Tate sin restricciones en el orden" (PDF) . Mathematical Research Letters . 22 (6): 1621–1666. doi :10.4310/MRL.2015.v22.n6.a5.

• Geisser, Thomas H.; Schmidt, Alexander (2018), "Dualidad Poitou-Tate para esquemas aritméticos", Compositio Mathematica , 154 (9): 2020–2044, arXiv : 1709.06913 , Bibcode :2017arXiv170906913G, doi :10.1112/S0010437X18007340, S2CID  119735104
• Haberland, Klaus (1978), Cohomología de Galois de campos numéricos algebraicos, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , ISBN 9780685872048, Sr.  0519872
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de cuerpos numéricos , Springer, ISBN 3-540-66671-0, Sr.  1737196
• Poitou, Georges (1967), "Propriétés globales des module finis", Cohomologie galoisienne des module finis, Séminaire de l'Institut de Mathématiques de Lille, bajo la dirección de G. Poitou. Travaux et Recherches Mathématiques, vol. 13, París: Dunod, págs. 255–277, SEÑOR  0219591
• Tate, John (1962), "Teoremas de dualidad en la cohomología de Galois sobre cuerpos numéricos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 288–295, MR  0175892, archivado desde el original el 17 de julio de 2011