La dualidad Artin-Verdier

Teorema sobre haces abelianos construibles sobre el espectro de un anillo de números algebraicos

En matemáticas , la dualidad de Artin-Verdier es un teorema de dualidad para haces abelianos construibles sobre el espectro de un anillo de números algebraicos , introducido por Michael Artin y Jean-Louis Verdier  (1964), que generaliza la dualidad de Tate .

Esto demuestra que, en lo que respecta a la cohomología étale (o plana ) , el anillo de números enteros en un cuerpo numérico se comporta como un objeto matemático tridimensional .

Declaración

Sea X el espectro del anillo de números enteros en un cuerpo de números totalmente imaginario K , y F un haz abeliano étale construible en X . Entonces el apareamiento de Yoneda

${\displaystyle H^{r}(X,F)\times \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\to H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

es un emparejamiento no degenerado de grupos abelianos finitos, para cada entero r .

Aquí, H ^r ( X,F ) es el r -ésimo grupo de cohomología étale del esquema X con valores en F, y Ext ^r ( F,G ) es el grupo de r - extensiones del haz étale G por el haz étale F en la categoría de haces abelianos étale en X. Además, G _m denota el haz étale de unidades en el haz de estructura de X.

Christopher Deninger  (1986) demostró la dualidad Artin-Verdier para haces construibles, pero no necesariamente de torsión. Para un haz F de este tipo , el emparejamiento anterior induce isomorfismos

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r=0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2,3\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$

Esquemas de grupos planos finitos

Sea U un subesquema abierto del espectro del anillo de números enteros en un cuerpo de números K , y F un esquema de grupo conmutativo plano finito sobre U . Entonces el producto de copa define un emparejamiento no degenerado

${\displaystyle H^{r}(U,F^{D})\times H_{c}^{3-r}(U,F)\to H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

de grupos abelianos finitos, para todos los enteros r .

Aquí F ^D denota el dual de Cartier de F , que es otro esquema de grupo conmutativo plano finito sobre U . Además, es el r -ésimo grupo de cohomología plano del esquema U con valores en el haz abeliano plano F , y es la r -ésima cohomología plana con soportes compactos de U con valores en el haz abeliano plano F . ${\displaystyle H^{r}(U,F)}$ ${\displaystyle H_{c}^{r}(U,F)}$

La cohomología plana con soportes compactos se define para dar lugar a una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{r}(U,F)\to H^{r}(U,F)\to \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v},F)\to H_{c}^{r+1}(U,F)\to \cdots }$

La suma se toma sobre todos los lugares de K que no están en U , incluidos los de Arquímedes. La contribución local H ^r ( K _v , F ) es la cohomología de Galois de la Henselización K _v de K en el lugar v , modificada a la Tate :

${\displaystyle H^{r}(K_{v},F)=H_{T}^{r}(\mathrm {Gal} (K_{v}^{s}/K_{v}),F(K_{v}^{s})).}$

Aquí hay un cierre separable de ${\displaystyle K_{v}^{s}}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

Referencias

• Artin, Michael ; Verdier, Jean-Louis (1964), "Seminario sobre cohomología étale de cuerpos numéricos", Notas de clase preparadas en relación con los seminarios celebrados en el instituto de verano sobre geometría algebraica. Finca Whitney, Woods Hole, Massachusetts. 6 de julio – 31 de julio de 1964 (PDF) , Providence, RI: American Mathematical Society , archivado desde el original (PDF) el 26 de mayo de 2011
• Deninger, Christopher (1986), "Una extensión de la dualidad Artin-Verdier a gavillas sin torsión", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 366 : 18–31, doi :10.1515/crll.1986.366.18, MR  0833011
• Mazur, Barry (1973), "Notas sobre la cohomología étale de campos numéricos", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 521–552, doi :10.24033/asens.1257, ISSN  0012-9593 , SEÑOR  0344254
• Milne, James S. (2006), Teoremas de dualidad aritmética (Segunda ed.), BookSurge, LLC , pp. viii+339, ISBN 1-4196-4274-X