Gavilla (matemáticas)

Herramienta para rastrear datos definidos localmente adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico

En matemáticas , un haz ( pl.: haces ) es una herramienta para rastrear sistemáticamente datos (como conjuntos , grupos abelianos , anillos ) adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico y definidos localmente con respecto a ellos. Por ejemplo, para cada conjunto abierto, los datos podrían ser el anillo de funciones continuas definidas en ese conjunto abierto. Dichos datos se comportan bien en el sentido de que pueden restringirse a conjuntos abiertos más pequeños, y también los datos asignados a un conjunto abierto son equivalentes a todas las colecciones de datos compatibles asignados a colecciones de conjuntos abiertos más pequeños que cubren el conjunto abierto original (intuitivamente, cada dato es la suma de sus datos constituyentes).

El campo de las matemáticas que estudia los haces se llama teoría de haces .

Los haces se entienden conceptualmente como objetos generales y abstractos . Su definición correcta es más bien técnica. Se definen específicamente como haces de conjuntos o como haces de anillos , por ejemplo, dependiendo del tipo de datos asignados a los conjuntos abiertos.

También hay aplicaciones (o morfismos ) de un haz a otro; los haces (de un tipo específico, como los haces de grupos abelianos ) con sus morfismos en un espacio topológico fijo forman una categoría . Por otra parte, a cada aplicación continua se asocia tanto un funtor imagen directo , que toma los haces y sus morfismos en el dominio como haces y morfismos en el codominio , como un funtor imagen inverso que opera en la dirección opuesta. Estos funtores , y ciertas variantes de ellos, son partes esenciales de la teoría de haces.

Debido a su naturaleza general y versatilidad, las haces tienen varias aplicaciones en topología y especialmente en geometría algebraica y diferencial . En primer lugar, las estructuras geométricas como la de una variedad diferenciable o un esquema se pueden expresar en términos de un haz de anillos en el espacio. En tales contextos, varias construcciones geométricas como los fibrados vectoriales o los divisores se especifican naturalmente en términos de haces. En segundo lugar, las haces proporcionan el marco para una teoría de cohomología muy general , que abarca también las teorías de cohomología topológica "usuales", como la cohomología singular . Especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , la cohomología de haces proporciona un vínculo poderoso entre las propiedades topológicas y geométricas de los espacios. Las haces también proporcionan la base para la teoría de los D -módulos , que proporcionan aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales . Además, las generalizaciones de haces a entornos más generales que los espacios topológicos, como la topología de Grothendieck , han proporcionado aplicaciones a la lógica matemática y a la teoría de números .

Definiciones y ejemplos

En muchas ramas matemáticas, varias estructuras definidas en un espacio topológico (por ejemplo, una variedad diferenciable ) pueden localizarse o restringirse naturalmente a subconjuntos abiertos : los ejemplos típicos incluyen funciones continuas de valor real o de valor complejo , funciones diferenciables (de valor real o de valor complejo) varias veces , funciones de valor real acotadas , cuerpos vectoriales y secciones de cualquier fibrado vectorial en el espacio. La capacidad de restringir los datos a subconjuntos abiertos más pequeños da lugar al concepto de prehaces. En términos generales, los haces son aquellos prehaces en los que los datos locales se pueden pegar a los datos globales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$

Pre-haces

Sea un espacio topológico. Un prehaz de conjuntos en consta de los siguientes datos: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

• Para cada conjunto abierto , existe un conjunto . Este conjunto también se denota . Los elementos de este conjunto se denominan secciones de sobre . Las secciones de sobre se denominan secciones globales de . ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• Para cada inclusión de conjuntos abiertos , una función . En vista de muchos de los ejemplos a continuación, los morfismos se denominan morfismos de restricción . Si , entonces su restricción se denota a menudo por analogía con la restricción de funciones. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$ ${\displaystyle s|_{V}}$

Los morfismos de restricción deben satisfacer dos propiedades ( funcionales ) adicionales:

• Para cada conjunto abierto de , el morfismo de restricción es el morfismo identidad en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$
• Si tenemos tres conjuntos abiertos , entonces el compuesto ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$

De manera informal, el segundo axioma dice que no importa si restringimos a en un paso o si restringimos primero a y luego a . Más adelante se ofrece una reformulación funcional concisa de esta definición. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Muchos ejemplos de prehaces provienen de diferentes clases de funciones: a cualquier , se le puede asignar el conjunto de funciones continuas de valor real en . Los mapas de restricción se dan simplemente restringiendo una función continua en a un subconjunto abierto más pequeño , que nuevamente es una función continua. Los dos axiomas de prehaz se verifican inmediatamente, dando así un ejemplo de un prehaz. Esto se puede extender a un prehaz de funciones holomorfas y un prehaz de funciones suaves . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{0}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

Otra clase común de ejemplos es la asignación al conjunto de funciones reales constantes en . Este prehaz se denomina prehaz constante asociado a y se denota . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$

Gavillas

Dado un prehaz, una pregunta natural que se plantea es hasta qué punto sus secciones sobre un conjunto abierto están especificadas por sus restricciones a subconjuntos abiertos de . Un haz es un prehaz cuyas secciones están, en un sentido técnico, determinadas únicamente por sus restricciones. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Axiomáticamente, un haz es un prehaz que satisface ambos axiomas siguientes:

1. ( Localidad ) Supongamos que es un conjunto abierto, es una cubierta abierta de con para todos , y son secciones. Si para todos , entonces . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s=t}$
2. ( Pegado ) Supongamos que es un conjunto abierto, es una cubierta abierta de con para todos , y es una familia de secciones. Si todos los pares de secciones coinciden en la superposición de sus dominios, es decir, si para todos , entonces existe una sección tal que para todos . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

En ambos axiomas, la hipótesis sobre la cubierta abierta es equivalente al supuesto de que . ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$

La sección cuya existencia está garantizada por el axioma 2 se llama pegado , concatenación o intercalación de las secciones . Por el axioma 1 es única. Las secciones y que satisfacen la condición previa de acuerdo del axioma 2 a menudo se denominan compatibles  ; por lo tanto, los axiomas 1 y 2 juntos establecen que cualquier colección de secciones compatibles por pares se pueden pegar de forma única . Un prehaz separado , o monoprehaz , es un prehaz que satisface el axioma 1. ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$

El prehaz que consta de funciones continuas mencionado anteriormente es un haz. Esta afirmación se reduce a comprobar que, dadas funciones continuas que coinciden en las intersecciones , existe una única función continua cuya restricción es igual a . Por el contrario, el prehaz constante normalmente no es un haz, ya que no satisface el axioma de localidad en el conjunto vacío (esto se explica con más detalle en haz constante ). ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{i}}$

Las prehaces y las gavillas se suelen indicar con letras mayúsculas, siendo especialmente común, presumiblemente, por la palabra francesa para gavilla, faisceau . El uso de letras caligráficas como también es común. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Se puede demostrar que para especificar un haz, es suficiente especificar su restricción a los conjuntos abiertos de una base para la topología del espacio subyacente. Además, también se puede demostrar que es suficiente verificar los axiomas de haces anteriores en relación con los conjuntos abiertos de una cubierta. Esta observación se utiliza para construir otro ejemplo que es crucial en geometría algebraica, a saber, haces cuasi-coherentes . Aquí el espacio topológico en cuestión es el espectro de un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ , cuyos puntos son los ideales primos en . Los conjuntos abiertos forman una base para la topología de Zariski en este espacio. Dado un -módulo , hay un haz, denotado por en el , que satisface ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$la localización de en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Hay otra caracterización de haces que es equivalente a la discutida previamente. Un prehaz es un haz si y solo si para cualquier abierto y cualquier cubierta abierta de , es el producto de fibra . Esta caracterización es útil en la construcción de haces, por ejemplo, si son haces abelianos , entonces el núcleo del morfismo de haces es un haz, ya que los límites proyectivos conmutan con los límites proyectivos. Por otro lado, el conúcleo no siempre es un haz porque el límite inductivo no necesariamente conmuta con los límites proyectivos. Una de las formas de solucionar esto es considerar los espacios topológicos noetherianos; todos los conjuntos abiertos son compactos de modo que el conúcleo es un haz, ya que los límites proyectivos finitos conmutan con los límites inductivos. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{a}\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

Más ejemplos

Haz de secciones de un mapa continuo

Cualquier mapa continuo de espacios topológicos determina un haz al establecer ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

Cualquiera de estos se denomina comúnmente sección de , y este ejemplo es la razón por la que los elementos de se denominan generalmente secciones. Esta construcción es especialmente importante cuando es la proyección de un fibrado sobre su espacio base. Por ejemplo, los haces de funciones suaves son los haces de secciones del fibrado trivial . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle f}$

Otro ejemplo: el haz de secciones de

${\displaystyle \mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

es el haz que asigna a cualquier conjunto de ramas del logaritmo complejo en . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle U}$

Dado un punto y un grupo abeliano , el haz rascacielos se define de la siguiente manera: si es un conjunto abierto que contiene a , entonces . Si no contiene a , entonces , el grupo trivial . Las funciones de restricción son la identidad en , si ambos conjuntos abiertos contienen a , o la función cero en caso contrario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Poleas en colectores

En una variedad -dimensional , hay una serie de haces importantes, como el haz de funciones -veces continuamente diferenciables (con ). Sus secciones en algunos abiertos son las funciones - . Para , este haz se llama haz de estructura y se denota . Las funciones no nulas también forman un haz, denotado . Las formas diferenciales (de grado ) también forman un haz . En todos estos ejemplos, los morfismos de restricción se dan mediante funciones o formas restrictivas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{j}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

La asignación que se envía a las funciones con soporte compacto en no es un haz, ya que, en general, no hay forma de preservar esta propiedad al pasar a un subconjunto abierto más pequeño. En cambio, esto forma un cohaz , un concepto dual donde las aplicaciones de restricción van en la dirección opuesta que con los haces. ^[3] Sin embargo, tomar el dual de estos espacios vectoriales da un haz, el haz de distribuciones . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Prehaces que no son haces

Además del prehaz constante mencionado anteriormente, que normalmente no es un haz, hay otros ejemplos de prehaces que no son haces:

• Sea el espacio topológico de dos puntos con la topología discreta. Defina un prehaz de la siguiente manera: El mapa de restricción es la proyección de sobre su primera coordenada, y el mapa de restricción es la proyección de sobre su segunda coordenada. es un prehaz que no está separado: una sección global está determinada por tres números, pero los valores de esa sección sobre y determinan solo dos de esos números. Entonces, si bien podemos pegar dos secciones cualesquiera sobre y , no podemos pegarlas de manera única. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$
• Sea la recta real , y sea el conjunto de funciones continuas acotadas en . Este no es un haz porque no siempre es posible pegar. Por ejemplo, sea el conjunto de todas las funciones tales que . La función identidad está acotada en cada . En consecuencia, obtenemos una sección en . Sin embargo, estas secciones no se pegan, porque la función no está acotada en la recta real. En consecuencia es un prehaz, pero no un haz. De hecho, está separado porque es un subprehaz del haz de funciones continuas. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<i}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Haces motivadores a partir de espacios analíticos complejos y geometría algebraica

Una de las motivaciones históricas para los haces proviene del estudio de las variedades complejas , ^[4] la geometría analítica compleja , ^[5] y la teoría de esquemas de la geometría algebraica . Esto se debe a que en todos los casos anteriores, consideramos un espacio topológico junto con un haz de estructura que le da la estructura de una variedad compleja, un espacio analítico complejo o un esquema. Esta perspectiva de equipar un espacio topológico con un haz es esencial para la teoría de espacios anillados localmente (ver más abajo). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Desafíos técnicos con colectores complejos

Una de las principales motivaciones históricas para introducir haces fue construir un dispositivo que lleva un registro de funciones holomorfas en variedades complejas . Por ejemplo, en una variedad compleja compacta (como el espacio proyectivo complejo o el lugar geométrico de desaparición en el espacio proyectivo de un polinomio homogéneo ), las únicas funciones holomorfas ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

son las funciones constantes. ^{[6] [7]} Esto significa que existen dos variedades complejas compactas que no son isomorfas, pero sin embargo sus anillos de funciones holomorfas globales, denotados , son isomorfas. Contraste esto con las variedades suaves donde cada variedad puede estar incrustada dentro de alguna , por lo tanto su anillo de funciones suaves proviene de restringir las funciones suaves de . ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Otra complejidad al considerar el anillo de funciones holomorfas en una variedad compleja es que, dado un conjunto abierto suficientemente pequeño , las funciones holomorfas serán isomorfas a . Los haces son una herramienta directa para tratar con esta complejidad, ya que permiten realizar un seguimiento de la estructura holomorfa en el espacio topológico subyacente de en subconjuntos abiertos arbitrarios . Esto significa que, a medida que se vuelve más complejo topológicamente, el anillo se puede expresar a partir de pegar el . Tenga en cuenta que a veces este haz se denota o simplemente , o incluso cuando queremos enfatizar el espacio al que está asociado el haz de estructura. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Seguimiento de subvariedades con poleas

Otro ejemplo común de haces se puede construir considerando una subvariedad compleja . Hay un haz asociado que toma un subconjunto abierto y da el anillo de funciones holomorfas en . Se descubrió que este tipo de formalismo era extremadamente poderoso y motiva mucho álgebra homológica, como la cohomología de haces , ya que se puede construir una teoría de intersecciones utilizando este tipo de haces a partir de la fórmula de intersección de Serre. ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U\cap Y}$

Operaciones con poleas

Morfismos

Los morfismos de haces son, en términos generales, análogos a las funciones entre ellos. A diferencia de una función entre conjuntos, que es simplemente una asignación de salidas a entradas, los morfismos de haces también deben ser compatibles con las estructuras locales y globales de los haces subyacentes. Esta idea se precisa en la siguiente definición.

Sean y dos haces de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) sobre . Un morfismo consiste en un morfismo de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) para cada conjunto abierto de , sujeto a la condición de que este morfismo sea compatible con restricciones. En otras palabras, para cada subconjunto abierto de un conjunto abierto , el siguiente diagrama es conmutativo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$

Por ejemplo, al tomar la derivada se obtiene un morfismo de haces en , De hecho, dada una función (-veces continuamente diferenciable) (con en abierto), la restricción (a un subconjunto abierto más pequeño ) de su derivada es igual a la derivada de . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f|_{V}}$

Con esta noción de morfismo, los haces de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) en un espacio topológico fijo forman una categoría . Por lo tanto, las nociones categóricas generales de mono- , epi- e isomorfismos se pueden aplicar a los haces. ${\displaystyle X}$

Un morfismo de haces en es un isomorfismo (respectivamente monomorfismo) si y solo si existe una cubierta abierta de tales que son isomorfismos (respectivamente morfismos inyectivos) de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) para todos . Estas afirmaciones dan ejemplos de cómo trabajar con haces usando información local, pero es importante notar que no podemos verificar si un morfismo de haces es un epimorfismo de la misma manera. De hecho, la afirmación de que las funciones en el nivel de conjuntos abiertos no siempre son sobreyectivas para epimorfismos de haces es equivalente a la no exactitud del funtor de secciones globales—o equivalentemente, a la no trivialidad de la cohomología de haces . ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}\colon {\mathcal {F}}(U_{\alpha })\rightarrow {\mathcal {G}}(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$

Tallos de una gavilla

El tallo de un haz captura las propiedades de un haz "alrededor" de un punto , generalizando los gérmenes de las funciones . Aquí, "alrededor" significa que, conceptualmente hablando, se observan vecindarios cada vez más pequeños del punto. Por supuesto, ningún vecindario será lo suficientemente pequeño, lo que requiere considerar un límite de algún tipo. Más precisamente, el tallo se define por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

el límite directo es sobre todos los subconjuntos abiertos de que contienen el punto dado . En otras palabras, un elemento del tallo está dado por una sección sobre algún entorno abierto de , y dos de esas secciones se consideran equivalentes si sus restricciones coinciden en un entorno más pequeño. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

El morfismo natural toma una sección en su germen en . Esto generaliza la definición habitual de un germen . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle x}$

En muchas situaciones, conocer los tallos de un haz es suficiente para controlar el haz mismo. Por ejemplo, se puede probar si un morfismo de haces es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo en los tallos. En este sentido, un haz está determinado por sus tallos, que son datos locales. Por el contrario, la información global presente en un haz, es decir, las secciones globales , es decir, las secciones en todo el espacio , típicamente contienen menos información. Por ejemplo, para una variedad compleja compacta , las secciones globales del haz de funciones holomorfas son simplemente , ya que cualquier función holomorfa ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$

es constante según el teorema de Liouville . ^[6]

Transformar una pregavilla en una gavilla

Con frecuencia resulta útil tomar los datos contenidos en un prehaz y expresarlos como un haz. Resulta que existe una mejor manera posible de hacerlo. Se toma un prehaz y se produce un nuevo haz llamado gavilla o haz asociado al prehaz . Por ejemplo, la gavilla del prehaz constante (ver arriba) se llama gavilla constante . A pesar de su nombre, sus secciones son funciones constantes locales . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$

El haz se puede construir utilizando el espacio étalé de , es decir, como el haz de secciones del mapa ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {Spe} (F)\to X.}$

Otra construcción del haz procede por medio de un funtor de prehaces a prehaces que mejora gradualmente las propiedades de un prehaz: para cualquier prehaz , es un prehaz separado, y para cualquier prehaz separado , es un haz. El haz asociado está dado por . ^[8] ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle LF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle LF}$ ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle LLF}$

La idea de que el haz es la mejor aproximación posible a por un haz se hace precisa usando la siguiente propiedad universal : hay un morfismo natural de prehaces de modo que para cualquier haz y cualquier morfismo de prehaces , hay un morfismo único de haces tal que . De hecho es el funtor adjunto izquierdo al funtor de inclusión (o funtor olvidadizo ) de la categoría de haces a la categoría de prehaces, y es la unidad de la adjunción. De esta manera, la categoría de haces se convierte en una subcategoría de Giraud de prehaces. Esta situación categórica es la razón por la que el funtor de gavillación aparece en la construcción de conúcleos de morfismos de haces o productos tensoriales de haces, pero no para núcleos, por ejemplo. ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\colon F\to aF}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\colon F\to G}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G}$ ${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$

Subhaces, haces cocientes

Si es un subhaz de un haz de grupos abelianos, entonces el haz cociente es el haz asociado al prehaz ; en otras palabras, el haz cociente encaja en una secuencia exacta de haces de grupos abelianos; ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(Esto también se llama extensión de haz ).

Sean haces de grupos abelianos. El conjunto de morfismos de haces de a forma un grupo abeliano (por la estructura de grupo abeliano de ). El haz hom de y , denotado por, ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

es el haz de grupos abelianos donde es el haz en dado por (nótese que la gavillación no es necesaria aquí). La suma directa de y es el haz dado por , y el producto tensorial de y es el haz asociado al prehaz . ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$ ${\displaystyle F|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

Todas estas operaciones se extienden a haces de módulos sobre un haz de anillos ; el anterior es el caso especial cuando es el haz constante . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Funcionalidad básica

Dado que los datos de un (pre)haz dependen de los subconjuntos abiertos del espacio base, los haces en diferentes espacios topológicos no están relacionados entre sí en el sentido de que no hay morfismos entre ellos. Sin embargo, dada una función continua entre dos espacios topológicos, el empuje hacia adelante y el retroceso relacionan los haces en con los en y viceversa. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Imagen directa

El avance (también conocido como imagen directa ) de un haz es el haz definido por ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Aquí tenemos un subconjunto abierto de , de modo que su preimagen está abierta en por la continuidad de . Esta construcción recupera el haz de rascacielos mencionado anteriormente: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

donde está la inclusión, y se considera como un haz en el singleton (por . ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

Para una función entre espacios localmente compactos , la imagen directa con soporte compacto es un subhaz de la imagen directa. ^[9] Por definición, consiste en aquellos cuyo soporte es una función propia sobre . Si es propia en sí misma, entonces , pero en general no están de acuerdo. ${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

Imagen inversa

La imagen inversa o pullback va en sentido inverso: produce un haz en , denotado a partir de un haz en . Si es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces la imagen inversa es solo una restricción, es decir, está dada por para un abierto en . Un haz (en algún espacio ) se llama localmente constante si por algunos subconjuntos abiertos tales que la restricción de a todos estos subconjuntos abiertos es constante. En una amplia gama de espacios topológicos , tales haces son equivalentes a representaciones del grupo fundamental . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Para los mapas generales , la definición de es más compleja; se detalla en el functor de imagen inversa . El tallo es un caso especial esencial del pullback en vista de una identificación natural, donde es como se indica arriba: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

De manera más general, los tallos satisfacen . ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

Extensión por cero

Para la inclusión de un subconjunto abierto, la extensión por cero (pronunciado "j chillido inferior de F") de un haz de grupos abelianos en es la gavillación del prehaz definido por ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V\mapsto {\mathcal {F}}(V)}$Si y de lo contrario. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\mapsto 0}$

Para un haz de , esta construcción es en cierto sentido complementaria a , donde es la inclusión del complemento de : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$para en , y el tallo es cero en caso contrario, mientras que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$para en , y es igual en caso contrario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

En términos más generales, si es un subconjunto localmente cerrado, entonces existe un conjunto abierto de que contiene tal que está cerrado en . Sean y las inclusiones naturales. Entonces la extensión por cero de un haz en está definida por . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:A\to U}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$

Debido a su buen comportamiento en los tallos, la extensión por funtor cero es útil para reducir las preguntas de teoría de haces a las de los estratos de una estratificación , es decir, una descomposición de en subconjuntos más pequeños y localmente cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Complementos

Las gavillas en categorías más generales

Además de los haces (previos) que se presentaron anteriormente, donde es simplemente un conjunto, en muchos casos es importante realizar un seguimiento de la estructura adicional en estas secciones. Por ejemplo, las secciones del haz de funciones continuas forman naturalmente un espacio vectorial real y la restricción es una función lineal entre estos espacios vectoriales. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Los prehaces con valores en una categoría arbitraria se definen considerando primero la categoría de conjuntos abiertos en como la categoría posetal cuyos objetos son los conjuntos abiertos de y cuyos morfismos son inclusiones. Entonces, un prehaz con valores en es lo mismo que un funtor contravariante de a . Los morfismos en esta categoría de funtores, también conocidos como transformaciones naturales , son los mismos que los morfismos definidos anteriormente, como se puede ver al desentrañar las definiciones. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle C}$

Si la categoría de destino admite todos los límites , un prehaz con valor es un haz si el siguiente diagrama es un ecualizador para cada cubierta abierta de cualquier conjunto abierto : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Aquí el primer mapa es el producto de los mapas de restricción.

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

y el par de flechas son los productos de los dos conjuntos de restricciones

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

y

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Si es una categoría abeliana , esta condición también puede reformularse exigiendo que exista una secuencia exacta ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Un caso particular de esta condición de gavilla se da cuando el conjunto es vacío y el conjunto índice también es vacío. En este caso, la condición de gavilla requiere ser el objeto terminal en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ ${\displaystyle C}$

Espacios anillados y haces de módulos

En varias disciplinas geométricas, incluidas la geometría algebraica y la geometría diferencial , los espacios vienen acompañados de un haz natural de anillos, a menudo llamado haz de estructura y denotado por . Este par se denomina espacio anillado . Muchos tipos de espacios se pueden definir como ciertos tipos de espacios anillados. Comúnmente, todos los tallos del haz de estructura son anillos locales , en cuyo caso el par se denomina espacio anillado localmente . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Por ejemplo, una variedad -dimensional es un espacio localmente anillado cuyo haz de estructura consiste en -funciones en los subconjuntos abiertos de . La propiedad de ser un espacio localmente anillado se traduce en el hecho de que dicha función, que es distinta de cero en un punto , también es distinta de cero en un entorno abierto suficientemente pequeño de . Algunos autores definen de hecho las variedades reales (o complejas) como espacios localmente anillados que son localmente isomorfos al par que consiste en un subconjunto abierto de (respectivamente ) junto con el haz de funciones (respectivamente holomorfas). ^[10] De manera similar, los esquemas , la noción fundamental de los espacios en geometría algebraica, son espacios localmente anillados que son localmente isomorfos al espectro de un anillo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Dado un espacio anillado, un haz de módulos es un haz tal que en cada conjunto abierto de , es un -módulo y para cada inclusión de conjuntos abiertos , el mapa de restricción es compatible con el mapa de restricción : la restricción de fs es la restricción de veces la de para cualquier en y en . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$

Los objetos geométricos más importantes son haces de módulos. Por ejemplo, existe una correspondencia biunívoca entre fibrados vectoriales y haces localmente libres de -módulos. Este paradigma se aplica a fibrados vectoriales reales, fibrados vectoriales complejos o fibrados vectoriales en geometría algebraica (donde consiste en funciones suaves, funciones holomorfas o funciones regulares, respectivamente). Los haces de soluciones de ecuaciones diferenciales son -módulos , es decir, módulos sobre el haz de operadores diferenciales . En cualquier espacio topológico, los módulos sobre el haz constante son los mismos que los haces de grupos abelianos en el sentido anterior. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Existe un funtor de imagen inversa diferente para haces de módulos sobre haces de anillos. Este funtor se suele denotar y es distinto de . Véase funtor de imagen inversa . ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Condiciones de finitud para haces de módulos

Las condiciones de finitud para módulo sobre anillos conmutativos dan lugar a condiciones de finitud similares para haces de módulos: se llama finitamente generado (respectivamente finitamente presentado ) si, para cada punto de , existe un entorno abierto de , un número natural (posiblemente dependiente de ), y un morfismo sobreyectivo de haces (respectivamente, además un número natural , y una sucesión exacta .) Paralelamente a la noción de módulo coherente , se llama haz coherente si es de tipo finito y si, para cada conjunto abierto y cada morfismo de haces (no necesariamente sobreyectivo), el núcleo de es de tipo finito. es coherente si es coherente como un módulo sobre sí mismo. Al igual que para los módulos, la coherencia es en general una condición estrictamente más fuerte que la presentación finita. El teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomorfas en una variedad compleja es coherente. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El espacio étalé de una gavilla

En los ejemplos anteriores se observó que algunos haces ocurren naturalmente como haces de secciones. De hecho, todos los haces de conjuntos pueden representarse como haces de secciones de un espacio topológico llamado espacio étalé , de la palabra francesa étalé [etale] , que significa aproximadamente "extendido". Si es un haz sobre , entonces el espacio étalé (a veces llamado espacio étale ) de es un espacio topológico junto con un homeomorfismo local tal que el haz de secciones de es . El espacio suele ser muy extraño, e incluso si el haz surge de una situación topológica natural, puede no tener ninguna interpretación topológica clara. Por ejemplo, si es el haz de secciones de una función continua , entonces si y solo si es un homeomorfismo local . ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle E=Y}$ ${\displaystyle f}$

El espacio étalé se construye a partir de los tallos de sobre . Como conjunto, es su unión disjunta y es la función obvia que toma el valor en el tallo de sobre . La topología de se define de la siguiente manera. Para cada elemento y cada , obtenemos un germen de en , denotado o . Estos gérmenes determinan puntos de . Para cualquier y , la unión de estos puntos (para todos los ) se declara abierta en . Nótese que cada tallo tiene la topología discreta como topología de subespacio. Dos morfismos entre haces determinan una función continua de los espacios étalé correspondientes que es compatible con las funciones de proyección (en el sentido de que cada germen se asigna a un germen sobre el mismo punto). Esto convierte la construcción en un funtor. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s]_{x}}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle E}$

La construcción anterior determina una equivalencia de categorías entre la categoría de haces de conjuntos sobre y la categoría de espacios étalé sobre . La construcción de un espacio étalé también puede aplicarse a un prehaz, en cuyo caso el haz de secciones del espacio étalé recupera el haz asociado al prehaz dado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Esta construcción convierte todos los haces en funtores representables en ciertas categorías de espacios topológicos. Como en el caso anterior, sea un haz en , sea su espacio étalé y sea la proyección natural. Considérese la sobrecategoría de espacios topológicos sobre , es decir, la categoría de espacios topológicos junto con funciones continuas fijas a . Todo objeto de esta categoría es una función continua , y un morfismo de a es una función continua que conmuta con las dos funciones a . Hay un funtor ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

enviando un objeto a . Por ejemplo, si es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

y para la inclusión de un punto , entonces ${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

es el tallo de at . Hay un isomorfismo natural ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

lo que demuestra que (para el espacio étalé) representa el funtor . ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$se construye de modo que la proyección es una proyección cubriente. En geometría algebraica, el análogo natural de una proyección cubriente se denomina morfismo étale . A pesar de su similitud con "étalé", la palabra étale [etal] tiene un significado diferente en francés. Es posible transformarse en un esquema y en un morfismo de esquemas de tal manera que conserve la misma propiedad universal, pero no es en general un morfismo étale porque no es cuasi-finito. Sin embargo, es formalmente étale . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

La definición de haces por espacios de étalé es más antigua que la definición dada anteriormente en el artículo. Todavía es común en algunas áreas de las matemáticas, como el análisis matemático .

Cohomología de gavillas

En contextos donde el conjunto abierto es fijo y el haz se considera una variable, el conjunto también se denota a menudo ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

Como se señaló anteriormente, este funtor no conserva epimorfismos. En cambio, un epimorfismo de haces es una función con la siguiente propiedad: para cualquier sección hay una cobertura donde ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

de subconjuntos abiertos, de modo que la restricción sea la imagen de . Sin embargo, no es necesario que ella misma sea la imagen de . Un ejemplo concreto de este fenómeno es la función exponencial ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

entre el haz de funciones holomorfas y funciones holomorfas no nulas. Esta función es un epimorfismo, lo que equivale a decir que cualquier función holomorfa no nula (en algún subconjunto abierto en , por ejemplo), admite un logaritmo complejo localmente , es decir, después de restringirse a subconjuntos abiertos apropiados. Sin embargo, no necesita tener un logaritmo globalmente. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

La cohomología de haces captura este fenómeno. Más precisamente, para una secuencia exacta de haces de grupos abelianos

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(es decir, un epimorfismo cuyo núcleo es ), existe una secuencia exacta larga. Por medio de esta secuencia, el primer grupo de cohomología es una medida de la no sobreyectividad del mapa entre las secciones de y . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ $${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$$ ${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

Existen varias formas diferentes de construir la cohomología de haces. Grothendieck (1957) las introdujo definiendo la cohomología de haces como el funtor derivado de . Este método es teóricamente satisfactorio, pero, al estar basado en resoluciones inyectivas , es de poca utilidad en cálculos concretos. Las resoluciones de Godement son otro enfoque general, pero prácticamente inaccesible. ${\displaystyle \Gamma }$

Cálculo de la cohomología de haces

Especialmente en el contexto de haces en variedades, la cohomología de haces a menudo se puede calcular usando resoluciones por haces suaves , haces finos y haces flácidos (también conocidos como haces flasque del francés flasque que significa flácido). Por ejemplo, un argumento de partición de unidad muestra que el haz de funciones suaves en una variedad es suave. Los grupos de cohomología superiores para se desvanecen para haces suaves, lo que proporciona una forma de calcular la cohomología de otros haces. Por ejemplo, el complejo de De Rham es una resolución del haz constante en cualquier variedad suave, por lo que la cohomología del haz de es igual a su cohomología de De Rham . ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

Un enfoque diferente es la cohomología de Čech . La cohomología de Čech fue la primera teoría de cohomología desarrollada para haces y es adecuada para cálculos concretos, como el cálculo de la cohomología de haces coherentes del espacio proyectivo complejo . ^[11] Relaciona secciones sobre subconjuntos abiertos del espacio con clases de cohomología en el espacio. En la mayoría de los casos, la cohomología de Čech calcula los mismos grupos de cohomología que la cohomología de functores derivada. Sin embargo, para algunos espacios patológicos, la cohomología de Čech dará los grupos de cohomología superiores correctos pero incorrectos. Para solucionar esto, Jean-Louis Verdier desarrolló hipercubrimientos . Los hipercubrimientos no solo dan los grupos de cohomología superiores correctos, sino que también permiten que los subconjuntos abiertos mencionados anteriormente se reemplacen por ciertos morfismos de otro espacio. Esta flexibilidad es necesaria en algunas aplicaciones, como la construcción de las estructuras de Hodge mixtas de Pierre Deligne . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}}$

Muchos otros grupos de cohomología de haces coherentes se encuentran utilizando una incrustación de un espacio en un espacio con cohomología conocida, como , o algún espacio proyectivo ponderado . De esta manera, los grupos de cohomología de haces conocidos en estos espacios ambientales se pueden relacionar con los haces , dando . Por ejemplo, el cálculo de la cohomología de haces coherente de curvas planas proyectivas se encuentra fácilmente. Un gran teorema en este espacio es la descomposición de Hodge encontrada utilizando una secuencia espectral asociada a grupos de cohomología de haces , probada por Deligne. ^{[12] [13]} Esencialmente, la -página con términos ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

La cohomología de haces de una variedad proyectiva suave se degenera, es decir , . Esto da la estructura de Hodge canónica en los grupos de cohomología . Más tarde se descubrió que estos grupos de cohomología se pueden calcular fácilmente de forma explícita utilizando residuos de Griffiths . Véase ideal jacobiano . Este tipo de teoremas conducen a uno de los teoremas más profundos sobre la cohomología de las variedades algebraicas, el teorema de descomposición , allanando el camino para los módulos de Hodge mixtos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$ ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

Otro enfoque claro para el cálculo de algunos grupos de cohomología es el teorema de Borel–Bott–Weil , que identifica los grupos de cohomología de algunos fibrados lineales en variedades bandera con representaciones irreducibles de grupos de Lie . Este teorema se puede utilizar, por ejemplo, para calcular fácilmente los grupos de cohomología de todos los fibrados lineales en el espacio proyectivo y en las variedades de Grassmann .

En muchos casos existe una teoría de dualidad para haces que generaliza la dualidad de Poincaré . Véase dualidad de Grothendieck y dualidad de Verdier .

Categorías derivadas de haces

La categoría derivada de la categoría de haces de, digamos, grupos abelianos en algún espacio X , denotada aquí como , es el refugio conceptual para la cohomología de haces, en virtud de la siguiente relación: ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

La adjunción entre , que es el adjunto izquierdo de (ya en el nivel de haces de grupos abelianos) da lugar a una adjunción ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$(para ), ${\displaystyle f:X\to Y}$

donde es el funtor derivado. Este último funtor abarca la noción de cohomología de haces ya que para . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

Al igual que , también se puede derivar la imagen directa con soporte compacto . En virtud del siguiente isomorfismo se parametriza la cohomología con soporte compacto de las fibras de : ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}{\mathcal {F}})_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}).}$^[14]

Este isomorfismo es un ejemplo de teorema de cambio de base . Hay otra adjunción

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

A diferencia de todos los funtores considerados anteriormente, el funtor de imagen inversa torcida (o excepcional) en general solo se define en el nivel de categorías derivadas , es decir, el funtor no se obtiene como el funtor derivado de algún funtor entre categorías abelianas. Si y X es una variedad orientable suave de dimensión n , entonces ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[15]

Este cálculo y la compatibilidad de los funtores con la dualidad (véase dualidad de Verdier ) se pueden utilizar para obtener una explicación de alto nivel de la dualidad de Poincaré . En el contexto de haces cuasi-coherentes en esquemas, existe una dualidad similar conocida como dualidad coherente .

Los haces perversos son ciertos objetos en , es decir, complejos de haces (pero no haces propiamente dichos en general). Son una herramienta importante para estudiar la geometría de las singularidades . ^[16] ${\displaystyle D(X)}$

Categorías derivadas de haces coherentes y el grupo de Grothendieck

Otra aplicación importante de las categorías derivadas de haces es con la categoría derivada de haces coherentes en un esquema denotado . Esto fue utilizado por Grothendieck en su desarrollo de la teoría de intersección ^[17] utilizando categorías derivadas y la teoría K , que el producto de intersección de subesquemas se representa en la teoría K como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{Coh}(X)}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

donde son haces coherentes definidos por los módulos dados por sus haces de estructura . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Sitios y topografía

Las conjeturas de Weil de André Weil afirmaban que existía una teoría de cohomología para variedades algebraicas sobre cuerpos finitos que daría un análogo de la hipótesis de Riemann . La cohomología de una variedad compleja puede definirse como la cohomología de haces del haz localmente constante en la topología euclidiana, lo que sugiere definir una teoría de cohomología de Weil en característica positiva como la cohomología de haces de un haz constante. Pero la única topología clásica sobre tal variedad es la topología de Zariski , y la topología de Zariski tiene muy pocos conjuntos abiertos, tan pocos que la cohomología de cualquier haz de Zariski-constante sobre una variedad irreducible se anula (excepto en grado cero). Alexandre Grothendieck resolvió este problema introduciendo las topologías de Grothendieck , que axiomatizan la noción de recubrimiento . La idea de Grothendieck fue que la definición de un haz depende únicamente de los conjuntos abiertos de un espacio topológico, no de los puntos individuales. Una vez que había axiomatizado la noción de cubrimiento, los conjuntos abiertos podían ser reemplazados por otros objetos. Un prehaz lleva cada uno de estos objetos a los datos, tal como antes, y un haz es un prehaz que satisface el axioma de pegado con respecto a nuestra nueva noción de cubrimiento. Esto le permitió a Grothendieck definir la cohomología étale y la cohomología ℓ-ádica , que eventualmente se usaron para probar las conjeturas de Weil. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

Una categoría con una topología de Grothendieck se denomina sitio . Una categoría de haces en un sitio se denomina topos o topos de Grothendieck . La noción de topos fue abstraída posteriormente por William Lawvere y Miles Tierney para definir un topos elemental , que tiene conexiones con la lógica matemática .

Historia

Los orígenes de la teoría de haces son difíciles de precisar; pueden ser coextensivos con la idea de continuación analítica ^{[ aclaración necesaria ]} . Se necesitaron alrededor de 15 años para que surgiera una teoría de haces reconocible e independiente a partir del trabajo fundacional sobre cohomología .

• 1936 Eduard Čech introduce la construcción nerviosa , para asociar un complejo simplicial a una cubierta abierta.
• 1938 Hassler Whitney da una definición "moderna" de cohomología, resumiendo el trabajo desde que JW Alexander y Kolmogorov definieron por primera vez las cocadenas .
• 1943 Norman Steenrod publica sobre homología con coeficientes locales . ^[18]
• 1945 Jean Leray publica un trabajo realizado como prisionero de guerra , motivado por demostrar teoremas de punto fijo para su aplicación a la teoría de EDP ; es el inicio de la teoría de haces y las secuencias espectrales . ^[19]
• 1947 Henri Cartan reprueba el teorema de De Rham por métodos de haces, en correspondencia con André Weil (véase teorema de De Rham–Weil ). Leray da una definición de haces en sus cursos por medio de conjuntos cerrados (los posteriores caparazones ).
• 1948 El seminario de Cartan redacta por primera vez la teoría de los haces.
• 1950 La "segunda edición" de la teoría de haces del seminario de Cartan: se utiliza la definición de espacio de haces ( espace étalé ), con estructura peduncular. Se introducen los soportes y la cohomología con los soportes. Las aplicaciones continuas dan lugar a secuencias espectrales. Al mismo tiempo, Kiyoshi Oka introduce una idea (adyacente a la anterior) de un haz de ideales, en varias variables complejas .
• 1951 El seminario de Cartan demuestra los teoremas A y B , basados ​​en el trabajo de Oka.
• 1953 El teorema de finitud para haces coherentes en la teoría analítica es demostrado por Cartan y Jean-Pierre Serre ^[20] , al igual que la dualidad de Serre .
• En 1954, el artículo de Serre Faisceaux algébriques cohérents ^[21] (publicado en 1955) introduce los haces en la geometría algebraica . Estas ideas son explotadas inmediatamente por Friedrich Hirzebruch , quien escribe un importante libro en 1956 sobre métodos topológicos.
• 1955 Alexander Grothendieck en conferencias en Kansas define la categoría abeliana y el prehaz , y al usar resoluciones inyectivas permite el uso directo de la cohomología del haz en todos los espacios topológicos, como funtores derivados .
• Informe de 1956 de Oscar Zariski Teoría de haces algebraicos ^[22]
• El artículo de Tohoku de Grothendieck de 1957 ^[23] reescribe el álgebra homológica ; prueba la dualidad de Grothendieck (es decir, la dualidad de Serre para variedades algebraicas posiblemente singulares ).
• A partir de 1957, Grothendieck amplía la teoría de haces en línea con las necesidades de la geometría algebraica, introduciendo: esquemas y haces generales sobre ellos, cohomología local , categorías derivadas (con Verdier) y topologías de Grothendieck . Surge también su influyente idea esquemática de las ' seis operaciones ' en el álgebra homológica.
• 1958 Se publica el libro de Roger Godement sobre la teoría de haces. En esta época Mikio Sato propone sus hiperfunciones , que resultarán tener una naturaleza teórica de haces.

En ese momento, los haces se habían convertido en una parte fundamental de las matemáticas, y su uso no se limitaba en absoluto a la topología algebraica . Más tarde se descubrió que la lógica en categorías de haces es lógica intuicionista (esta observación se conoce ahora con frecuencia como semántica de Kripke-Joyal , pero probablemente debería atribuirse a varios autores).

Véase también

• Haz coherente
• Gerbe
• Pila (matemáticas)
• Haz de espectros
• Gavilla perversa
• Prehaz de espacios
• Gavilla construible
• Teorema de De Rham

Notas

1. Eisenbud, David; Harris, Joe (6 de abril de 2006), The Geometry of Schemes , GTM , Nueva York, NY: Springer, págs. 11-18, ISBN 978-0-387-22639-2
2. Tennison, BR (1975), Teoría de la gavilla , Cambridge University Press , MR  0404390
3. Bredon (1997, Capítulo V, §1)
4. Demailly, Jean-Pierre. «Geometría analítica compleja y diferencial» (PDF) . Archivado (PDF) del original el 28 de agosto de 2020.
5. Cartan, Henri. "Variétés analytiques complexes et cohomologie" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 8 de octubre de 2020.
6. "Geometría diferencial: las funciones holomorfas en una variedad compacta compleja son solo constantes". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 7 de octubre de 2020 .
7. Hawley, Newton S. (1950). "Un teorema sobre variedades complejas compactas". Anales de Matemáticas . 52 (3): 637–641. doi :10.2307/1969438. JSTOR  1969438.
8. SGA 4 II 3.0.5
9. Iversen (1986, Capítulo VII)
10. Ramanán (2005)
11. Hartshorne (1977), Teorema III.5.1.
12. Deligne, Pierre (1971). "Teoría de Hodge: II". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 40 : 5–57. doi :10.1007/BF02684692. S2CID  118967613.
13. Deligne, Pierre (1974). "Teoría de Hodge: III". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 44 : 5–77. doi :10.1007/BF02685881. S2CID  189777706.
14. Iversen (1986, Capítulo VII, Teorema 1.4)
15. Kashiwara y Schapira (1994, Capítulo III, §3.1)
16. de Cataldo y Migliorini (2010)
17. Grothendieck. "Formalismo de las intersecciones sobre los esquemas algebriques propios".
18. Steenrod, NE (1943). "Homología con coeficientes locales". Anales de Matemáticas . 44 (4): 610–627. doi :10.2307/1969099. JSTOR  1969099.
19. Dieudonné, Jean (1989). Una historia de la topología algebraica y diferencial 1900-1960 . Birkhäuser. págs. 123-141. ISBN 978-0-8176-3388-2.
20. Cartan, Enrique; Serre, Jean-Pierre (1953). "Un teorema de finitud con respecto a las variedades analíticas compactas". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128-130. Zbl  0050.17701.
21. Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF) , Annals of Mathematics , segunda serie, 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874
22. Zariski, Oscar (1956), "Informe científico sobre el segundo instituto de verano, varias variables complejas. Parte III. Teoría de haces algebraicos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 62 (2): 117–141, doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10018-9 , ISSN  0002-9904
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Referencias

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