Gavilla

En topología , una rama de las matemáticas, un haz es una noción dual a la de haz que resulta útil para estudiar la homología de Borel-Moore . ^{[ se necesita más explicación ]}

Definición

Asociamos a un espacio topológico su categoría de conjuntos abiertos , cuyos objetos son los conjuntos abiertos de , con un morfismo (único) de a siempre que . Fijamos una categoría . Entonces un precohaz (con valores en ) es un funtor covariante , es decir, consiste en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Op} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F:\operatorname {Op} X\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$

• para cada conjunto abierto de , un objeto en , y ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• para cada inclusión de conjuntos abiertos , un morfismo en tal que ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle \iota _{U,V}:F(U)\to F(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • ${\displaystyle \iota _{U,U}=\mathrm {id} _{F(U)}}$Para todos y ${\displaystyle U}$
  • ${\displaystyle \iota _{U,V}\circ \iota _{V,W}=\iota _{U,W}}$cuando sea . ${\displaystyle U\subset V\subset W}$

Supongamos ahora que es una categoría abeliana que admite colímites pequeños . Entonces un cohaz es un precohaz para el cual la secuencia ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \bigoplus _{(\alpha ,\beta )}F(U_{\alpha ,\beta })\xrightarrow {\sum _{(\alpha ,\beta )}(\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\alpha }}-\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\beta }})} \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })\xrightarrow {\sum _{\alpha }\iota _{U_{\alpha },U}} F(U)\to 0}$$

es exacta para cada colección de conjuntos abiertos, donde y . (Observe que esto es dual a la condición del haz). Aproximadamente, la exactitud en significa que cada elemento sobre puede representarse como una suma finita de elementos que viven sobre los abiertos más pequeños , mientras que la exactitud en significa que, cuando comparamos dos representaciones de este tipo del mismo elemento, su diferencia debe ser capturada por una colección finita de elementos que viven sobre las intersecciones . ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha }}$ ${\displaystyle U:=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }}$

De manera equivalente, es una gavilla si ${\displaystyle F}$

• para todos los conjuntos abiertos y , es el empuje de y , y ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F(U\cup V)}$ ${\displaystyle F(U\cap V)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U\cap V)\to F(V)}$
• Para cualquier familia de conjuntos abiertos dirigida hacia arriba , el morfismo canónico es un isomorfismo. Se puede demostrar que esta definición concuerda con la anterior. ^[1] Esta, sin embargo, tiene la ventaja de tener sentido incluso cuando no es una categoría abeliana. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \varinjlim F(U_{\alpha })\to F\left(\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Ejemplos

Un ejemplo motivador de un precohaz de grupos abelianos es el precohaz singular , que envía un conjunto abierto a , el grupo abeliano libre de cadenas singulares en . En particular, hay una inclusión natural siempre que . Sin embargo, esto no puede ser un cohaz porque un símplex singular no se puede dividir en partes más pequeñas. Para solucionar esto, dejamos que sea el homomorfismo de subdivisión baricéntrico y definimos que sea el colímite del diagrama. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \iota _{U,V}:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(V;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle s:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} \ldots .}$$

En el colimit, un símplex se identifica con todas sus subdivisiones baricéntricas. Se puede demostrar mediante el lema del número de Lebesgue que el prehaz que envía a es, de hecho, un cohaz. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$

Fijemos una función continua de espacios topológicos. Entonces, el prehaz de cohaz (en ) de espacios topológicos que envían a es un cohaz. ^[2] ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Notas

1. Bredon, Glen E. (24 de enero de 1997). Sheaf Theory. Springer. ISBN 9780387949055.
2. Lurie, Jacob. "Números de Tamagawa a través de la dualidad de Poincaré no abeliana, lección 9: dualidad de Poincaré no abeliana en geometría algebraica" (PDF) . Facultad de Matemáticas, Instituto de Estudios Avanzados.

Referencias

• Bredon, Glen E. (24 de enero de 1997). Sheaf Theory. Springer. ISBN 9780387949055.
• Bredon, Glen (1968). "Cosheaves y homología". Revista del Pacífico de Matemáticas . 25 : 1–32. doi : 10.2140/pjm.1968.25.1 .
• Funk, J. (1995). "La ubicación de visualización de una gavilla". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 36 (1): 53–93.
• Curry, Justin Michael (2015). "Análisis de datos topológicos y cohaces". Revista Japonesa de Matemática Industrial y Aplicada . 32 (2): 333–371. arXiv : 1411.0613 . doi :10.1007/s13160-015-0173-9. S2CID  256048254.
• Positselski, Leonid (2012). "Cohaces contraherentes". arXiv : 1209.2995 [math.CT].
• Rosiak, Daniel (25 de octubre de 2022). Teoría de las gavillas a través de ejemplos. MIT Press. ISBN 9780262362375.
• Lurie, Jacob. "Números de Tamagawa a través de la dualidad de Poincaré no abeliana, lección 8: dualidad de Poincaré no abeliana en topología" (PDF) . Facultad de Matemáticas, Instituto de Estudios Avanzados.
• Curry, Justin (2014). "§ 3, en particular Thm 3.10". Haces, cohaces y aplicaciones (tesis doctoral). Universidad de Pensilvania. p. 34. arXiv : 1303.3255 . ProQuest  1553207954.