Función de imagen inversa

En matemáticas, específicamente en topología algebraica y geometría algebraica , un funtor de imagen inversa es una construcción contravariante de haces ; aquí “contravariante” en el sentido de que, dada una función , el funtor de imagen inversa es un funtor de la categoría de haces en Y a la categoría de haces en X. El funtor de imagen directa es la operación primaria sobre haces, con la definición más simple. La imagen inversa exhibe algunas características relativamente sutiles. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Definición

Supongamos que nos dan un haz de y que queremos transportar a utilizando un mapa continuo . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Llamaremos al resultado la imagen inversa o haz de retroceso . Si tratamos de imitar la imagen directa estableciendo ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}$

Para cada conjunto abierto de , nos encontramos inmediatamente con un problema: no es necesariamente abierto. Lo mejor que podemos hacer es aproximarlo mediante conjuntos abiertos, e incluso así obtendremos un prehaz y no un haz. En consecuencia, definimos como el haz asociado al prehaz : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(Aquí hay un subconjunto abierto de y el colimit se ejecuta sobre todos los subconjuntos abiertos de que contienen .) ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$

Por ejemplo, si es solo la inclusión de un punto de , entonces es solo el tallo de en este punto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Los mapas de restricción, así como la funcionalidad de la imagen inversa, se siguen de la propiedad universal de los límites directos .

Cuando se trabaja con morfismos de espacios localmente anillados , por ejemplo esquemas en geometría algebraica , a menudo se trabaja con haces de -módulos , donde es la estructura haz de . Entonces el funtor es inadecuado, porque en general ni siquiera da haces de -módulos. Para remediar esto, se define en esta situación para un haz de -módulos su imagen inversa por ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$.

Propiedades

• Si bien es más complicado de definir que , los tallos son más fáciles de calcular: dado un punto , uno tiene . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$es un funtor exacto , como se puede ver en el cálculo anterior de los tallos.
• ${\displaystyle f^{*}}$es (en general) solo exacto. Si es exacto, f se llama plano . ${\displaystyle f^{*}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$es el adjunto izquierdo del funtor de imagen directa . Esto implica que existen morfismos naturales de unidad y counidad y . Estos morfismos producen una correspondencia de adjunción natural: ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

Sin embargo, los morfismos y casi nunca son isomorfismos. Por ejemplo, si denota la inclusión de un subconjunto cerrado, el tallo de en un punto es canónicamente isomorfo a si está en y en otro caso. Una adjunción similar se aplica al caso de haces de módulos, reemplazando por . ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i^{-1}}$ ${\displaystyle i^{*}}$

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de haces , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, Sr.  0842190. Véase la sección II.4.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157