Giro (física)

Propiedad cuántica intrínseca de las partículas

El espín es una forma intrínseca del momento angular transportado por partículas elementales y, por lo tanto, por partículas compuestas como los hadrones , los núcleos atómicos y los átomos. ^{[1] [2] : 183–184} El espín está cuantizado y los modelos precisos para la interacción con el espín requieren mecánica cuántica relativista o teoría cuántica de campos .

La existencia del momento angular del espín del electrón se infiere de experimentos, como el experimento de Stern-Gerlach , en el que se observó que los átomos de plata poseen dos posibles momentos angulares discretos a pesar de no tener momento angular orbital. ^[3] El teorema relativista de estadística de espín conecta la cuantificación del espín del electrón con el principio de exclusión de Pauli : las observaciones de exclusión implican espín y las observaciones de espín implican exclusión.

El espín se describe matemáticamente como un vector para algunas partículas como los fotones, y como espinores y biespinores para otras partículas como los electrones. Los espinores y biespinores se comportan de manera similar a los vectores : tienen magnitudes definidas y cambian con las rotaciones; sin embargo, utilizan una "dirección" no convencional. Todas las partículas elementales de un tipo dado tienen la misma magnitud de momento angular de espín, aunque su dirección puede cambiar. Esto se indica asignando a la partícula un número cuántico de espín . ^{[2] : 183–184}

Las unidades del SI para el espín son las mismas que las del momento angular clásico (es decir, N · m · s , J · s o kg · m ² · s ⁻¹ ). En mecánica cuántica, el momento angular y el momento angular del espín toman valores discretos proporcionales a la constante de Planck . En la práctica, el espín suele expresarse como un número cuántico de espín adimensional dividiendo el momento angular del espín por la constante de Planck reducida ħ . A menudo, el "número cuántico de espín" se denomina simplemente "espín".

Modelos

Masa cargada rotatoria

Los primeros modelos para el espín del electrón imaginaban una masa cargada rotatoria, pero este modelo falla cuando se examina en detalle: la distribución espacial requerida no coincide con los límites del radio del electrón : la velocidad de rotación requerida excede la velocidad de la luz. ^[4] En el Modelo Estándar , las partículas fundamentales se consideran todas "puntuales": tienen sus efectos a través del campo que las rodea. ^[5] Cualquier modelo para el espín basado en la rotación de masa necesitaría ser consistente con ese modelo.

La «doble-valoración clásicamente indescriptible» de Pauli

Wolfgang Pauli , una figura central en la historia del espín cuántico, inicialmente rechazó cualquier idea de que el "grado de libertad" que introdujo para explicar las observaciones experimentales estuviera relacionado con la rotación. Lo llamó "doble valor clásicamente no descriptible". Más tarde aceptó que está relacionado con el momento angular, pero insistió en considerar el espín como una propiedad abstracta. ^[6] Este enfoque le permitió a Pauli desarrollar una prueba de su principio fundamental de exclusión de Pauli , una prueba ahora llamada teorema de estadística de espín . ^[7] En retrospectiva, esta insistencia y el estilo de su prueba iniciaron la era de la física de partículas moderna, donde dominan las propiedades cuánticas abstractas derivadas de las propiedades de simetría. La interpretación concreta se volvió secundaria y opcional. ^[6]

Circulación de campos clásicos

El primer modelo clásico para el espín propuso una partícula pequeña y rígida que rota alrededor de un eje, como el uso ordinario de la palabra puede sugerir. El momento angular también puede calcularse a partir de un campo clásico. ^{[8] [9] : 63} Al aplicar el enfoque de Frederik Belinfante para calcular el momento angular de un campo, Hans C. Ohanian demostró que "el espín es esencialmente una propiedad ondulatoria... generada por un flujo circulante de carga en el campo ondulatorio del electrón". ^[10] Este mismo concepto de espín puede aplicarse a las ondas de gravedad en el agua: "el espín se genera por el movimiento circular de partículas de agua por debajo de la longitud de onda". ^[11]

A diferencia de la circulación clásica de campos de ondas, que permite valores continuos de momento angular, los campos de ondas cuánticos solo permiten valores discretos. ^[10] En consecuencia, la transferencia de energía hacia o desde estados de espín siempre ocurre en pasos cuánticos fijos. Solo se permiten unos pocos pasos: para muchos propósitos cualitativos, la complejidad de los campos de ondas cuánticos de espín se puede ignorar y las propiedades del sistema se pueden discutir en términos de modelos de espín "enteros" o "semienteros", como se analiza en los números cuánticos a continuación.

El electrón relativista de Dirac

Los cálculos cuantitativos de las propiedades de espín de los electrones requieren la ecuación de onda relativista de Dirac . ^[7]

Relación con el momento angular orbital

Como sugiere el nombre, el espín se concibió originalmente como la rotación de una partícula alrededor de un eje. Históricamente, el momento angular orbital estaba relacionado con las órbitas de las partículas. ^{[12] : 131} Si bien los nombres basados ​​en modelos mecánicos han sobrevivido, la explicación física no. La cuantificación altera fundamentalmente el carácter tanto del espín como del momento angular orbital.

Como las partículas elementales son puntuales, la autorrotación no está bien definida para ellas. Sin embargo, el espín implica que la fase de la partícula depende del ángulo como , para la rotación del ángulo θ alrededor del eje paralelo al espín S . Esto es equivalente a la interpretación mecánico-cuántica del momento como dependencia de la fase en la posición, y del momento angular orbital como dependencia de la fase en la posición angular. ${\displaystyle e^{iS\theta }}$

Para los fermiones, la imagen es menos clara. La velocidad angular es igual por el teorema de Ehrenfest a la derivada del hamiltoniano a su momento conjugado , que es el operador de momento angular total J = L + S . Por lo tanto, si el hamiltoniano H depende del espín S , dH / dS es distinto de cero, y el espín causa velocidad angular, y por lo tanto rotación real, es decir, un cambio en la relación ángulo de fase a lo largo del tiempo. Sin embargo, si esto se cumple para el electrón libre es ambiguo, ya que para un electrón, S ² es constante y, por lo tanto, es una cuestión de interpretación si el hamiltoniano incluye tal término. Sin embargo, el espín aparece en la ecuación de Dirac , y por lo tanto el hamiltoniano relativista del electrón, tratado como un campo de Dirac , puede interpretarse como que incluye una dependencia en el espín S . ^[9]

Número cuántico

El espín obedece a las leyes matemáticas de cuantificación del momento angular . Las propiedades específicas de los momentos angulares del espín incluyen:

• Los números cuánticos de espín pueden tomar valores enteros o semienteros.
• Aunque la dirección de su giro se puede cambiar, la magnitud del giro de una partícula elemental no se puede cambiar.
• El giro de una partícula cargada está asociado a un momento dipolar magnético con un factor g que difiere de 1. (En el contexto clásico, esto implicaría que las distribuciones de carga interna y masa difieren para un objeto giratorio. ^[4] )

La definición convencional del número cuántico de espín es s = ⁠norte/2⁠ , donde n puede ser cualquier entero no negativo . Por lo tanto, los valores permitidos de s son 0, ⁠1/21 , ⁠3/2⁠ , 2, etc. El valor de s para una partícula elemental depende únicamente del tipo de partícula y no puede alterarse de ninguna manera conocida (a diferencia de la dirección de espín descrita a continuación). El momento angular de espín S de cualquier sistema físico está cuantizado . Los valores permitidos de S son donde h es la constante de Planck y es la constante de Planck reducida. Por el contrario, el momento angular orbital solo puede tomar valores enteros de s ; es decir, valores pares de n . $${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

Fermiones y bosones

Aquellas partículas con espines semienteros, como ⁠1/2⁠ , ⁠3/2⁠ , ⁠5/2⁠ , se conocen como fermiones , mientras que aquellas partículas con espines enteros, como 0, 1, 2, se conocen como bosones . Las dos familias de partículas obedecen a diferentes reglas y, en términos generales, tienen diferentes roles en el mundo que nos rodea. Una distinción clave entre las dos familias es que los fermiones obedecen al principio de exclusión de Pauli : es decir, no puede haber dos fermiones idénticos que tengan simultáneamente los mismos números cuánticos (es decir, que tengan, aproximadamente, la misma posición, velocidad y dirección de espín). Los fermiones obedecen a las reglas de la estadística de Fermi-Dirac . Por el contrario, los bosones obedecen a las reglas de la estadística de Bose-Einstein y no tienen tal restricción, por lo que pueden "agruparse" en estados idénticos. Además, las partículas compuestas pueden tener espines diferentes de sus partículas componentes. Por ejemplo, un átomo de helio-4 en el estado fundamental tiene espín 0 y se comporta como un bosón, aunque los quarks y electrones que lo componen son todos fermiones.

Esto tiene algunas consecuencias profundas:

• Los quarks y los leptones (incluidos los electrones y los neutrinos ), que forman lo que clásicamente se conoce como materia , son todos fermiones con espín  ⁠1/2⁠ . La idea común de que "la materia ocupa espacio" en realidad proviene del principio de exclusión de Pauli que actúa sobre estas partículas para evitar que los fermiones estén en el mismo estado cuántico. Una mayor compactación requeriría que los electrones ocuparan los mismos estados de energía y, por lo tanto, un tipo de presión (a veces conocida como presión de degeneración de electrones ) actúa para resistir que los fermiones estén demasiado cerca.
  Fermiones elementales con otros espines ( ⁠3/2⁠ , ⁠5/2, etc.) no se sabe que existan.
• Las partículas elementales que se consideran portadoras de fuerzas son todas bosones con espín 1. Entre ellas se incluyen el fotón , que transporta la fuerza electromagnética , el gluón ( fuerza fuerte ) y los bosones W y Z ( fuerza débil ). La capacidad de los bosones de ocupar el mismo estado cuántico se utiliza en el láser , que alinea muchos fotones que tienen el mismo número cuántico (la misma dirección y frecuencia), el helio líquido superfluido resultante de átomos de helio-4 que son bosones, y la superconductividad , donde pares de electrones (que individualmente son fermiones) actúan como bosones compuestos individuales.
  Históricamente no se sabía que existieran bosones elementales con otros espines (0, 2, 3, etc.), aunque han recibido un tratamiento teórico considerable y están bien establecidos dentro de sus respectivas teorías principales. En particular, los teóricos han propuesto el gravitón (cuya existencia se predice según algunas teorías de la gravedad cuántica ) con espín 2, y el bosón de Higgs (que explica la ruptura de la simetría electrodébil ) con espín 0. Desde 2013, se ha considerado probada la existencia del bosón de Higgs con espín 0. ^[13] Es la primera partícula elemental escalar (espín 0) conocida que existe en la naturaleza.
• Los núcleos atómicos tienen un espín nuclear que puede ser semientero o entero, de modo que los núcleos pueden ser fermiones o bosones.

Teorema de estadística de espín

El teorema de espín-estadística divide las partículas en dos grupos: bosones y fermiones , donde los bosones obedecen a la estadística de Bose-Einstein y los fermiones obedecen a la estadística de Fermi-Dirac (y por lo tanto al principio de exclusión de Pauli ). Específicamente, el teorema requiere que las partículas con espines semienteros obedezcan al principio de exclusión de Pauli mientras que las partículas con espín entero no lo hagan. Como ejemplo, los electrones tienen espín semientero y son fermiones que obedecen al principio de exclusión de Pauli, mientras que los fotones tienen espín entero y no lo hacen. El teorema fue derivado por Wolfgang Pauli en 1940; se basa tanto en la mecánica cuántica como en la teoría de la relatividad especial . Pauli describió esta conexión entre el espín y la estadística como "una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la relatividad especial". ^[14]

Momentos magnéticos

Diagrama esquemático que representa el giro del neutrón como la flecha negra y las líneas de campo magnético asociadas con el momento magnético del neutrón . El neutrón tiene un momento magnético negativo. Mientras que el giro del neutrón es ascendente en este diagrama, las líneas de campo magnético en el centro del dipolo son descendentes.

Las partículas con espín pueden poseer un momento dipolar magnético , al igual que un cuerpo giratorio cargado eléctricamente en la electrodinámica clásica . Estos momentos magnéticos se pueden observar experimentalmente de varias maneras, por ejemplo, mediante la desviación de partículas por campos magnéticos no homogéneos en un experimento de Stern-Gerlach , o midiendo los campos magnéticos generados por las propias partículas.

El momento magnético intrínseco μ de un espín1/2⁠ partícula con carga q , masa m y momento angular de espín S , es ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

donde la cantidad adimensional g _s se denomina factor g de espín . Para rotaciones exclusivamente orbitales sería 1 (suponiendo que la masa y la carga ocupan esferas de igual radio).

El electrón, al ser una partícula elemental cargada, posee un momento magnético distinto de cero . Uno de los triunfos de la teoría de la electrodinámica cuántica es su predicción precisa del factor g del electrón , que se ha determinado experimentalmente que tiene el valor−2.002 319 304 360 92 (36) , con los dígitos entre paréntesis denotando la incertidumbre de la medición en los dos últimos dígitos en una desviación estándar . ‍ [ ^16] El valor de 2 surge de la ecuación de Dirac , una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas y la desviación de-2 surge de la interacción del electrón con los campos cuánticos circundantes, incluido su propio campo electromagnético y partículas virtuales. ^[17]

Las partículas compuestas también poseen momentos magnéticos asociados a su espín. En particular, el neutrón posee un momento magnético distinto de cero a pesar de ser eléctricamente neutro. Este hecho fue un indicio temprano de que el neutrón no es una partícula elemental. De hecho, está formado por quarks , que son partículas cargadas eléctricamente. El momento magnético del neutrón proviene de los espines de los quarks individuales y sus movimientos orbitales.

Los neutrinos son elementos elementales y eléctricamente neutros. El Modelo Estándar mínimamente extendido que tiene en cuenta masas de neutrinos distintas de cero predice momentos magnéticos de neutrinos de: ^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

donde μ _ν son los momentos magnéticos de los neutrinos, m _ν son las masas de los neutrinos y μ _B es el magnetón de Bohr . Sin embargo, la nueva física por encima de la escala electrodébil podría conducir a momentos magnéticos de neutrinos significativamente más altos. Se puede demostrar de una manera independiente del modelo que los momentos magnéticos de neutrinos mayores de aproximadamente 10 ⁻¹⁴  μ _B son "antinaturales" porque también conducirían a grandes contribuciones radiativas a la masa del neutrino. Dado que se sabe que las masas de los neutrinos son como máximo de aproximadamente1 eV/ c ² , sería necesario un ajuste fino para evitar grandes contribuciones a la masa del neutrino a través de correcciones radiativas. ^[21] La medición de los momentos magnéticos de los neutrinos es un área activa de investigación. Los resultados experimentales han situado el momento magnético del neutrino en menos de1,2 × 10 ⁻¹⁰  veces el momento magnético del electrón.

Por otro lado, las partículas elementales con espín pero sin carga eléctrica, como un fotón o un bosón Z , no tienen momento magnético.

Temperatura de Curie y pérdida de alineación

En los materiales ordinarios, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales producen campos magnéticos que se cancelan entre sí, porque cada dipolo apunta en una dirección aleatoria, siendo el promedio general muy cercano a cero. Sin embargo, los materiales ferromagnéticos por debajo de su temperatura de Curie presentan dominios magnéticos en los que los momentos dipolares atómicos se alinean espontáneamente de forma local, lo que produce un campo magnético macroscópico distinto de cero a partir del dominio. Éstos son los "imanes" ordinarios con los que todos estamos familiarizados.

En los materiales paramagnéticos , los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinearán parcialmente con un campo magnético aplicado externamente. En cambio, en los materiales diamagnéticos , los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinean de manera opuesta a cualquier campo magnético aplicado externamente, incluso si se requiere energía para hacerlo.

El estudio del comportamiento de estos " modelos de espín " es un área de investigación en auge en la física de la materia condensada . Por ejemplo, el modelo de Ising describe espines (dipolos) que tienen solo dos estados posibles, arriba y abajo, mientras que en el modelo de Heisenberg se permite que el vector de espín apunte en cualquier dirección. Estos modelos tienen muchas propiedades interesantes, que han llevado a resultados interesantes en la teoría de las transiciones de fase .

Dirección

Número cuántico y multiplicidad de proyección de espín

En la mecánica clásica, el momento angular de una partícula posee no sólo una magnitud (qué tan rápido gira el cuerpo), sino también una dirección (hacia arriba o hacia abajo en el eje de rotación de la partícula). El espín de la mecánica cuántica también contiene información sobre la dirección, pero en una forma más sutil. La mecánica cuántica establece que el componente del momento angular de una partícula con espín medido a lo largo de cualquier dirección sólo puede adoptar los valores ^[22]

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

donde S _i es el componente de espín a lo largo del eje i (ya sea x , y o z ), s _i es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje i , y s es el número cuántico de espín principal (discutido en la sección anterior). Convencionalmente, la dirección elegida es el  eje z :

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

donde S _z es el componente de espín a lo largo del eje z  , s _z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje z  .

Se puede ver que hay 2 s + 1 valores posibles de s _z . El número " 2 s + 1 " es la multiplicidad del sistema de espín. Por ejemplo, solo hay dos valores posibles para un espín-1/2partícula : s _z = +1/2⁠ y s _z = − ⁠1/2⁠ . Estos corresponden a estados cuánticos en los que el componente de espín apunta en las direcciones + z o − z respectivamente, y a menudo se los denomina "espín hacia arriba" y "espín hacia abajo". Para un espín- ⁠3/2Partícula , como un barión delta , los valores posibles son +3/2⁠ , + ⁠1/2⁠ , − ⁠1/2⁠ , − ⁠3/2⁠ .

Vector

Un único punto en el espacio puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de una rotación de 360 ​​grados, la espiral cambia entre las orientaciones en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj. Vuelve a su configuración original después de girar 720° .

Para un estado cuántico dado , se podría pensar en un vector de espín cuyos componentes son los valores esperados de los componentes de espín a lo largo de cada eje, es decir, . Este vector describiría entonces la "dirección" en la que apunta el espín, correspondiente al concepto clásico del eje de rotación . Resulta que el vector de espín no es muy útil en los cálculos mecánico-cuánticos reales, porque no se puede medir directamente: s _x , s _y y s _z no pueden poseer valores definidos simultáneos, debido a una relación de incertidumbre cuántica entre ellos. Sin embargo, para colecciones estadísticamente grandes de partículas que se han colocado en el mismo estado cuántico puro, como mediante el uso de un aparato de Stern-Gerlach , el vector de espín tiene un significado experimental bien definido: especifica la dirección en el espacio ordinario en la que se debe orientar un detector posterior para lograr la máxima probabilidad posible (100%) de detectar cada partícula en la colección. Para espín- ${\textstyle \langle S\rangle }$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$1/2⁠ partículas, esta probabilidad disminuye suavemente a medida que aumenta el ángulo entre el vector de espín y el detector, hasta que en un ángulo de 180° (es decir, para detectores orientados en la dirección opuesta al vector de espín) la expectativa de detectar partículas de la colección alcanza un mínimo de 0%.

Como concepto cualitativo, el vector de espín suele ser útil porque es fácil de representar clásicamente. Por ejemplo, el espín mecánico cuántico puede exhibir fenómenos análogos a los efectos giroscópicos clásicos . Por ejemplo, se puede ejercer una especie de " torque " sobre un electrón al ponerlo en un campo magnético (el campo actúa sobre el momento dipolar magnético intrínseco del electrón ; consulte la sección siguiente). El resultado es que el vector de espín experimenta precesión , al igual que un giroscopio clásico. Este fenómeno se conoce como resonancia de espín electrónico (ESR). El comportamiento equivalente de los protones en los núcleos atómicos se utiliza en la espectroscopia y la obtención de imágenes por resonancia magnética nuclear (RMN).

Matemáticamente, los estados de espín de la mecánica cuántica se describen mediante objetos similares a vectores conocidos como espinores . Existen diferencias sutiles entre el comportamiento de los espinores y los vectores bajo rotaciones de coordenadas . Por ejemplo, rotar un espín1/2⁠ Una partícula de espín 360° no la devuelve al mismo estado cuántico, sino al estado con la fase cuántica opuesta ; esto es detectable, en principio, con experimentos de interferencia . Para devolver la partícula a su estado original exacto, se necesita una rotación de 720°. (El truco de la placa y la banda de Möbius dan analogías no cuánticas). Una partícula de espín cero solo puede tener un único estado cuántico, incluso después de aplicar un par. Girar una partícula de espín 2 180° puede devolverla al mismo estado cuántico, y una partícula de espín 4 debe rotarse 90° para devolverla al mismo estado cuántico. La partícula de espín 2 puede ser análoga a un palo recto que parece igual incluso después de rotarlo 180°, y una partícula de espín 0 puede imaginarse como una esfera, que parece igual después de cualquier ángulo en el que se gire.

Formulación matemática

Operador

El espín obedece a relaciones de conmutación ^[23] análogas a las del momento angular orbital : donde ε _jkl es el símbolo de Levi-Civita . De ello se deduce (como con el momento angular ) que los vectores propios de y (expresados ​​como kets en la base S total ) son ^{[2] : 166} $${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

Los operadores de elevación y descenso de espín que actúan sobre estos vectores propios dan donde . ^{[2] : 166} $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

Pero a diferencia del momento angular orbital, los vectores propios no son armónicos esféricos . No son funciones de θ y φ . Tampoco hay razón para excluir valores semienteros de s y m _s .

Todas las partículas mecánico-cuánticas poseen un espín intrínseco (aunque este valor puede ser igual a cero). La proyección del espín sobre cualquier eje se cuantifica en unidades de la constante de Planck reducida , de modo que la función de estado de la partícula no es, por ejemplo, , sino , donde puede tomar únicamente los valores del siguiente conjunto discreto: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$ ${\displaystyle s_{z}}$ $${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

Se distinguen bosones (con espín entero) y fermiones (con espín semientero). El momento angular total conservado en los procesos de interacción es entonces la suma del momento angular orbital y el espín.

Matrices de Pauli

Los operadores mecánico-cuánticos asociados con el espín1/2Los observables son donde están los componentes cartesianos $${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$ $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

Para el caso especial de espín-1/2Las partículas σ _x , σ _y y σ _z son las tres matrices de Pauli : $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Principio de exclusión de Pauli

El principio de exclusión de Pauli establece que la función de onda de un sistema de N partículas idénticas que tienen espines s debe cambiar al intercambiarse cualesquiera dos de las N partículas como ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$ $${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

Así, para los bosones el prefactor (−1) ^{2 s} se reducirá a +1, para los fermiones a −1. Este postulado de permutación para funciones de estado de N partículas tiene consecuencias muy importantes en la vida diaria, por ejemplo, en la tabla periódica de los elementos químicos.

Rotaciones

Como se describió anteriormente, la mecánica cuántica establece que los componentes del momento angular medidos a lo largo de cualquier dirección solo pueden tomar un número de valores discretos. Por lo tanto, la descripción mecánico-cuántica más conveniente del espín de una partícula es con un conjunto de números complejos correspondientes a las amplitudes de encontrar un valor dado de proyección de su momento angular intrínseco sobre un eje dado. Por ejemplo, para un espín-1/2partícula , necesitaríamos dos números a _±1/2 , dando amplitudes de encontrándola con proyección de momento angular igual a + ⁠Yo/2⁠ y − ⁠Yo/2⁠ , satisfaciendo el requisito $${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

Para una partícula genérica con espín s , necesitaríamos 2 s + 1 de estos parámetros. Como estos números dependen de la elección del eje, se transforman entre sí de manera no trivial cuando se rota este eje. Está claro que la ley de transformación debe ser lineal, por lo que podemos representarla asociando una matriz a cada rotación, y el producto de dos matrices de transformación correspondientes a las rotaciones A y B debe ser igual (hasta la fase) a la matriz que representa la rotación AB. Además, las rotaciones preservan el producto interno mecánico-cuántico, y lo mismo deberían hacer nuestras matrices de transformación: $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

Matemáticamente hablando, estas matrices proporcionan una representación proyectiva unitaria del grupo de rotación SO(3) . Cada una de estas representaciones corresponde a una representación del grupo de recubrimiento de SO(3), que es SU(2) . ^[24] Hay una representación irreducible n- dimensional de SU(2) para cada dimensión, aunque esta representación es real n -dimensional para n impar y compleja n -dimensional para n par (por tanto, de dimensión real 2 n ). Para una rotación por un ángulo θ en el plano con vector normal , donde , y S es el vector de operadores de espín. ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ $${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Prueba

Trabajando en el sistema de coordenadas donde , nos gustaría demostrar que S _x y S _y están rotadas entre sí por el ángulo θ . Comenzando con S _x . Utilizando unidades donde ħ = 1 : ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\cdots \end{aligned}}}$$

Usando las relaciones de conmutación del operador de espín, vemos que los conmutadores evalúan a i S _y para los términos impares en la serie, y a S _x para todos los términos pares. Por lo tanto: como se esperaba. Nótese que dado que solo nos basamos en las relaciones de conmutación del operador de espín, esta prueba es válida para cualquier dimensión (es decir, para cualquier número cuántico de espín principal s ) ^{[25] : 164} $${\displaystyle {\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

Se puede construir una rotación genérica en el espacio tridimensional combinando operadores de este tipo utilizando ángulos de Euler : $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

Una representación irreducible de este grupo de operadores la proporciona la matriz D de Wigner : donde es la matriz D pequeña de Wigner . Nótese que para γ = 2π y α = β = 0 ; es decir, una rotación completa sobre el eje z  , los elementos de la matriz D de Wigner se convierten en $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$ $${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$ $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

Recordando que un estado de espín genérico puede escribirse como una superposición de estados con m definido , vemos que si s es un entero, los valores de m son todos enteros, y esta matriz corresponde al operador identidad. Sin embargo, si s es un semientero, los valores de m también son todos semienteros, dando (−1) ^{2 m} = −1 para todo m y, por lo tanto, al rotar 2 π el estado adquiere un signo negativo. Este hecho es un elemento crucial de la prueba del teorema de estadística de espín .

Transformaciones de Lorentz

Podríamos intentar el mismo enfoque para determinar el comportamiento del espín bajo transformaciones generales de Lorentz , pero descubriríamos inmediatamente un obstáculo importante. A diferencia de SO(3), el grupo de transformaciones de Lorentz SO(3,1) no es compacto y, por lo tanto, no tiene ninguna representación fiel, unitaria y de dimensión finita.

En caso de centrifugado-1/2⁠ partículas, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar que se conserva mediante esta representación. Asociamos un espinor de Dirac de 4 componentes ψ con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz de acuerdo con la ley donde γ _ν son matrices gamma y ω _μν es una matriz antisimétrica 4 × 4 que parametriza la transformación. Se puede demostrar que el producto escalar se conserva. Sin embargo, no es positivo-definido, por lo que la representación no es unitaria. $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

Medición del giro a lo largo de laincógnita,y, oelejes

Cada una de las matrices de Pauli ( hermíticas ) de espín-1/2Las partículas tienen dos valores propios , +1 y −1. Los vectores propios normalizados correspondientes son $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(Dado que cualquier vector propio multiplicado por una constante sigue siendo un vector propio, existe una ambigüedad sobre el signo general. En este artículo, se elige la convención de hacer que el primer elemento sea imaginario y negativo si hay una ambigüedad de signo. La presente convención es utilizada por software como SymPy ; mientras que muchos libros de texto de física, como Sakurai y Griffiths, prefieren hacerla real y positiva).

Según los postulados de la mecánica cuántica , un experimento diseñado para medir el espín del electrón en el eje x , y o z  solo puede producir un valor propio del operador de espín correspondiente ( S _x , S _y o S _z ) en ese eje, es decirYo/2⁠ o – ⁠Yo/2El estado cuántico de una partícula (con respecto al espín), se puede representar mediante un espinor de dos componentes: $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

Cuando se mide el giro de esta partícula con respecto a un eje dado (en este ejemplo, el eje x  ), la probabilidad de que su giro se mida como ⁠Yo/2⁠ es simplemente. En consecuencia, la probabilidad de que su giro se mida como – ⁠ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$Yo/2⁠ es simplemente. Después de la medición, el estado de espín de la partícula colapsa en el estado propio correspondiente. Como resultado, si se ha medido que el espín de la partícula a lo largo de un eje dado tiene un valor propio dado, todas las mediciones arrojarán el mismo valor propio (ya que, etc.), siempre que no se realicen mediciones del espín a lo largo de otros ejes. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

Medición del giro a lo largo de un eje arbitrario

El operador para medir el espín a lo largo de una dirección de eje arbitraria se obtiene fácilmente a partir de las matrices de espín de Pauli. Sea u = ( u _x , u _y , u _z ) un vector unitario arbitrario. Entonces el operador para el espín en esta dirección es simplemente $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

El operador S _u tiene valores propios de ± ⁠Yo/2⁠ , al igual que las matrices de espín habituales. Este método para encontrar el operador para el espín en una dirección arbitraria se generaliza a estados de espín superiores; se toma el producto escalar de la dirección con un vector de los tres operadores para las tresdirecciones de los ejes x , y , z .

Un espinor normalizado para el espín1/2⁠ en la dirección ( u _x , u _y , u _z ) (que funciona para todos los estados de espín excepto el espín hacia abajo, donde dará ⁠0/0⁠ ) ​​es $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

El espinor anterior se obtiene de la forma habitual diagonalizando la matriz σ _u y hallando los estados propios correspondientes a los valores propios. En mecánica cuántica, los vectores se denominan "normalizados" cuando se multiplican por un factor de normalización, lo que da como resultado que el vector tenga una longitud de unidad.

Compatibilidad de las mediciones de espín

Dado que las matrices de Pauli no conmutan , las mediciones del espín a lo largo de los diferentes ejes son incompatibles. Esto significa que si, por ejemplo, conocemos el espín a lo largo del eje x  y luego medimos el espín a lo largo del eje y  , hemos invalidado nuestro conocimiento previo del espín del eje x  . Esto se puede ver a partir de la propiedad de los vectores propios (es decir, estados propios) de las matrices de Pauli que $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Entonces, cuando los físicos miden el giro de una partícula a lo largo del eje x  como, por ejemplo ,Yo/2⁠ , el estado de espín de la partícula colapsa en el estado propio. Cuando posteriormente medimos el espín de la partícula a lo largo del eje y  , el estado de espín colapsará ahora en o,cada uno con probabilidad ⁠ ${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$1/2⁠ . Digamos, en nuestro ejemplo, que medimos − ⁠Yo/2⁠ . Cuando volvemos a medir el giro de la partícula a lo largo del eje x  nuevamente, las probabilidades de que midamos ⁠Yo/2⁠ o − ⁠Yo/2son cada uno1/2⁠ (es decir, son y respectivamente). Esto implica que la medición original del espín a lo largo del eje x  ya no es válida, ya que ahora se medirá que el espín a lo largo del eje x  tiene cualquiera de los valores propios con igual probabilidad. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

Giros más altos

El giro-1/2⁠ operador S = ⁠Yo/2⁠ σ forma la representación fundamental de SU(2) . Al tomar productos de Kronecker de esta representación consigo misma repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreducibles superiores. Es decir, los operadores de espín resultantes para sistemas de espín superior en tres dimensiones espaciales se pueden calcular para s arbitrariamente grandes utilizando este operador de espín y operadores de escalera . Por ejemplo, tomando el producto de Kronecker de dos espín- ⁠1/2⁠ produce una representación de cuatro dimensiones, que se puede separar en una representación de espín 1 tridimensional ( estados triplete ) y una representación de espín 0 unidimensional ( estado singlete ).

Las representaciones irreducibles resultantes producen las siguientes matrices de espín y valores propios en la base z:

1. Para el giro 1 son $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$
2. Para girar3/2⁠ ellos son $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$
3. Para girar5/2⁠ ellos son $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$
4. La generalización de estas matrices para espines arbitrarios es donde los índices son números enteros tales que $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle 1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.}$$

También útil en la mecánica cuántica de sistemas multipartículas, el grupo general de Pauli G _n se define como formado por todos los productos tensoriales n -veces de las matrices de Pauli.

La fórmula análoga de la fórmula de Euler en términos de las matrices de Pauli para espines más altos es manejable, pero menos simple. ^[26] $${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

Paridad

En las tablas de números cuánticos de espín para núcleos o partículas, el espín suele ir seguido de un "+" o "−". ^{[ cita requerida ]} Esto se refiere a la paridad con "+" para paridad par (función de onda sin cambios por inversión espacial) y "−" para paridad impar (función de onda negada por inversión espacial). Por ejemplo, véase los isótopos del bismuto , en los que la lista de isótopos incluye la columna de espín nuclear y paridad. Para Bi-209, el isótopo de vida más larga, la entrada 9/2– significa que el espín nuclear es 9/2 y la paridad es impar.

Medición del giro

El espín nuclear de los átomos se puede determinar mediante mejoras sofisticadas del experimento original de Stern-Gerlach . ^[27] Un haz molecular de átomos de energía única (monocromático) en un campo magnético no homogéneo se dividirá en haces que representan cada posible estado cuántico de espín. Para un átomo con espín electrónico S y espín nuclear I , hay (2 S + 1)(2 I + 1) estados de espín. Por ejemplo, los átomos neutros de Na , que tienen S = 1/2 , se pasaron a través de una serie de campos magnéticos no homogéneos que seleccionaron uno de los dos estados de espín electrónico y separaron los estados de espín nuclear, de los cuales se observaron cuatro haces. Por lo tanto, se encontró que el espín nuclear para ²³ átomos de Na era I = 3/2 . ^{[28] [29]}

El espín de los piones , un tipo de partícula elemental, se determinó mediante el principio de equilibrio detallado aplicado a las colisiones de protones que produjeron piones cargados y deuterio . Los valores de espín conocidos para los protones y el deuterio permiten el análisis de la sección transversal de la colisión para mostrar que tiene espín . Se necesita un enfoque diferente para los piones neutros. En ese caso, la reacción de desintegración en dos fotones de rayos gamma con espín uno: Estos resultados, complementados con un análisis adicional, conducen a la conclusión de que el pión neutro también tiene espín cero. ^{[30] : 66} $${\displaystyle p+p\rightarrow \pi _{-}+d}$$ ${\displaystyle \pi _{-}}$ ${\displaystyle s_{\pi }=0}$ $${\displaystyle \pi _{0}\rightarrow 2\gamma }$$

Aplicaciones

El espín tiene importantes implicaciones teóricas y aplicaciones prácticas. Entre las aplicaciones directas del espín bien establecidas se incluyen:

• Espectroscopia de resonancia magnética nuclear (RMN) en química;
• Espectroscopia de resonancia de espín electrónico (ESR o EPR) en química y física;
• La resonancia magnética (RM) en medicina, un tipo de RMN aplicada, que se basa en la densidad de giro de los protones;
• Tecnología de cabezal de unidad magnetorresistivo gigante (GMR) en discos duros modernos .

El espín del electrón desempeña un papel importante en el magnetismo , con aplicaciones, por ejemplo, en las memorias de ordenador. La manipulación del espín nuclear mediante ondas de radiofrecuencia ( resonancia magnética nuclear ) es importante en la espectroscopia química y en la obtención de imágenes médicas.

El acoplamiento espín-órbita conduce a la estructura fina de los espectros atómicos, que se utiliza en los relojes atómicos y en la definición moderna del segundo . Las mediciones precisas del factor g del electrón han desempeñado un papel importante en el desarrollo y la verificación de la electrodinámica cuántica . El espín del fotón está asociado con la polarización de la luz ( polarización fotónica ).

Una aplicación emergente del espín es como portador de información binaria en transistores de espín . El concepto original, propuesto en 1990, se conoce como transistor de espín Datta-Das . ^[31] La electrónica basada en transistores de espín se conoce como espintrónica . La manipulación del espín en materiales semiconductores magnéticos diluidos , como ZnO dopado con metal o TiO ₂ , imparte un grado adicional de libertad y tiene el potencial de facilitar la fabricación de electrónica más eficiente. ^[32]

Existen muchas aplicaciones y manifestaciones indirectas del espín y del principio de exclusión de Pauli asociado , empezando por la tabla periódica de la química.

Historia

Wolfgang Pauli dando una conferencia

El espín se descubrió por primera vez en el contexto del espectro de emisión de los metales alcalinos . A partir de 1910, muchos experimentos en diferentes átomos produjeron una colección de relaciones que involucraban números cuánticos para niveles de energía atómica parcialmente resumidos en el modelo de Bohr para el átomo ^{[33] : 106} Las transiciones entre niveles obedecían reglas de selección y se sabía que las reglas estaban correlacionadas con el número atómico par o impar . Se conocía información adicional a partir de cambios en los espectros atómicos observados en campos magnéticos fuertes, conocidos como el efecto Zeeman . En 1924, Wolfgang Pauli utilizó esta gran colección de observaciones empíricas para proponer un nuevo grado de libertad, ^[7] introduciendo lo que llamó una "dos valores no descriptible clásicamente" ^{[34] asociada con el electrón en la} capa más externa .

La interpretación física del "grado de libertad" de Pauli era inicialmente desconocida. Ralph Kronig , uno de los asistentes de Alfred Landé , sugirió a principios de 1925 que se producía por la autorotación del electrón. Cuando Pauli escuchó sobre la idea, la criticó severamente, señalando que la superficie hipotética del electrón tendría que moverse más rápido que la velocidad de la luz para que girara lo suficientemente rápido como para producir el momento angular necesario. Esto violaría la teoría de la relatividad . En gran parte debido a las críticas de Pauli, Kronig decidió no publicar su idea. ^[35]

En el otoño de 1925, los físicos holandeses George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit de la Universidad de Leiden tuvieron la misma idea . Bajo el consejo de Paul Ehrenfest , publicaron sus resultados. ^[36] Los jóvenes físicos lamentaron inmediatamente la publicación: tanto Hendrik Lorentz como Werner Heisenberg señalaron problemas con el concepto de electrón giratorio. ^[37]

Pauli no estaba muy convencido y siguió insistiendo en su grado de libertad de dos valores, lo que le permitió formular el principio de exclusión de Pauli , que afirma que no pueden existir dos electrones con el mismo estado cuántico en el mismo sistema cuántico.

Afortunadamente, en febrero de 1926, Llewellyn Thomas logró resolver una discrepancia de un factor de dos entre los resultados experimentales para la estructura fina en el espectro del hidrógeno y los cálculos basados ​​en el modelo de Uhlenbeck y Goudsmit (y el modelo inédito de Kronig). ^{[2] : 385} Esta discrepancia se debía a un efecto relativista, la diferencia entre el marco de reposo giratorio del electrón y el marco de reposo nuclear; el efecto ahora se conoce como precesión de Thomas . ^[7] El resultado de Thomas convenció a Pauli de que el espín del electrón era la interpretación correcta de su grado de libertad de dos valores, mientras que él continuó insistiendo en que el modelo clásico de carga rotatoria no es válido. ^{[34] [6]}

En 1927, Pauli formalizó la teoría del espín utilizando la teoría de la mecánica cuántica inventada por Erwin Schrödinger y Werner Heisenberg . Fue pionero en el uso de matrices de Pauli como representación de los operadores de espín e introdujo una función de onda espinorial de dos componentes .

La teoría del espín de Pauli no era relativista. En 1928, Paul Dirac publicó su ecuación electrónica relativista, utilizando un espín de cuatro componentes (conocido como " espín de Dirac ") para la función de onda del electrón. El espín relativista explicaba la anomalía giromagnética. En 1940, Pauli demostró el teorema de estadística de espín , que establece que los fermiones tienen espín semientero y los bosones tienen espín entero. ^[7]

En retrospectiva, la primera evidencia experimental directa del espín del electrón fue el experimento de Stern-Gerlach de 1922. Sin embargo, la explicación correcta de este experimento solo se dio en 1927. ^[38] La interpretación original asumió que las dos manchas observadas en el experimento se debían al momento angular orbital cuantificado . Sin embargo, en 1927 Ronald Fraser demostró que los átomos de sodio son isótropos sin momento angular orbital y sugirió que las propiedades magnéticas observadas se debían al espín del electrón. ^[39] En el mismo año, Phipps y Taylor aplicaron la técnica de Stern-Gerlach a los átomos de hidrógeno; el estado fundamental del hidrógeno tiene momento angular cero, pero las mediciones mostraron nuevamente dos picos. ^[40] Una vez que se estableció la teoría cuántica, quedó claro que la interpretación original no podía haber sido correcta: los posibles valores del momento angular orbital a lo largo de un eje son siempre un número impar, a diferencia de las observaciones. Los átomos de hidrógeno tienen un solo electrón con dos estados de espín que dan los dos puntos observados; Los átomos de plata tienen capas cerradas que no contribuyen al momento magnético y solo el espín del electrón externo no coincidente responde al campo.

Véase también

• Quiralidad (física)
• Polarización nuclear dinámica
• Helicidad (física de partículas)
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Teorema de Kramers
• Ecuación de Pauli
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Ecuación de Rarita-Schwinger
• Teoría de la representación de SU(2)
• Momento angular de giro de la luz
• Ingeniería de espín
• Giro y voltereta
• Isómeros de espín del hidrógeno
• Interacción espín-órbita
• Tensor de espín
• Espintrónica
• Onda de giro
• Yrast

Referencias

1. Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3.ª ed.). John Wiley & Sons. pp. 372–373. ISBN 978-0-471-88702-7.
2. Griffiths, David (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.).
3. Eisberg, Robert; Resnick, Robert (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). Wiley. págs. 272-273. ISBN 978-0-471-87373-0.
4. Sebens, Charles T. (noviembre de 2019). "Cómo giran los electrones". Estudios de historia y filosofía de la ciencia, parte B: Estudios de historia y filosofía de la física moderna . 68 : 40–50. arXiv : 1806.01121 . doi :10.1016/j.shpsb.2019.04.007. S2CID  51693779.
5. "Fermilab hoy". www.fnal.gov . Consultado el 16 de junio de 2023 .
6. Giulini, Domenico (1 de septiembre de 2008). "El espín del electrón o "doble valor clásicamente no descriptible"". Estudios de historia y filosofía de la ciencia, parte B: Estudios de historia y filosofía de la física moderna . 39 (3): 557–578. arXiv : 0710.3128 . doi :10.1016/j.shpsb.2008.03.005. ISSN  1355-2198.
7. Fröhlich, Jürg (2009). "Spin, o en realidad: Spin y estadísticas cuánticas". En Duplantier, Bertrand; Raimond, Jean-Michel; Rivasseau, Vicente (eds.). El giro. Progreso en física matemática, vol 55. Basilea: Birkhäuser Basel. págs. 1–60. doi :10.1007/978-3-7643-8799-0_1. ISBN 978-3-7643-8798-3.
8. Líder, Elliot; Lorcé, Cédric (20 de agosto de 2014). "La controversia del momento angular: ¿de qué se trata y tiene importancia?". Physics Reports . La controversia del momento angular: ¿de qué se trata y tiene importancia?. 541 (3): 163–248. arXiv : 1309.4235 . doi :10.1016/j.physrep.2014.02.010. ISSN  0370-1573.
9. Peskin, ME y Schroeder, DV (1995). Teoría cuántica de campos , cap. 3. El programa avanzado del libro.
10. Ohanian, Hans C. (1 de junio de 1986). "¿Qué es el espín?" (PDF) . American Journal of Physics . 54 (6): 500–505. Bibcode :1986AmJPh..54..500O. doi :10.1119/1.14580. ISSN  0002-9505.
11. Bliokh, Konstantin Y.; Punzmann, Horst; Xia, Hua; Nori, Franco; Shats, Michael (21 de enero de 2022). "Teoría de campo, giro y momento en ondas de agua". Science Advances . 8 (3): eabm1295. Bibcode :2022SciA....8.1295B. doi :10.1126/sciadv.abm1295. ISSN  2375-2548. PMC 8782445 . PMID  35061526. 
12. Whittaker, Sir Edmund (1 de enero de 1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . Vol. 2. Courier Dover Publications. pág. 87. ISBN 0-486-26126-3.
13. Información sobre el bosón de Higgs en el sitio web oficial del CERN .
14. Pauli, Wolfgang (1940). "La conexión entre el espín y la estadística" (PDF) . Phys. Rev . 58 (8): 716–722. Bibcode :1940PhRv...58..716P. doi :10.1103/PhysRev.58.716.
15. Física de átomos y moléculas, B. H. Bransden, C. J. Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2 . 
16. "Valor CODATA 2022: factor g del electrón". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
17. Feynman, RP (1985). "Los electrones y sus interacciones". QED: La extraña teoría de la luz y la materia . Princeton, Nueva Jersey : Princeton University Press . pág. 115. ISBN. 978-0-691-08388-9Después de algunos años , se descubrió que este valor [ − ⁠1/2⁠ g ] no era exactamente 1, sino un poco más, algo así como 1,00116. Esta corrección fue calculada por primera vez en 1948 por Schwinger como j × j dividido por 2 π [ sic ] [donde j es la raíz cuadrada de la constante de estructura fina ], y se debía a una forma alternativa en la que el electrón puede ir de un lugar a otro: en lugar de ir directamente de un punto a otro, el electrón avanza durante un tiempo y de repente emite un fotón; luego (¡horror!) absorbe su propio fotón.
18. Marciano, WJ ; Sanda, AI (1977). "Decaimientos exóticos del muón y los leptones pesados ​​en las teorías de calibración". Physics Letters . B67 (3): 303–305. Bibcode :1977PhLB...67..303M. doi :10.1016/0370-2693(77)90377-X.
19. Lee, BW ; Shrock, RE (1977). "Supresión natural de la violación de simetría en teorías de calibración: no conservación del número de muones y electrón-leptones". Physical Review . D16 (5): 1444–1473. Bibcode :1977PhRvD..16.1444L. doi :10.1103/PhysRevD.16.1444. S2CID  1430757.
20. K. Fujikawa; RE Shrock (1980). "Momento magnético de un neutrino masivo y rotación del espín del neutrino". Physical Review Letters . 45 (12): 963–966. Código Bibliográfico :1980PhRvL..45..963F. doi :10.1103/PhysRevLett.45.963.
21. Bell, NF; Cirigliano, V.; Ramsey-Musolf, M.; Vogel, P.; Wise, Mark; et al. (2005). "¿Qué tan magnético es el neutrino de Dirac?". Physical Review Letters . 95 (15): 151802. arXiv : hep-ph/0504134 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95o1802B. doi :10.1103/PhysRevLett.95.151802. PMID  16241715. S2CID  7832411.
22. Quanta: Un manual de conceptos, P. W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1 . 
23. Messiah, Albert (2014). "Momento angular en mecánica cuántica". Mecánica cuántica . Mineola, NY: Dover Publications. pág. 540. ISBN 978-1-306-51279-4.OCLC 874097814  .
24. BC Hall (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Springer. págs. 354–358.
25. Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2017). Mecánica cuántica moderna (PDF) (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42241-3.
26. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Una fórmula compacta para rotaciones como polinomios de matriz de espín". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Código Bibliográfico :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.
27. Hamilton, Donald R. (1 de diciembre de 1941). "Haces moleculares y momentos nucleares". American Journal of Physics . 9 (6): 319–337. doi :10.1119/1.1991712. ISSN  0002-9505.
28. Rabi, II; Cohen, VW (1 de abril de 1933). "El giro nuclear del sodio". Physical Review . 43 (7): 582–583. doi :10.1103/PhysRev.43.582. ISSN  0031-899X.
29. Estermann, I. (1 de julio de 1946). "Técnica de haces moleculares". Reseñas de física moderna . 18 (3): 300–323. doi :10.1103/RevModPhys.18.300. ISSN  0034-6861.
30. Perkins, Donald H. (2008). Introducción a la física de altas energías (4.ª edición, 8.ª edición impresa). Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-62196-0.
31. Datta, S. ; Das, B. (1990). "Análogo electrónico del modulador electroóptico". Applied Physics Letters . 56 (7): 665–667. Código Bibliográfico :1990ApPhL..56..665D. doi :10.1063/1.102730.
32. Assadi, MHN; Hanaor, DAH (2013). "Estudio teórico sobre la energética y el magnetismo del cobre en polimorfos de TiO _{2 ".} Journal of Applied Physics . 113 (23): 233913–233913–5. arXiv : 1304.1854 . Código Bibliográfico :2013JAP...113w3913A. doi :10.1063/1.4811539. S2CID  94599250.
33. Whittaker, Edmund T. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad. 2: Las teorías modernas, 1900-1926 (edición repetida). Nueva York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
34. Wolfgang Pauli (13 de diciembre de 1946). "Principio de exclusión y mecánica cuántica". Conferencia Nobel . Premio Nobel .
35. Pais, Abraham (1991). Los tiempos de Niels Bohr . Oxford: Clarendon Press. pp. 244. ISBN. 978-0-19-852049-8.
36. Uhlenbeck, G., G.; Goudsmit, S. (noviembre de 1925). "Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des internalen Verhaltens jedes einzelnen Elektrons". Die Naturwissenschaften (en alemán). 13 (47): 953–954. doi :10.1007/bf01558878. ISSN  0028-1042. S2CID  32211960.
37. Pais, Abraham (1989-12-01). "George Uhlenbeck y el descubrimiento del espín electrónico". Física hoy . 42 (12): 34–40. doi :10.1063/1.881186. ISSN  0031-9228.
38. B. Friedrich; D. Herschbach (2003). "Stern y Gerlach: cómo un cigarro malo ayudó a reorientar la física atómica". Physics Today . 56 (12): 53. Bibcode :2003PhT....56l..53F. doi : 10.1063/1.1650229 . S2CID  17572089.
39. "La sección eficaz efectiva del átomo de hidrógeno orientado". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 114 (767): 212–221. Marzo de 1927. doi : 10.1098/rspa.1927.0036 . ISSN  0950-1207.
40. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 274. ISBN 978-0-471-87373-0.

Lectura adicional

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (2006). Mecánica cuántica (edición de 2 volúmenes). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-56952-7.
• Condon, EU; Shortley, GH (1935). "Especialmente el capítulo 3". La teoría de los espectros atómicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Hipple, JA; Sommer, H.; Thomas, HA (1949). "Un método preciso para determinar el Faraday por resonancia magnética". Physical Review . 76 (12): 1877–1878. Bibcode :1949PhRv...76.1877H. doi :10.1103/PhysRev.76.1877.2.
• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Thompson, William J. (1994). Momento angular: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos . Wiley. ISBN 978-0-471-55264-2.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5.ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Sin-Itiro Tomonaga, La historia del giro, 1997

Enlaces externos

• Citas relacionadas con Spin (física) en Wikiquote
• Goudsmit sobre el descubrimiento del espín del electrón.
• Naturaleza : "Hitos en el 'spin' desde 1896".
• ECE 495N Clase 36: Spin Clase en línea a cargo de S. Datta