En matemáticas , la geometría compleja es el estudio de estructuras y construcciones geométricas que surgen de, o son descritas por, números complejos . En particular, la geometría compleja se ocupa del estudio de espacios como variedades complejas y variedades algebraicas complejas , funciones de varias variables complejas y construcciones holomorfas como paquetes de vectores holomorfos y haces coherentes . La aplicación de métodos trascendentales a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo .
La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas de geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas a través del programa de modelo mínimo y la construcción de espacios de módulos distingue el campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedades suaves es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de la geometría compleja permite, especialmente en el entorno compacto , que los resultados analíticos globales se prueben con gran éxito, incluida la prueba de la conjetura de Calabi de Shing-Tung Yau , la correspondencia de Hitchin-Kobayashi , la correspondencia nobeliana de Hodge y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y métricas de Kähler de curvatura escalar constante . Estos resultados a menudo se retroalimentan en geometría algebraica compleja y, por ejemplo, recientemente, la clasificación de variedades de Fano utilizando K-estabilidad se ha beneficiado enormemente tanto de las técnicas de análisis como de la geometría biracional pura .
La geometría compleja tiene aplicaciones importantes en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría de campos conforme , la teoría de cuerdas y la simetría especular . A menudo es una fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluida la teoría de la representación , donde las variedades de banderas generalizadas pueden estudiarse utilizando una geometría compleja que conduce al teorema de Borel-Weil-Bott , o en la geometría simpléctica , donde las variedades de Kähler son simplécticas, en riemanniano. geometría donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como las variedades Calabi-Yau y las variedades Hyperkähler , y en la teoría de calibre , donde los paquetes de vectores holomorfos a menudo admiten soluciones a importantes ecuaciones diferenciales que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills . La geometría compleja también tiene un impacto en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en entornos complejos, como la teoría de Hodge de las variedades de Kähler, inspiran la comprensión de las estructuras de Hodge para variedades y esquemas , así como la teoría p-ádica de Hodge , la teoría de la deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de la deformación de esquemas y los resultados sobre la cohomología de variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar de Grothendieck . Por otro lado, los resultados y técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja y, por ejemplo, los avances en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades Calabi-Yau , que los teóricos de cuerdas predicen que deberían tienen la estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ , y el desarrollo de la teoría de variedades simplécticas de Gromov-Witten ha llevado a avances en la geometría enumerativa de variedades complejas.
La conjetura de Hodge , uno de los problemas del premio del milenio , es un problema de geometría compleja. [1]
En términos generales, la geometría compleja se ocupa de espacios y objetos geométricos que se modelan, en cierto sentido, en el plano complejo . Características del plano complejo y del análisis complejo de una sola variable, como la noción intrínseca de orientabilidad (es decir, poder rotar consistentemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y la rigidez de las funciones holomorfas (es decir, , la existencia de una única derivada compleja implica una diferenciabilidad compleja en todos los órdenes) se manifiestan en todas las formas de estudio de la geometría compleja. Como ejemplo, toda variedad compleja es canónicamente orientable, y una forma del teorema de Liouville se aplica a variedades complejas compactas o variedades algebraicas complejas proyectivas .
La geometría compleja tiene un sabor diferente a lo que podría llamarse geometría real , el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas de la recta numérica real . Por ejemplo, mientras que las variedades suaves admiten particiones de unidad , colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a uno en algún conjunto abierto e idénticamente cero en otros lugares, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomorfas. De hecho, esta es la manifestación del teorema de identidad , un resultado típico en análisis complejos de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja puede remontarse a esta observación fundamental.
Es cierto que toda variedad compleja es, en particular, una variedad realmente suave. Esto se debe a que el plano complejo es, tras olvidar su estructura compleja, isomorfo al plano real . Sin embargo, la geometría compleja no suele verse como un subcampo particular de la geometría diferencial , el estudio de variedades suaves. En particular, el teorema GAGA de Serre dice que toda variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica , y el estudio de datos holomórficos sobre una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos.
Esta equivalencia indica que la geometría compleja está en cierto sentido más cerca de la geometría algebraica que de la geometría diferencial . Otro ejemplo de esto que se relaciona con la naturaleza del plano complejo es que, en el análisis complejo de una sola variable, las singularidades de las funciones meromórficas son fácilmente describibles. Por el contrario, el posible comportamiento singular de una función continua de valor real es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado de esto, se pueden estudiar fácilmente espacios singulares en geometría compleja, como variedades analíticas complejas singulares o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial a menudo se evita el estudio de espacios singulares.
En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y un geómetra complejo utiliza herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las direcciones típicas de interés en geometría compleja implican la clasificación de espacios complejos, el estudio de objetos holomorfos adjuntos a ellos (como haces de vectores holomorfos y haces coherentes ) y las relaciones íntimas entre objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.
La geometría compleja se ocupa del estudio de variedades complejas y variedades algebraicas y analíticas complejas . En esta sección se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.
Una variedad compleja es un espacio topológico tal que:
Tenga en cuenta que dado que cada biholomorfismo es un difeomorfismo y es un isomorfismo como un espacio vectorial real , cada variedad compleja de dimensión es, en particular, una variedad suave de dimensión , que siempre es un número par.
A diferencia de las variedades complejas que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares. Una variedad analítica compleja afín es un subconjunto tal que, alrededor de cada punto , existe una vecindad abierta y una colección de un número finito de funciones holomorfas tales que . Por convención también requerimos que el conjunto sea irreducible . Un punto es singular si la matriz jacobiana del vector de funciones holomorfas no tiene rango completo en y no singular en caso contrario. Una variedad analítica compleja proyectiva es un subconjunto de espacio proyectivo complejo que está, de la misma manera, dado localmente por los ceros de una colección finita de funciones holomorfas en subconjuntos abiertos de .
De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto que se da localmente como el conjunto cero de un número finito de polinomios en variables complejas. Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva , se requiere que el subconjunto esté dado localmente por el conjunto cero de un número finito de polinomios homogéneos .
Para definir una variedad algebraica compleja general o analítica compleja, se requiere la noción de un espacio localmente anillado . Una variedad algebraica/analítica compleja es un espacio localmente anillado que es localmente isomorfo como un espacio localmente anillado a una variedad algebraica/analítica compleja afín. En el caso analítico, normalmente se permite tener una topología que es localmente equivalente a la topología subespacial debido a la identificación con subconjuntos abiertos de , mientras que en el caso algebraico suele estar equipado con una topología de Zariski . Nuevamente también requerimos por convención que este espacio anillado localmente sea irreducible.
Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica/algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad que son singulares se llama lugar singular , denotado , y el complemento es el lugar no singular o liso , denotado . Decimos que una variedad compleja es suave o no singular si su lugar singular está vacío. Es decir, si es igual a su lugar geométrico no singular.
Según el teorema de la función implícita para funciones holomorfas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero en general no es afín ni proyectiva. Según el teorema GAGA de Serre, toda variedad analítica compleja proyectiva es en realidad una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja no es singular, es una variedad compleja. De manera más general, el lugar no singular de cualquier variedad compleja es una variedad compleja.
Las variedades complejas pueden estudiarse desde la perspectiva de la geometría diferencial, mediante la cual están equipadas con estructuras geométricas adicionales, como una métrica de Riemann o una forma simpléctica . Para que esta estructura adicional sea relevante para la geometría compleja, se debe pedir que sea compatible con la estructura compleja en un sentido adecuado. Una variedad de Kähler es una variedad compleja con una estructura simpléctica y métrica de Riemann compatible con la estructura compleja. Cada subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler, y por lo tanto, en particular, cada variedad compleja proyectiva o afín no singular es Kähler, después de restringir la métrica hermitiana estándar o la métrica del estudio de Fubini, respectivamente .
Otros ejemplos importantes de variedades de Kähler incluyen las superficies de Riemann , las superficies K3 y las variedades de Calabi-Yau .
El teorema GAGA de Serre afirma que las variedades analíticas complejas proyectivas son en realidad algebraicas. Si bien esto no es estrictamente cierto para las variedades afines, existe una clase de variedades complejas que actúan de manera muy similar a las variedades algebraicas complejas afines, llamadas variedades de Stein . Una variedad es Stein si es holomórficamente convexa y holomórficamente separable (consulte el artículo sobre variedades de Stein para conocer las definiciones técnicas). Sin embargo, se puede demostrar que esto equivale a ser una subvariedad compleja de para algunos . Otra forma en que las variedades de Stein son similares a las variedades algebraicas complejas afines es que los teoremas A y B de Cartan son válidos para las variedades de Stein.
Ejemplos de variedades de Stein incluyen superficies de Riemann no compactas y variedades algebraicas complejas afines no singulares.
Una clase especial de variedades complejas son las variedades hiper-Kähler , que son variedades de Riemann que admiten tres estructuras distintas, compatibles e integrables, casi complejas , que satisfacen las relaciones cuaterniónicas . Por lo tanto, las variedades hiper-Kähler son variedades Kähler de tres maneras diferentes y, posteriormente, tienen una rica estructura geométrica.
Ejemplos de variedades hiper-Kähler incluyen espacios ALE , superficies K3 , espacios de módulos de haz de Higgs , variedades de carcaj y muchos otros espacios de módulos que surgen de la teoría de calibre y la teoría de la representación .
Como se mencionó, las variedades Calabi-Yau dan una clase particular de variedades de Kähler. Estos están dados por variedades de Kähler con paquete canónico trivial . Normalmente, la definición de una variedad Calabi-Yau también requiere que sea compacta. En este caso, la prueba de Yau de la conjetura de Calabi implica que admite una métrica de Kähler con curvatura de Ricci evanescente , y esto puede tomarse como una definición equivalente de Calabi-Yau.
Las variedades Calabi-Yau han encontrado uso en teoría de cuerdas y simetría especular , donde se utilizan para modelar las seis dimensiones adicionales del espacio-tiempo en modelos de diez dimensiones de la teoría de cuerdas. Ejemplos de variedades Calabi-Yau están dados por curvas elípticas , superficies K3 y variedades abelianas complejas .
Una variedad de Fano compleja es una variedad algebraica compleja con un amplio haz de líneas anticanónicas (es decir, es amplia). Las variedades de Fano son de considerable interés en la geometría algebraica compleja y, en particular, en la geometría biracional , donde a menudo surgen en el programa de modelo mínimo . Ejemplos fundamentales de variedades Fano vienen dados por el espacio proyectivo donde y las hipersuperficies suaves de grado menor que .
Las variedades tóricas son variedades algebraicas complejas de dimensión que contienen un subconjunto denso abierto biholomórfico , equipado con una acción que extiende la acción sobre el subconjunto denso abierto. Una variedad tórica puede describirse combinatoriamente por su abanico tórico , y al menos cuando no es singular, por un momento politopo . Este es un polígono con la propiedad de que cualquier vértice puede adoptar la forma estándar del vértice del ortante positivo mediante la acción de . La variedad tórica se puede obtener como un espacio adecuado que se fibrosa sobre el politopo.
Muchas construcciones que se realizan sobre variedades tóricas admiten descripciones alternativas en términos de combinatoria y geometría del politopo de momento o su abanico tórico asociado. Esto hace que las variantes tóricas sean un caso de prueba especialmente atractivo para muchas construcciones de geometría compleja. Ejemplos de variedades tóricas incluyen espacios proyectivos complejos y haces sobre ellos.
Debido a la rigidez de las funciones holomorfas y las variedades complejas, las técnicas típicamente utilizadas para estudiar variedades complejas y variedades complejas difieren de las utilizadas en la geometría diferencial regular y están más cerca de las técnicas utilizadas en la geometría algebraica. Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan tomando construcciones locales y uniéndolas globalmente utilizando particiones de unidad. Las particiones de unidad no existen en la geometría compleja, por lo que el problema de cuándo los datos locales pueden unirse a los datos globales es más sutil. Precisamente cuándo se pueden unir los datos locales se mide mediante la cohomología de las gavillas , y las gavillas y sus grupos de cohomología son herramientas importantes.
Por ejemplo, los problemas famosos en el análisis de varias variables complejas que preceden a la introducción de definiciones modernas son los problemas Cousin , que preguntan precisamente cuándo se pueden unir datos meromórficos locales para obtener una función meromórfica global. Estos viejos problemas pueden resolverse simplemente después de la introducción de gavillas y grupos de cohomología.
Ejemplos especiales de haces utilizados en geometría compleja incluyen haces de líneas holomorfas (y los divisores asociados a ellos), haces de vectores holomorfos y haces coherentes . Dado que la cohomología de gavilla mide obstrucciones en geometría compleja, una técnica que se utiliza es demostrar teoremas de fuga. Ejemplos de teoremas de fuga en geometría compleja incluyen el teorema de fuga de Kodaira para la cohomología de haces de líneas en variedades compactas de Kähler, y los teoremas A y B de Cartan para la cohomología de haces coherentes en variedades complejas afines.
La geometría compleja también hace uso de técnicas que surgen del análisis y la geometría diferencial. Por ejemplo, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer , calcula la característica holomorfa de Euler de un paquete de vectores holomórfico en términos de clases características del paquete de vectores complejo suave subyacente.
Un tema importante en geometría compleja es la clasificación . Debido a la naturaleza rígida de las variedades y variedades complejas, el problema de clasificar estos espacios suele ser manejable. La clasificación en geometría compleja y algebraica a menudo se produce mediante el estudio de espacios de módulos , que a su vez son variedades o variedades complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en geometría compleja.
El término módulos fue acuñado por Bernhard Riemann durante su trabajo original sobre superficies de Riemann. La teoría de clasificación es más conocida para las superficies compactas de Riemann. Según la clasificación de superficies orientadas cerradas , las superficies compactas de Riemann vienen en un número contable de tipos discretos, medidos por su género , que es un número entero no negativo que cuenta el número de agujeros en la superficie compacta de Riemann dada.
La clasificación se deriva esencialmente del teorema de uniformización y es la siguiente: [2] [3] [4]
La geometría compleja se ocupa no sólo de espacios complejos, sino también de otros objetos holomorfos adjuntos a ellos. La clasificación de haces de líneas holomorfas en una variedad compleja viene dada por la variedad Picard de .
La variedad picard se puede describir fácilmente en el caso de que se trate de una superficie compacta de Riemann del género g. Es decir, en este caso la variedad Picard es una unión disjunta de variedades abelianas complejas , cada una de las cuales es isomorfa a la variedad jacobiana de la curva, clasificando divisores de grado cero hasta equivalencia lineal. En términos de geometría diferencial, estas variedades abelianas son toros complejos, variedades complejas difeomorfas , posiblemente con una de muchas estructuras complejas diferentes.
Según el teorema de Torelli , una superficie compacta de Riemann está determinada por su variedad jacobiana, y esto demuestra una de las razones por las que el estudio de estructuras en espacios complejos puede ser útil, ya que puede permitir resolver y clasificar los espacios mismos.
