Grupo de mentiras cuya variedad es compleja y cuya operación grupal es holomorfa
En geometría , un grupo de Lie complejo es un grupo de Lie sobre números complejos; es decir, es una variedad analítica compleja que también es un grupo de tal manera que es holomorfa . Ejemplos básicos son los grupos lineales generales sobre los números complejos . Un grupo de Lie complejo compacto conectado es precisamente un toro complejo (no confundir con el grupo de Lie complejo ). A cualquier grupo finito se le puede dar la estructura de un grupo de Lie complejo. Un grupo de Lie complejo semisimple es un grupo algebraico lineal .![{\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {GL} _ {n}(\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo es un álgebra de Lie compleja .
Ejemplos
- Un espacio vectorial de dimensión finita sobre números complejos (en particular, álgebra de Lie compleja) es un grupo de Lie complejo de una manera obvia.
- Un grupo de Lie complejo compacto conectado A de dimensión g tiene la forma un toro complejo , donde L es un subgrupo discreto de rango 2g. De hecho, se puede demostrar que su álgebra de Lie es abeliana y luego es un morfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos, lo que muestra que A tiene la forma descrita.
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un ejemplo de un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos que no proviene de un morfismo de grupos algebraicos. Dado que , este también es un ejemplo de una representación de un grupo de Lie complejo que no es algebraico.![{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Sea X una variedad compleja compacta. Entonces, de manera análoga al caso real, hay un grupo de Lie complejo cuyo álgebra de Lie es el espacio de campos vectoriales holomorfos en X:. [ se necesita aclaración ]
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma (X,TX)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Sea K un grupo de Lie compacto conexo . Entonces existe un grupo de Lie complejo conectado único G tal que (i) y (ii) K es un subgrupo compacto máximo de G. Se llama complejación de K. Por ejemplo, es la complejización del grupo unitario . Si K actúa sobre una variedad compacta de Kähler X , entonces la acción de K se extiende a la de G. [1]
![{\displaystyle \operatorname {Mentira} (G)=\operatorname {Mentira} (K)\otimes _ {\mathbb {R} }\mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Grupo algebraico lineal asociado a un grupo de Lie complejo semisimple
Sea G un grupo de Lie complejo semisimple. Entonces G admite una estructura natural de un grupo algebraico lineal de la siguiente manera: [2] sea el anillo de funciones holomorfas f en G tal que abarque un espacio vectorial de dimensión finita dentro del anillo de funciones holomorfas en G (aquí G actúa por izquierda traducción: ). Entonces es el grupo algebraico lineal que, visto como una variedad compleja, es el G original . Más concretamente, elija una representación fiel de G . Entonces Zariski está cerrado . [ se necesita aclaración ]![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G\cdot f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Especificación} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho :G\a GL(V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (G)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle GL(V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Guillemin, Víctor; Sternberg, Shlomo (1982). "Cuantización geométrica y multiplicidades de representaciones de grupos". Invenciones Mathematicae . 67 (3): 515–538. Código Bib : 1982 InMat..67..515G. doi :10.1007/bf01398934. S2CID 121632102.
- ^ Serre 1993, pag. Cap. VIII. Teorema 10.
- Lee, Dong Hoon (2002), La estructura de los grupos de mentiras complejos , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, señor 1887930
- Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres