Variedad analítica compleja

Generalización de una variedad compleja que permite el uso de singularidades

En matemáticas , y en particular en geometría diferencial y geometría compleja , una variedad analítica compleja ^{[nota 1]} o espacio analítico complejo es una generalización de una variedad compleja que permite la presencia de singularidades . Las variedades analíticas complejas son espacios anillados localmente que son localmente isomorfos a los espacios modelo locales, donde un espacio modelo local es un subconjunto abierto del lugar geométrico de desaparición de un conjunto finito de funciones holomorfas .

Definición

Denotemos el haz constante en un espacio topológico con valor por . Un -espacio es un espacio anillado localmente , cuya estructura haz es un álgebra sobre . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$

Elija un subconjunto abierto de algún espacio afín complejo y fije un número finito de funciones holomorfas en . Sea el lugar geométrico de desaparición común de estas funciones holomorfas, es decir, . Defina un haz de anillos en haciendo que sea la restricción a de , donde es el haz de funciones holomorfas en . Entonces el espacio anillado localmente es un espacio modelo local . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X=V(f_{1},\dots ,f_{k})}$ ${\displaystyle X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Una variedad analítica compleja es un espacio anillado localmente que es localmente isomorfo a un espacio modelo local. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Los morfismos de variedades analíticas complejas se definen como morfismos de los espacios anillados localmente subyacentes, también se denominan mapas holomorfos. Un haz de estructura puede tener un elemento nilpotente, ^[1] y también, cuando el espacio analítico complejo cuyo haz de estructura se reduce, entonces el espacio analítico complejo se reduce, es decir, el espacio analítico complejo puede no reducirse.

Un espacio analítico complejo asociado (variedad) es tal que; ^[1] ${\displaystyle X_{h}}$

Sea X un esquema de tipo finito sobre , y cubra X con un subconjunto afín abierto ( ) ( Espectro de un anillo ). Entonces cada uno es un álgebra de tipo finito sobre , y . Donde son polinomios en , que pueden considerarse como una función holomorfa en . Por lo tanto, su cero común del conjunto es el subespacio analítico complejo . Aquí, el esquema X se obtiene pegando los datos del conjunto , y luego los mismos datos se pueden usar para pegar el espacio analítico complejo en un espacio analítico complejo , por lo que llamamos un espacio analítico complejo asociado con X. El espacio analítico complejo X se reduce si y solo si el espacio analítico complejo asociado se reduce. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle X=\cup Y_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$

Véase también

• Variedad algebraica - En términos generales, una variedad analítica (compleja) es un lugar cero de un conjunto de una función analítica (compleja), mientras que una variedad algebraica es un lugar cero de un conjunto de una función polinómica y permite un punto singular.
• Espacio analítico  : espacio anillado localmente unido a partir de variedades analíticasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Variedad algebraica compleja
• GAGA  – Dos materias matemáticas estrechamente relacionadasPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio analítico rígido  : un análogo de un espacio analítico complejo sobre un cuerpo no arquimediano

Nota

1. Hartshorne 1977, pág. 439.
2. Grothendieck y Raynaud (2002) (SGA 1 §XII. Proposición 2.1.)

Anotación

1. A veces se requiere que la variedad analítica compleja (o simplemente variedad) sea irreducible y (o) reducida.

Referencias

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Lectura futura

• Huckleberry, Alan (2013). "Hans Grauert (1930-2011)". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. doi :10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  256084531.

Enlaces externos

• Kiran Kedlaya. 18.726 Geometría algebraica (LEC # 30 - 33 GAGA) Primavera de 2009. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .
• Deliciosos fragmentos de varias variables complejas (p. 137), libro de código abierto de Jiří Lebl BY-NC-SA .
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• El'kin, AG (2001) [1994], "Conjunto analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press