Funciones elípticas lemniscatas

Funciones matemáticas

El seno lemniscata (rojo) y el coseno lemniscata (violeta) aplicados a un argumento real, en comparación con el seno trigonométrico y = sin( πx / ϖ ) (rojo discontinuo pálido).

En matemáticas , las funciones elípticas lemniscatas son funciones elípticas relacionadas con la longitud de arco de la lemniscata de Bernoulli . Fueron estudiadas por primera vez por Giulio Fagnano en 1718 y posteriormente por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss , entre otros. ^[1]

Las funciones seno y coseno de la lemniscata , que se escriben habitualmente con los símbolos sl y cl (a veces se utilizan en su lugar los símbolos sinlem y coslem o sen lemn y cos lemn ), ^[2] son ​​análogas a las funciones trigonométricas seno y coseno. Mientras que el seno trigonométrico relaciona la longitud del arco con la longitud de la cuerda en un círculo de diámetro unitario ^[3], el seno de la lemniscata relaciona la longitud del arco con la longitud de la cuerda de una lemniscata. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

Las funciones lemniscatas tienen períodos relacionados con un número 2,622057... llamado constante lemniscata , la relación entre el perímetro de una lemniscata y su diámetro. Este número es un análogo cuártico de la ( cuadrática ) 3,141592... , relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo . ${\displaystyle \varpi =}$ ${\displaystyle \pi =}$

Como funciones complejas , sl y cl tienen una red de período cuadrado (un múltiplo de los enteros gaussianos ) con períodos fundamentales ^[4] y son un caso especial de dos funciones elípticas de Jacobi en esa red, . ${\displaystyle \{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)}$

De manera similar, la lemniscata hiperbólica seno slh y la lemniscata hiperbólica coseno clh tienen una red de períodos cuadrados con períodos fundamentales ${\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.}$

Las funciones lemniscata y las funciones lemniscata hiperbólicas están relacionadas con la función elíptica de Weierstrass . ${\displaystyle \wp (z;a,0)}$

Funciones seno y coseno lemniscatas

Definiciones

Las funciones lemniscata sl y cl se pueden definir como la solución al problema del valor inicial : ^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,}$

o equivalentemente como las inversas de una integral elíptica , el mapa de Schwarz-Christoffel del disco unitario complejo a un cuadrado con esquinas ^[6] ${\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Más allá de ese cuadrado, las funciones pueden continuarse analíticamente hasta todo el plano complejo mediante una serie de reflexiones .

En comparación, el seno y el coseno circulares se pueden definir como la solución al problema del valor inicial:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,}$

o como inversas de una función desde el semiplano superior hasta una franja semiinfinita con parte real entre ellas y parte imaginaria positiva: ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}$

Relación con la constante lemniscata

La función seno lemniscata y la función seno lemniscata hiperbólica se definen como inversas de integrales elípticas. Las integrales completas están relacionadas con la constante lemniscata ϖ .

Las funciones lemniscata tienen un periodo real mínimo 2 ϖ , un periodo imaginario mínimo 2 ϖ i y periodos complejos fundamentales y para una constante ϖ llamada constante lemniscata , ^[7] ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$

${\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2.62205\ldots }$

Las funciones lemniscata satisfacen la relación básica análoga a la relación ${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},}$ ${\displaystyle \cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.}$

La constante lemniscata ϖ es análoga a la constante circular π , y muchas identidades que involucran a π tienen análogos que involucran a ϖ , al igual que las identidades que involucran a las funciones trigonométricas tienen análogos que involucran a las funciones lemniscatas. Por ejemplo, la fórmula de Viète para π puede escribirse:

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

Una fórmula análoga para ϖ es: ^[8]

$${\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

La fórmula de Machin para π es y se pueden desarrollar varias fórmulas similares para π utilizando identidades trigonométricas de suma de ángulos, por ejemplo, la fórmula de Euler . Se pueden desarrollar fórmulas análogas para ϖ , incluidas las siguientes encontradas por Gauss: ^[9] ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.}$

Gauss descubrió que las constantes lemniscata y circular estaban relacionadas entre sí por la media aritmético-geométrica M : ^[10]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}}$$

Identidades de argumentos

Ceros, polos y simetrías

${\displaystyle \operatorname {sl} }$en el plano complejo. ^[11] En la imagen, se puede ver que los periodos fundamentales y son "mínimos" en el sentido de que tienen el valor absoluto más pequeño de todos los periodos cuya parte real no es negativa. ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$

Las funciones lemniscatas cl y sl son funciones pares e impares , respectivamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

En las traducciones de cl y sl se intercambian, y en las traducciones de además se rotan y se reciprocan : ^[12] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}i\varpi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}}$

Al duplicarlas en traducciones por un múltiplo entero gaussiano unitario de (es decir, o ), se niega cada función, una involución : ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \pm \varpi }$ ${\displaystyle \pm i\varpi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

Como resultado, ambas funciones son invariantes bajo la traducción por un múltiplo entero gaussiano par de . ^[13] Es decir, un desplazamiento con para los enteros a , b y k . ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle (a+bi)\varpi ,}$ ${\displaystyle a+b=2k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

Esto las convierte en funciones elípticas ( funciones meromórficas doblemente periódicas en el plano complejo) con una red diagonal de períodos cuadrados de períodos fundamentales y . ^[14] Las funciones elípticas con una red de períodos cuadrados son más simétricas que las funciones elípticas arbitrarias, siguiendo las simetrías del cuadrado. ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$

Las reflexiones y rotaciones de cuarto de vuelta de los argumentos de la función lemniscata tienen expresiones simples:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

La función sl tiene ceros simples en los múltiplos enteros gaussianos de ϖ , números complejos de la forma para los enteros a y b . Tiene polos simples en los múltiplos semienteros gaussianos de ϖ , números complejos de la forma , con residuos . La función cl se refleja y se desplaza de la función sl , . Tiene ceros para argumentos y polos para argumentos con residuos ${\displaystyle a\varpi +b\varpi i}$ ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i}$ ${\displaystyle (-1)^{a-b+1}i}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i}$ ${\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,}$ ${\displaystyle (-1)^{a-b}i.}$

También

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi }$

Para algunos y ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.}$

La última fórmula es un caso especial de multiplicación compleja . Se pueden dar fórmulas análogas para donde es cualquier entero gaussiano: la función tiene multiplicación compleja por . ^[15] ${\displaystyle \operatorname {sl} ((n+mi)z)}$ ${\displaystyle n+mi}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

También existen series infinitas que reflejan la distribución de los ceros y polos de sl : ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.}$

Identidad de tipo pitagórico

Curvas x ² ⊕ y ² = a para distintos valores de a . A negativa en verde, a positiva en azul, a = ±1 en rojo, a = ∞ en negro.

Las funciones lemniscata satisfacen una identidad de tipo pitagórico :

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1}$

Como resultado, la ecuación paramétrica parametriza la curva cuártica. ${\displaystyle (x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.}$

Esta identidad puede reescribirse alternativamente: ^[18]

${\displaystyle {\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}}$

Al definir un operador de suma tangente como : ${\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)={\frac {a+b}{1-ab}},}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.}$

Las funciones y satisfacen otra identidad de tipo pitagórico: ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {cl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1.}$

Derivadas e integrales

Las derivadas son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}}$

Las segundas derivadas del seno lemniscata y del coseno lemniscata son sus cubos duplicados negativos:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z}$

Las funciones lemniscata se pueden integrar utilizando la función tangente inversa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}}$

Suma de argumentos e identidades múltiples

Al igual que las funciones trigonométricas, las funciones lemniscatas satisfacen identidades de suma y diferencia de argumentos. La identidad original utilizada por Fagnano para la bisección de la lemniscata fue: ^[19]

${\displaystyle \operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}}$

Las identidades derivadas y de tipo pitagórico se pueden utilizar para reelaborar la identidad utilizada por Fagano en términos de sl y cl . Al definir un operador de suma tangente y un operador de diferencia tangente, las identidades de suma y diferencia de argumentos se pueden expresar como: ^[20] ${\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)}$ ${\displaystyle a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}}$

Estos se parecen a sus análogos trigonométricos :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}}$

En particular, para calcular las funciones de valores complejos en componentes reales,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}}$

Gauss descubrió que

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sl} (u-v)}{\operatorname {sl} (u+v)}}={\frac {\operatorname {sl} ((1+i)u)-\operatorname {sl} ((1+i)v)}{\operatorname {sl} ((1+i)u)+\operatorname {sl} ((1+i)v)}}}$

donde tal que ambos lados estén bien definidos. ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} }$

También

${\displaystyle \operatorname {sl} (u+v)\operatorname {sl} (u-v)={\frac {\operatorname {sl} ^{2}u-\operatorname {sl} ^{2}v}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}}$

donde ambos lados están bien definidos; esto se asemeja al análogo trigonométrico ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sin(u+v)\sin(u-v)=\sin ^{2}u-\sin ^{2}v.}$

Fórmulas de bisección:

${\displaystyle \operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}}$

Fórmulas de duplicación: ^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}}$

Fórmulas de triplicación: ^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}}$

Obsérvese la "simetría inversa" de los coeficientes del numerador y el denominador de . Este fenómeno se puede observar en las fórmulas de multiplicación para donde siempre que y sea impar. ^[15] ${\displaystyle \operatorname {sl} 3x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \beta x}$ ${\displaystyle \beta =m+ni}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m+n}$

Polinomios lemnatómicos

Sea la red ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .}$

Además, sea , , , , (donde ), impar, impar y . Entonces ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \beta =m+in}$ ${\displaystyle \gamma =m'+in'}$ ${\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle m'+n'}$ ${\displaystyle \gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}$

${\displaystyle M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}}$

para algunos polinomios coprimos y algunos ^[22] donde ${\displaystyle P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \{0,1,2,3\}}$

${\displaystyle xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)}$

y

${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })}$

donde es cualquier generador de torsión (es decir , y genera como un módulo ) . Ejemplos de generadores de torsión incluyen y . El polinomio se llama el -ésimo polinomio lemnatómico . Es mónico y es irreducible sobre . Los polinomios lemnatómicos son los "análogos lemniscata" de los polinomios ciclotómicos , ^[23] ${\displaystyle \delta _{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta _{\beta }\in (1/\beta )L}$ ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L}$ ${\displaystyle (1/\beta )L/L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 2\varpi /\beta }$ ${\displaystyle (1+i)\varpi /\beta }$ ${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).}$

El polinomio lemnatómico -ésimo es el polinomio mínimo de en . Por conveniencia, sean y . Por ejemplo, el polinomio mínimo de (y también de ) en es ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \delta _{\beta }}$ ${\displaystyle K[x]}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )}$ ${\displaystyle \omega _{5}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{5}}$ ${\displaystyle K[x]}$

${\displaystyle \Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,}$

y ^[24]

${\displaystyle \omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}}$^[25]

(en la siguiente tabla se da una expresión equivalente). Otro ejemplo es ^[23]

${\displaystyle \Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i}$

que es el polinomio mínimo de (y también de ) en ${\displaystyle \omega _{-1+2i}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{-1+2i}}$ ${\displaystyle K[x].}$

Si es primo y es positivo e impar, ^[26] entonces ^[27] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)}$

que puede compararse con el análogo ciclotómico

${\displaystyle \operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$

Valores específicos

Al igual que para las funciones trigonométricas, los valores de las funciones lemniscata se pueden calcular para divisiones de la lemniscata en n partes de igual longitud, utilizando solo aritmética básica y raíces cuadradas, si y solo si n tiene la forma donde k es un entero no negativo y cada p _i (si lo hay) es un primo de Fermat distinto . ^[28] ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$

Relación con las formas geométricas

Longitud de arco de la lemniscata de Bernoulli

El seno y el coseno de la lemniscata relacionan la longitud de arco de un arco de la lemniscata con la distancia de un punto final desde el origen.

El seno y el coseno trigonométricos relacionan de manera análoga la longitud de arco de un círculo de diámetro unitario con la distancia de un punto final desde el origen.

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, la lemniscata de Bernoulli con distancia unitaria desde su centro hasta su punto más alejado (es decir, con "ancho medio" unitario), es esencial en la teoría de las funciones elípticas lemniscatas. Puede caracterizarse al menos de tres maneras:

Caracterización angular: Dados dos puntos y que están separados por una distancia unitaria, sea la reflexión de aproximadamente . Entonces es la clausura del lugar geométrico de los puntos tal que es un ángulo recto . ^[29] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |APB-APB'|}$

Caracterización focal: es el lugar geométrico de los puntos en el plano tales que el producto de sus distancias a los dos focos y es la constante . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}}$ ${\displaystyle F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Caracterización explícita de coordenadas: es una curva cuártica que satisface la ecuación polar o la ecuación cartesiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta }$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

El perímetro de es . ^[30] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 2\varpi }$

Los puntos que se encuentran a una distancia del origen son las intersecciones de la circunferencia y la hipérbola . La intersección en el cuadrante positivo tiene coordenadas cartesianas: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=r^{4}}$

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.}$

Utilizando esta parametrización con para un cuarto de , la longitud del arco desde el origen hasta un punto es: ^[31] ${\displaystyle r\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}}$

Del mismo modo, la longitud del arco desde hasta es: ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}}$

O en la dirección inversa, las funciones seno y coseno de la lemniscata dan la distancia desde el origen como funciones de la longitud del arco desde el origen y el punto , respectivamente. ${\displaystyle (1,0)}$

De manera análoga, las funciones seno y coseno circulares relacionan la longitud de la cuerda con la longitud del arco para el círculo de diámetro unitario con ecuación polar o ecuación cartesiana utilizando el mismo argumento anterior pero con la parametrización: ${\displaystyle r=\cos \theta }$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}$

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.}$

Alternativamente, así como el círculo unitario está parametrizado en términos de la longitud del arco desde el punto por ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (1,0)}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$se parametriza en términos de la longitud del arco desde el punto por ^[32] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (1,0)}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).}$

La notación se utiliza únicamente para los fines de este artículo; en las referencias, se utiliza la notación para funciones elípticas de Jacobi generales. ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }},\,{\tilde {\operatorname {sl} }}}$

Las funciones lemniscata e integral lemniscata satisfacen una identidad de duplicación de argumentos descubierta por Fagnano en 1718: ^[33]

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.}$

Una lemniscata dividida en 15 secciones de igual longitud de arco (curvas rojas). Como los factores primos de 15 (3 y 5) son ambos primos de Fermat, este polígono (en negro) se puede construir utilizando una regla y un compás.

Matemáticos posteriores generalizaron este resultado. De manera análoga a los polígonos construibles en el círculo, la lemniscata se puede dividir en n secciones de igual longitud de arco utilizando solo regla y compás si y solo si n es de la forma donde k es un entero no negativo y cada p _i (si lo hay) es un primo de Fermat distinto . ^[34] La parte "si" del teorema fue demostrada por Niels Abel en 1827-1828, y la parte "solo si" fue demostrada por Michael Rosen en 1981. ^[35] Equivalentemente, la lemniscata se puede dividir en n secciones de igual longitud de arco utilizando solo regla y compás si y solo si es una potencia de dos (donde es la función totiente de Euler ). No se supone que la lemniscata ya esté dibujada, ya que eso iría en contra de las reglas de las construcciones con regla y compás; En cambio, se supone que sólo se nos dan dos puntos por los cuales se define la lemniscata, como su centro y su punto radial (uno de los dos puntos de la lemniscata tales que su distancia desde el centro es máxima) o sus dos focos. ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Sea . Entonces los puntos de división n para son los puntos ${\displaystyle r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

¿Dónde está la función de piso ? Vea a continuación algunos valores específicos de . ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ ${\displaystyle \operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}}$

Longitud del arco de una banda elástica rectangular

El seno de la lemniscata relaciona la longitud del arco con la coordenada x en la elástica rectangular.

El seno lemniscata inverso también describe la longitud del arco s en relación con la coordenada x de la elástica rectangular . ^[36] Esta curva tiene coordenada y y longitud de arco:

${\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

La elasticidad rectangular resuelve un problema planteado por Jacob Bernoulli en 1691 para describir la forma de una varilla flexible idealizada fijada en una orientación vertical en el extremo inferior y tirada hacia abajo mediante un peso desde el extremo más alejado hasta que se dobla en sentido horizontal. La solución propuesta por Bernoulli estableció la teoría de vigas de Euler-Bernoulli , desarrollada posteriormente por Euler en el siglo XVIII.

Caracterización elíptica

Las funciones elípticas lemniscatas y una elipse

Sea un punto de la elipse en el primer cuadrante y sea la proyección de sobre el círculo unitario . La distancia entre el origen y el punto es una función de (el ángulo donde ; equivalentemente la longitud del arco circular ). El parámetro está dado por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle BAC}$ ${\displaystyle B=(1,0)}$ ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.}$

Si es la proyección de sobre el eje x y si es la proyección de sobre el eje x, entonces las funciones elípticas lemniscatas están dadas por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.}$

Identidades de la serie

Serie de potencias

La expansión en serie de potencias del seno de la lemniscata en el origen es ^[37]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$

donde los coeficientes se determinan de la siguiente manera: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,}$

${\displaystyle a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}}$

donde representa las composiciones de tres términos de . Por ejemplo, para evaluar , se puede ver que solo hay seis composiciones de que dan una contribución distinta de cero a la suma: y , por lo que ${\displaystyle i+j+k=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{13}}$ ${\displaystyle 13-2=11}$ ${\displaystyle 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9}$ ${\displaystyle 11=5+5+1=5+1+5=1+5+5}$

${\displaystyle a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.}$

La expansión se puede escribir de forma equivalente como ^[38]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$

dónde

${\displaystyle p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.}$

La expansión en serie de potencias de en el origen es ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

donde si es par y ^[39] ${\displaystyle \alpha _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}}$

si es impar. ${\displaystyle n}$

La expansión se puede escribir de forma equivalente como ^[40]

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

dónde

${\displaystyle s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,}$

${\displaystyle t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.}$

Para el coseno de la lemniscata, ^[41]

${\displaystyle \operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

dónde

${\displaystyle r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,}$

${\displaystyle q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.}$

La identidad cos/cosh de Ramanujan

La famosa identidad cos/cosh de Ramanujan establece que si

${\displaystyle R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},}$

entonces ^[39]

${\displaystyle R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.}$

Existe una estrecha relación entre las funciones lemniscata y . De hecho, ^{[39] [42]} ${\displaystyle R(s)}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

y

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.}$

Fracciones continuas

Para : ^[43] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}}$

Métodos de cálculo

Un algoritmo rápido, que devuelve aproximaciones a (que se acercan a al aumentar ), es el siguiente: ^[44] ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ ${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle a_{0}\leftarrow 1;}$ ${\displaystyle b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}};}$ ${\displaystyle c_{0}\leftarrow {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$
• para cada uno hacer ${\displaystyle n\geq 1}$
  • ${\displaystyle a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});}$ ${\displaystyle b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};}$ ${\displaystyle c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})}$
  • Si entonces ${\displaystyle c_{n}<{\textrm {tolerance}}}$
    • ${\displaystyle N\leftarrow n;}$ romper
• ${\displaystyle \phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x}$
• para cada n desde N hasta 0 hacer
  • ${\displaystyle \phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)}$
• devolver ${\displaystyle {\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}}$

Esto utiliza efectivamente la media aritmético-geométrica y se basa en las transformaciones de Landen . ^[45]

Varios métodos de cálculo implican primero realizar el cambio de variables y luego calcular ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ ${\displaystyle \pi x=\varpi {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).}$

Un método de series hiperbólicas : ^{[46] [47]}

${\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C} }$

Método de series de Fourier : ^[48]

${\displaystyle \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi }$

Las funciones lemniscata se pueden calcular más rápidamente mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}}$

son las funciones theta de Jacobi . ^[49]

Serie de Fourier para el logaritmo del seno de la lemniscata:

${\displaystyle \ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Ramanujan descubrió las siguientes identidades de serie : ^[50]

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi }$

${\displaystyle \arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Las funciones y análogas a y en el círculo unitario tienen las siguientes expansiones de series de Fourier e hiperbólicas: ^{[39] [42] [51]} ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C} }$

Las siguientes identidades provienen de representaciones de productos de las funciones theta: ^[52]

${\displaystyle \mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C} }$

Se puede dar una fórmula similar que involucra la función. ^[53] ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

La lemniscata funciona como una relación de funciones enteras.

Como el seno de la lemniscata es una función meromórfica en todo el plano complejo, se puede escribir como un cociente de funciones enteras . Gauss demostró que sl tiene la siguiente expansión del producto, que refleja la distribución de sus ceros y polos: ^[54]

${\displaystyle \operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}}$

dónde

${\displaystyle M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).}$

Aquí, y denotan, respectivamente, los ceros y polos de sl que están en el cuadrante . Se puede encontrar una prueba en. ^{[54] [55]} Es importante destacar que los productos infinitos convergen al mismo valor para todos los órdenes posibles en los que sus términos pueden multiplicarse, como consecuencia de la convergencia uniforme . ^[56] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0}$

Gauss conjeturó que (esto más tarde resultó ser cierto) y comentó que esto “es muy notable y una prueba de esta propiedad promete el aumento más serio en el análisis”. ^[57] Gauss desarrolló los productos para y como series infinitas (ver más abajo). También descubrió varias identidades que involucraban las funciones y , como ${\displaystyle \ln N(\varpi )=\pi /2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

La función en el plano complejo. El argumento complejo se representa mediante un matiz variable. ${\displaystyle M}$

La función en el plano complejo. El argumento complejo se representa mediante un matiz variable. ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]}$

y

${\displaystyle N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.}$

Gracias a un cierto teorema ^[58] sobre límites de descomposición, podemos multiplicar los productos infinitos y agrupar potencias iguales de . Al hacerlo, obtenemos las siguientes expansiones en serie de potencias que son convergentes en todas partes del plano complejo: ^{[59] [60] [61] [62] [63]} ${\displaystyle z}$

${\displaystyle M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .}$

Esto puede contrastarse con la serie de potencias que solo tiene un radio de convergencia finito (porque no es completa). ${\displaystyle \operatorname {sl} }$

Definimos y por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).}$

Entonces el coseno de la lemniscata se puede escribir como

${\displaystyle \operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}}$

donde ^[64]

${\displaystyle S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .}$

Además, las identidades

${\displaystyle M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),}$

${\displaystyle S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},}$

${\displaystyle T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}}$

y las identidades de tipo pitagórico

${\displaystyle M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},}$

${\displaystyle M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}}$

Mantener para todos . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Las fórmulas de cuasi-adición

${\displaystyle M(z+w)M(z-w)=M(z)^{2}N(w)^{2}-N(z)^{2}M(w)^{2},}$

${\displaystyle N(z+w)N(z-w)=N(z)^{2}N(w)^{2}+M(z)^{2}M(w)^{2}}$

(donde ) implica más fórmulas de multiplicación para y por recursión. ^[65] ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Gauss y satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle M(z)M''(z)=M'(z)^{2}-N(z)^{2},}$

${\displaystyle N(z)N''(z)=N'(z)^{2}+M(z)^{2}}$

donde . Tanto y satisfacen la ecuación diferencial ^[66] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle X(z)X''''(z)=4X'(z)X'''(z)-3X''(z)^{2}+2X(z)^{2},\quad z\in \mathbb {C} .}$

Las funciones también pueden expresarse mediante integrales que involucran funciones elípticas:

${\displaystyle M(z)=z\exp \left(-\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\left({\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}v}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right),}$

${\displaystyle N(z)=\exp \left(\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\operatorname {sl} ^{2}v\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right)}$

donde los contornos no cruzan los polos; mientras que las integrales más internas son independientes de la trayectoria, las más externas dependen de la trayectoria; sin embargo, la dependencia de la trayectoria se cancela con la no inyectividad de la función exponencial compleja.

Una forma alternativa de expresar las funciones lemniscatas como una relación de funciones enteras involucra las funciones theta (ver Funciones elípticas lemniscatas § Métodos de cálculo); la relación entre y es ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{3}}$

${\displaystyle M(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{1}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right),}$

${\displaystyle N(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{3}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right)}$

dónde . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Relación con otras funciones

Relación con las funciones elípticas de Weierstrass y Jacobi

Las funciones lemniscatas están estrechamente relacionadas con la función elíptica de Weierstrass (el "caso lemniscático"), con invariantes g ₂ = 1 y g ₃ = 0 . Esta red tiene períodos fundamentales y . Las constantes asociadas de la función de Weierstrass son ${\displaystyle \wp (z;1,0)}$ ${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,}$ ${\displaystyle \omega _{2}=i\omega _{1}}$ ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.}$

El caso relacionado de una función elíptica de Weierstrass con g ₂ = a , g ₃ = 0 puede manejarse mediante una transformación de escala. Sin embargo, esto puede involucrar números complejos. Si se desea permanecer dentro de los números reales, hay dos casos a considerar: a > 0 y a < 0 . El paralelogramo de período es un cuadrado o un rombo . La función elíptica de Weierstrass se llama el "caso pseudolemniscático". ^[67] ${\displaystyle \wp (z;-1,0)}$

El cuadrado del seno de la lemniscata se puede representar como

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}}$

donde el segundo y tercer argumento de denotan los invariantes reticulares g ₂ y g ₃ . El seno de la lemniscata es una función racional en la función elíptica de Weierstrass y su derivada: ^[68] ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.}$

Las funciones lemniscatas también pueden escribirse en términos de funciones elípticas de Jacobi . Las funciones elípticas de Jacobi y con módulo elíptico real positivo tienen una red rectangular "vertical" alineada con los ejes real e imaginario. Alternativamente, las funciones y con módulo i (y y con módulo ) tienen una red de período cuadrado rotada 1/8 de vuelta. ^{[69] [70]} ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle \operatorname {sd} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

donde los segundos argumentos denotan el módulo elíptico . ${\displaystyle k}$

Las funciones y también pueden expresarse en términos de funciones elípticas de Jacobi: ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).}$

Relación con la función lambda modular

El seno lemniscata se puede utilizar para el cálculo de valores de la función lambda modular :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}={\tan }{\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}}$

Funciones inversas

La función inversa del seno de la lemniscata es el arcoseno de la lemniscata, definido como ^[71]

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

También se puede representar mediante la función hipergeométrica :

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}{\bigr )}}$

lo cual se puede ver fácilmente utilizando la serie binomial .

La función inversa del coseno de la lemniscata es el arcocoseno de la lemniscata. Esta función se define mediante la siguiente expresión:

${\displaystyle \operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x}$

Para x en el intervalo , y ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x}$

Para reducir a la mitad la longitud del arco de la lemniscata son válidas estas fórmulas: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}}$

Además, existen las llamadas funciones de área lemniscata hiperbólica: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\arctan x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\operatorname {arccot} x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}\right)}$

Expresión que utiliza integrales elípticas

El arcoseno de la lemniscata y el arcocoseno de la lemniscata también se pueden expresar mediante la forma de Legendre:

Estas funciones se pueden mostrar directamente utilizando la integral elíptica incompleta del primer tipo: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)}$

Las longitudes de arco de la lemniscata también se pueden expresar utilizando únicamente las longitudes de arco de las elipses (calculadas mediante integrales elípticas de segundo tipo): ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}}$

El arcocoseno de la lemniscata tiene esta expresión: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

Uso en integración

El arcoseno de la lemniscata se puede utilizar para integrar muchas funciones. A continuación se muestra una lista de integrales importantes (se omiten las constantes de integración):

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x}$

Funciones lemniscatas hiperbólicas

Información fundamental

El seno lemniscata hiperbólico (rojo) y el coseno lemniscata hiperbólico (violeta) aplicados a un argumento real, en comparación con la tangente trigonométrica (rojo discontinuo pálido).

El seno de la lemniscata hiperbólica en el plano complejo. Las áreas oscuras representan ceros y las áreas brillantes representan polos. El argumento complejo se representa mediante un tono variable.

Por conveniencia, sea . el análogo "esquircular" de (ver más abajo). La expansión decimal de (es decir, ^[72] ) aparece en la entrada 34e del capítulo 11 del segundo cuaderno de Ramanujan. ^[73] ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2}}\varpi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 3.7081\ldots }$

El seno ( slh ) y el coseno ( clh ) de la lemniscata hiperbólica se pueden definir como inversas de integrales elípticas de la siguiente manera:

${\displaystyle z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}}$

donde en , está en el cuadrado con vértices . Más allá de ese cuadrado, las funciones pueden continuar analíticamente hasta funciones meromórficas en todo el plano complejo. ${\displaystyle (*)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}}$

La integral completa tiene el valor:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots }$

Por lo tanto, las dos funciones definidas tienen la siguiente relación entre sí:

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}}$

El producto del seno de la lemniscata hiperbólica y el coseno de la lemniscata hiperbólica es igual a uno:

${\displaystyle \operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1}$

Las funciones y tienen una red de períodos cuadrados con períodos fundamentales . ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ ${\displaystyle \operatorname {clh} }$ ${\displaystyle \{\sigma ,\sigma i\}}$

Las funciones lemniscata hiperbólicas se pueden expresar en términos de seno lemniscata y coseno lemniscata:

${\displaystyle \operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}}$

Pero también existe una relación con las funciones elípticas de Jacobi con el módulo elíptico uno por la raíz cuadrada de dos:

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}}$

El seno lemniscata hiperbólico tiene la siguiente relación imaginaria con el seno lemniscata:

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}}$

Esto es análogo a la relación entre el seno hiperbólico y trigonométrico:

${\displaystyle \sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}}$

Relación con la curva de Fermat cuártica

Tangente y cotangente de la lemniscata hiperbólica

Esta imagen muestra la curva superelíptica estandarizada de Fermat de cuarto grado:

Superelipse con la relación ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$

En una curva de Fermat cuártica (a veces llamada curva de ardilla ) el seno y el coseno de la lemniscata hiperbólica son análogos a las funciones tangente y cotangente en un círculo unitario (la curva de Fermat cuadrática). Si el origen y un punto de la curva están conectados entre sí por una línea L , el seno de la lemniscata hiperbólica del doble del área encerrada entre esta línea y el eje x es la coordenada y de la intersección de L con la línea . ^[74] Así como es el área encerrada por el círculo , el área encerrada por la curva de ardilla es . Además, ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}}$

donde es la media aritmético-geométrica . ${\displaystyle M}$

El seno de la lemniscata hiperbólica satisface la identidad de adición de argumentos:

${\displaystyle \operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}}$

Cuando es real, la derivada y la antiderivada original de y se pueden expresar de esta manera: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ ${\displaystyle \operatorname {clh} }$

También existen la tangente lemniscata hiperbólica y la coangente lemniscata hiperbólica como otras funciones:

Las funciones tlh y ctlh cumplen las identidades descritas en la ecuación diferencial mencionada:

${\displaystyle {\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}}$

La designación funcional sl representa el seno lemniscático y la designación cl representa el coseno lemniscático. Además, son válidas las relaciones con las funciones elípticas de Jacobi :

${\displaystyle {\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

Cuando es real, la derivada y la integral del cuarto de período de y se pueden expresar de esta manera: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {tlh} }$ ${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

Derivación de las funciones lemniscatas hiperbólicas

Con respecto a la curva de Fermat cuártica , el seno lemniscata hiperbólico es análogo a la función tangente trigonométrica. A diferencia de y , las funciones y no pueden extenderse analíticamente a funciones meromórficas en todo el plano complejo. ^[75] ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ ${\displaystyle \operatorname {clh} }$ ${\displaystyle \sin _{4}}$ ${\displaystyle \cos _{4}}$

Las coordenadas horizontales y verticales de esta superelipse dependen del doble del área encerrada w = 2A, por lo que se deben cumplir las siguientes condiciones:

${\displaystyle x(w)^{4}+y(w)^{4}=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}}$

${\displaystyle x(w=0)=1}$

${\displaystyle y(w=0)=0}$

Las soluciones de este sistema de ecuaciones son las siguientes:

${\displaystyle x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

${\displaystyle y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

Por lo tanto, para el cociente se aplica lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)}$

Las funciones x(w) e y(w) se denominan lemniscatus hiperbólico cotangente y tangente hiperbólica .

${\displaystyle x(w)={\text{ctlh}}(w)}$

${\displaystyle y(w)={\text{tlh}}(w)}$

El esquema también muestra el hecho de que la derivación de la función lemniscatus hiperbólica de Areasinus es igual al recíproco de la raíz cuadrada del sucesor de la cuarta función potencia.

Primera demostración: comparación con la derivada de la arcotangente

En el dibujo que se muestra a la derecha hay una diagonal negra. La longitud del segmento que corre perpendicularmente desde la intersección de esta diagonal negra con el eje vertical rojo hasta el punto (1|0) debe llamarse s. Y la longitud de la sección de la diagonal negra desde el punto de origen de coordenadas hasta el punto de intersección de esta diagonal con la línea curva cian de la superelipse tiene el siguiente valor en función del valor slh:

${\displaystyle D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}}$

Esta conexión está descrita por el teorema de Pitágoras .

Un círculo unitario análogo da como resultado el arcotangente del círculo trigonométrico con la asignación de área descrita.

A esto se aplica la siguiente derivación:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}}$

Para determinar la derivación del área del seno hiperbólico del lemniscato, se plantea a continuación la comparación de las áreas triangulares infinitesimalmente pequeñas para la misma diagonal en la superelipse y el círculo unitario. Porque la suma de las áreas triangulares infinitesimalmente pequeñas describe las dimensiones del área. En el caso de la superelipse de la imagen, la mitad del área en cuestión se muestra en verde. Debido a la relación cuadrática de las áreas con las longitudes de los triángulos con el mismo ángulo infinitesimalmente pequeño en el origen de las coordenadas, se aplica la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}}$

Segunda demostración: formación de integrales y resta de áreas

En la figura mostrada, el área tangente del lemniscatus hyperbolicus asigna la altura de la intersección de la diagonal y la línea curva al doble del área verde. El área verde en sí se crea como la integral de diferencia de la función superelipse desde cero hasta el valor de altura correspondiente menos el área del triángulo adyacente:

${\displaystyle {\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}}$

Se aplica la siguiente transformación:

${\displaystyle {\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}}$

Y así, según la regla de la cadena , esta derivación se cumple:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}}$

Valores específicos

Esta lista muestra con precisión los valores del seno de la lemniscata hiperbólica . Recuerde que,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\ldots }$

mientras que los valores a continuación son análogos a los trigonométricos . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle {\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\sigma }{4}}{\bigr )}=1}$ ${\displaystyle {\sin }{\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}=1}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})}$

En esta tabla se muestran los valores más importantes de las funciones Tangente y Cotangente de la Lemniscata Hiperbólica :

Teoremas de combinación y de reducción a la mitad

En combinación con la Areasina Lemniscata Hiperbólica , se pueden establecer las siguientes identidades:

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

El cuadrado de la tangente de la lemniscata hiperbólica es la contraparte pitagórica del cuadrado de la cotangente de la lemniscata hiperbólica porque la suma de las cuartas potencias de y siempre es igual al valor uno. ${\displaystyle \operatorname {tlh} }$ ${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

El teorema de bisección del seno lemniscato hiperbólico se lee de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}}$

Esta fórmula se puede revelar como una combinación de las dos fórmulas siguientes:

${\displaystyle \mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}}$

Además, las siguientes fórmulas son válidas para todos los valores reales : ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

Estas identidades se desprenden de la última fórmula mencionada:

${\displaystyle {\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

Las siguientes fórmulas para el seno lemniscático y el coseno lemniscático están estrechamente relacionadas:

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}}$

Transformaciones de coordenadas

De manera análoga a la determinación de la integral impropia en la función campana de Gauss , la transformación de coordenadas de un cilindro general se puede utilizar para calcular la integral desde 0 hasta el infinito positivo en la función integrada en relación con x. A continuación, se presentan las demostraciones de ambas integrales de forma paralela. ${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{4})}$

Esta es la transformación de coordenadas cilíndricas en la función de curva de campana de Gauss:

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}}$

Y esta es la transformación de coordenadas análoga para el caso lemniscatorio:

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{4}-z^{4})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}}$

En la última línea de esta cadena de ecuaciones elípticamente análogas se encuentra nuevamente la curva de campana de Gauss original integrada con la función al cuadrado como sustitución interna según la regla de la cadena de la analítica infinitesimal (análisis).

En ambos casos, el determinante de la matriz de Jacobi se multiplica por la función original en el dominio de integración.

Las nuevas funciones resultantes en el área de integración se integran luego de acuerdo con los nuevos parámetros.

Teoría de números

En la teoría de números algebraicos , cada extensión abeliana finita de los racionales gaussianos es un subcuerpo de para algún entero positivo . ^{[23] [76]} Esto es análogo al teorema de Kronecker-Weber para los números racionales que se basa en la división del círculo; en particular, cada extensión abeliana finita de es un subcuerpo de para algún entero positivo . Ambos son casos especiales del Jugendtraum de Kronecker, que se convirtió en el duodécimo problema de Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\omega _{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle n}$

El campo (para impares positivos ) es la extensión de generada por las coordenadas - y - de los puntos de torsión en la curva elíptica . ^[76] ${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (1+i)n}$ ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+x}$

Números de Hurwitz

Los números de Bernoulli se pueden definir por ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}}$

${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0}$

y aparecer en

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1}$

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? ${\displaystyle \zeta }$

Los números de Hurwitz, que reciben su nombre de Adolf Hurwitz , son los "análogos lemniscata" de los números de Bernoulli. Se pueden definir por ^{[77] [78]} ${\displaystyle \mathrm {H} _{n},}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0}$

donde es la función zeta de Weierstrass con invariantes reticulares y . Aparecen en ${\displaystyle \zeta (\cdot ;1/4,0)}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1}$

¿Dónde están los números enteros gaussianos y son las series de Eisenstein de peso , y en ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle G_{4n}}$ ${\displaystyle 4n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}}$

Los números de Hurwitz también se pueden determinar de la siguiente manera : ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}=1/10}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2}$

y si no es múltiplo de . ^[79] Esto da como resultado ^[77] ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots }$

También ^[80]

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=\prod _{(p-1)|4n}p}$

donde tal que tal como ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p\not \equiv 3\,({\text{mod}}\,4),}$

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p}$

donde (según el teorema de von Staudt-Clausen ). ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$

De hecho, el teorema de von Staudt-Clausen determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli:

${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1}$

(secuencia A000146 en la OEIS ) donde es cualquier primo, y un teorema análogo se cumple para los números de Hurwitz: supongamos que es impar, es par, es un primo tal que , (véase el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados ) y . Entonces, para cualquier , se determina de forma única; equivalentemente, donde es el número de soluciones de la congruencia en variables que son números enteros no negativos. ^[81] El teorema de Hurwitz determina entonces la parte fraccionaria de los números de Hurwitz: ^[77] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2a=\nu (p)}$ ${\displaystyle \nu (p)=p-{\mathcal {N}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}}$ ${\displaystyle X^{3}-X\equiv Y^{2}\,(\operatorname {mod} p)}$ ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {\nu (p)^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1.}$

La secuencia de los números enteros comienza con ^[77] ${\displaystyle \mathrm {G} _{n}}$ ${\displaystyle 0,-1,5,253,\ldots .}$

Sea . Si es primo, entonces . Si no es primo, entonces . ^[82] ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle 4n+1}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle 4n+1}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$

Algunos autores, en cambio, definen los números de Hurwitz como . ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}}$

Apariciones en la serie Laurent

Los números de Hurwitz aparecen en varias expansiones de la serie de Laurent relacionadas con las funciones lemniscata: ^[83]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}}$

De manera análoga, en términos de los números de Bernoulli:

${\displaystyle {\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .}$

Un análogo cuártico del símbolo de Legendre

Sea un primo tal que . Un residuo cuártico (mod ) es cualquier número congruente con la cuarta potencia de un entero. Defínalo como si es un residuo cuártico (mod ) y defínalo como si no es un residuo cuártico (mod ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$

Si y son coprimos, entonces existen números (ver ^[84] para estos números) tales que ^[85] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'\in \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.}$

Este teorema es análogo a

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}}$

¿Dónde está el símbolo de Legendre ? ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

Proyecciones de mapas del mundo

"El mundo en proyección quincuncial", de Peirce (1879).

La proyección quincuncial de Peirce , diseñada por Charles Sanders Peirce del US Coast Survey en la década de 1870, es una proyección de mapa mundial basada en el seno lemniscata inverso de puntos proyectados estereográficamente (tratados como números complejos). ^[86]

Cuando se proyectan líneas de parte real o imaginaria constante sobre el plano complejo a través del seno lemniscata hiperbólico, y desde allí se proyectan estereográficamente sobre la esfera (véase esfera de Riemann ), las curvas resultantes son cónicas esféricas , el análogo esférico de las elipses e hipérbolas planas . ^[87] Por lo tanto, las funciones lemniscatas (y más generalmente, las funciones elípticas de Jacobi ) proporcionan una parametrización para las cónicas esféricas.

También se puede definir una proyección de mapa conforme desde el globo sobre las 6 caras cuadradas de un cubo usando las funciones lemniscata. ^[88] Debido a que muchas ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver de manera efectiva mediante el mapeo conforme, este mapa de esfera a cubo es conveniente para el modelado atmosférico . ^[89]

Véase también

• Función elíptica
  • Funciones elípticas de Abel
  • Funciones elípticas de Dixon
  • Funciones elípticas de Jacobi
  • Función elíptica de Weierstrass
• Suma de Gauss elíptica
• Constante lemniscata
• Proyección quincuncial de Peirce
• Mapeo de Schwarz-Christoffel

Notas

1. Fagnano (1718-1723); Euler (1761); Gauss (1917)
2. Gauss (1917) p. 199 utilizó los símbolos sl y cl para el seno y el coseno de la lemniscata, respectivamente, y esta notación es la más común hoy en día: véase, por ejemplo, Cox (1984) p. 316, Eymard y Lafon (2004) p. 204 y Lemmermeyer (2000) p. 240. Ayoub (1984) utiliza sinlem y coslem . Whittaker y Watson (1920) utilizan los símbolos sin lemn y cos lemn . Algunas fuentes utilizan las letras genéricas s y c . Prasolov y Solovyev (1997) utilizan la letra φ para el seno de la lemniscata y φ′ para su derivada.
3. El círculo es el círculo de diámetro unitario centrado en el trébol de grado 2 según la definición de Cox y Shurman (2005). Este no es el círculo de radio unitario centrado en el origen. Nótese que la lemniscata es el trébol de grado 4. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}$ ${\textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}}$ ${\displaystyle r=\cos \theta ,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}}$
4. Los períodos fundamentales y son "mínimos" en el sentido de que tienen el valor absoluto más pequeño de todos los períodos cuya parte real no es negativa. ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$
5. Robinson (2019a) parte de esta definición y de ahí deriva otras propiedades de las funciones lemniscata.
6. Este mapa fue la primera imagen de un mapeo de Schwarz-Christoffel, en Schwarz (1869) p. 113.
7. Schappacher (1997). La secuencia OEIS A062539 enumera los dígitos decimales de la constante lemniscata.
8. Levin (2006)
9. Todd (1975)
10. Cox (1984)
11. Las áreas oscuras representan ceros y las áreas brillantes representan polos. A medida que el argumento de cambia de (excluyendo ) a , los colores pasan por cian, azul , magneta, rojo , naranja, amarillo , verde y vuelven a cian . ${\displaystyle \operatorname {sl} z}$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx -\pi /2)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx 0)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx \pi /2)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx \pi )}$
12. Combinando la primera y la cuarta identidad obtenemos . Esta identidad se da (incorrectamente) en Eymard & Lafon (2004) p. 226, sin el signo menos al principio del lado derecho. ${\displaystyle \operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl} (z-(1+i)\varpi /2)}$
13. Los números enteros gaussianos pares son la clase de residuo de 0, módulo 1 + i , los cuadrados negros en un tablero de ajedrez .
14. Prasolov y Soloviev (1997); Robinson (2019a)
15. Cox (2012)
16. Reinhardt y Walker (2010a) §22.12.6, §22.12.12
17. De manera análoga, ${\displaystyle {\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi }}.}$
18. Lindqvist y Peetre (2001) generalizan la primera de estas formas.
19. Ayoub (1984); Prasolov y Soloviev (1997)
20. Euler (1761) §44 pág. 79, §47 págs. 80–81
21. Euler (1761) §46 pág. 80
22. De hecho, . ${\displaystyle i^{\varepsilon }=\operatorname {sl} {\tfrac {\beta \varpi }{2}}}$
23. Cox y Hyde (2014)
24. Gómez-Molleda & Lario (2019)
25. Se elige la cuarta raíz con el argumento principal menos positivo.
26. La restricción a positivos e impares se puede eliminar en . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|}$
27. Cox (2013) pág. 142, Ejemplo 7.29(c)
28. Rosen (1981)
29. Eymard y Lafon (2004) pág. 200
30. Y el área encerrada por es , lo que contrasta marcadamente con el círculo unitario ( cuya área encerrada es un número no construible ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 1}$
31. Euler (1761); Siegel (1969). Prasolov y Solovyev (1997) utilizan la representación de coordenadas polares de la lemniscata para derivar la longitud de arco diferencial, pero el resultado es el mismo.
32. Reinhardt y Walker (2010a) §22.18.E6
33. Siegel (1969); Schappacher (1997)
34. Dichos números son la secuencia OEIS A003401.
35. Abel (1827-1828); Rosen (1981); Prasolov y Soloviev (1997)
36. Euler (1786); Sridharan (2004); Levin (2008)
37. "A104203". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros .
38. Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. pp. 12, 44. ISBN 1-58488-210-7.
39. "A193543 - Oís".
40. Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.pág. 79, ec. 5.36
41. Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.pág. 79, ecu. 5. 36 y pág. 78, ecu. 5.33
42. "A289695 - Oeis".
43. Wall, HS (1948). Teoría analítica de fracciones continuas . Chelsea Publishing Company. págs. 374–375.
44. Reinhardt y Walker (2010a) §22.20(ii)
45. Carlson (2010) §19.8
46. Reinhardt y Walker (2010a) §22.12.12
47. En general, y no son equivalentes, pero la suma infinita resultante es la misma. ${\displaystyle \sinh(x-n\pi )}$ ${\displaystyle \sin(x-n\pi i)=-i\sinh(ix+n\pi )}$
48. Reinhardt y Walker (2010a) §22.11
49. Reinhardt y Walker (2010a) §22.2.E7
50. Berndt (1994) págs. 247, 248, 253
51. Reinhardt y Walker (2010a) §22.11.E1
52. Whittaker y Watson (1927)
53. Borwein y Borwein (1987)
54. Eymard y Lafon (2004) p. 227.
55. Cartan, H. (1961). Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (en francés). Hermann. págs. 160-164.
56. Más precisamente, supongamos que es una secuencia de funciones complejas acotadas en un conjunto , tal que converge uniformemente en . Si es cualquier permutación de , entonces para todo . El teorema en cuestión se sigue entonces del hecho de que existe una biyección entre los números naturales y ' s (resp. 's). ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \sum \left|a_{n}(z)\right|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))=\prod _{k=1}^{\infty }(1+a_{n_{k}}(z))}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
57. Bottazzini y Gray (2013) pág. 58
58. Más precisamente, si para cada , existe y hay una serie convergente de números reales no negativos tales que para todos y , entonces ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}}$ ${\displaystyle \left|a_{k}(n)\right|\leq M_{k}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

    ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\lim _{n\to \infty }a_{k}(n).}$

59. Alternativamente, se puede inferir que estas expansiones existen simplemente a partir de la analiticidad de y . Sin embargo, establecer la conexión con "multiplicar y agrupar potencias iguales" revela identidades entre las sumas de los recíprocos y los coeficientes de la serie de potencias, como en la serie, y una infinidad de otras. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha ^{4}}}=-\,{\text{the coefficient of}}\,z^{5}}$ ${\displaystyle M}$
60. Gauss, CF (1866). Werke (Banda III) (en latín y alemán). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.p. 405; hay un error en la página: el coeficiente de debería ser , no . ${\displaystyle \varphi ^{17}}$ ${\displaystyle {\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {107}{207\,484\,333\,056\,000}}}$
61. Si , entonces los coeficientes están dados por la recurrencia con donde están los números de Hurwitz definidos en Funciones elípticas lemniscatas § Números de Hurwitz. ${\textstyle M(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle a_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2^{n-k+1}a_{k}{\frac {\mathrm {H} _{n-k+1}}{(n-k+1)!}}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}}$
62. Las expansiones en serie de potencias de y son útiles para encontrar un polinomio de división para la división de la lemniscata (donde donde tal que es impar). Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar un polinomio de división. Dado que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \beta =m+ni}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle 3}$

    ${\displaystyle M(3z)=d_{9}M(z)^{9}+d_{5}M(z)^{5}N(z)^{4}+d_{1}M(z)N(z)^{8}}$

    para algunas constantes , desde ${\displaystyle d_{1},d_{5},d_{9}}$

    ${\displaystyle 3z-2{\frac {(3z)^{5}}{5!}}-36{\frac {(3z)^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13})=d_{9}x^{9}+d_{5}x^{5}y^{4}+d_{1}xy^{8},}$

    dónde

    ${\displaystyle x=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13}),\quad y=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+\operatorname {O} (z^{12}),}$

    tenemos

    ${\displaystyle \{d_{1},d_{5},d_{9}\}=\{3,-6,-1\}.}$

    Por lo tanto, un polinomio de división es ${\displaystyle 3}$

    ${\displaystyle -X^{9}-6X^{5}+3X}$

    (lo que significa que una de sus raíces es ). Las ecuaciones a las que se llega mediante este proceso son los análogos lemniscata de ${\displaystyle \operatorname {sl} (2\varpi /3)}$

    ${\displaystyle X^{n}=1}$

    (de modo que esa es una de las soluciones) que surge al dividir el círculo unitario en arcos de igual longitud. En la siguiente nota, los primeros coeficientes de la normalización mónica de tales polinomios de división se describen simbólicamente en términos de . ${\displaystyle e^{2\pi i/n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$
63. Utilizando la expansión en serie de potencias de la función, se puede demostrar que un polinomio que tiene como una de sus raíces (con de la nota anterior) es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2\varpi /\beta )}$ ${\displaystyle \beta }$

    ${\displaystyle \sum _{n=0}^{(\beta {\overline {\beta }}-1)/4}a_{4n+1}(\beta )X^{\beta {\overline {\beta }}-4n}}$

    dónde

    ${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(\beta )&=1,\\a_{5}(\beta )&={\frac {\beta ^{4}-\beta {\overline {\beta }}}{12}},\\a_{9}(\beta )&={\frac {-\beta ^{8}-70\beta ^{5}{\overline {\beta }}+336\beta ^{4}+35\beta ^{2}{\overline {\beta }}^{2}-300\beta {\overline {\beta }}}{10080}}\end{aligned}}}$

    etcétera.
64. Zhuravskiy, AM (1941). Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam (en ruso). Izd. Akád. Nauk. URSS
65. Por ejemplo, mediante las fórmulas de cuasi-adición, las fórmulas de duplicación y las identidades de tipo pitagórico, tenemos

    ${\displaystyle M(3z)=-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8},}$

    ${\displaystyle N(3z)=N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z),}$

    entonces

    ${\displaystyle \operatorname {sl} 3z={\frac {-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8}}{N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z)}}.}$

    Al dividir el numerador y el denominador por , obtenemos la fórmula de triplicación para : ${\displaystyle N(z)^{9}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$

    ${\displaystyle \operatorname {sl} 3z={\frac {-\operatorname {sl} ^{9}z-6\operatorname {sl} ^{5}z+3\operatorname {sl} z}{1+6\operatorname {sl} ^{4}z-3\operatorname {sl} ^{8}z}}.}$

66. Gauss (1866), pág. 408
67. Robinson (2019a)
68. Eymard y Lafon (2004) pág. 234
69. Armitage, JV; Eberlein, WF (2006). Funciones elípticas . Cambridge University Press. pág. 49. ISBN 978-0-521-78563-1.
70. La identidad se puede encontrar en Greenhill (1892) p. 33. ${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$
71. Siegel (1969)
72. http://oeis.org/A175576 ^{​​[ URL básica ]}
73. Berndt, Bruce C. (1989). Cuadernos de Ramanujan, parte II . Springer. ISBN 978-1-4612-4530-8.pág. 96
74. Levin (2006); Robinson (2019b)
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78. De manera equivalente, donde y es la función épsilon de Jacobi con módulo . ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2}};i\right)\right)}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot ;i)}$ ${\displaystyle i}$
79. Los números de Bernoulli se pueden determinar mediante una recurrencia análoga: donde y . ${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k}\mathrm {B} _{2(n-k)}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{2}=1/6}$
80. Katz, Nicolás M. (1975). "Las congruencias de Clausen - von Staudt y Kummer para los números de Bernoulli-Hurwitz". Annalen Matemáticas . 216 (1): 1–4.Véase la ecuación (9).
81. Para obtener más información sobre la función, consulte Constante lemniscata . ${\displaystyle \nu }$
82. Hurwitz, Adolf (1963). Mathematische Werke: Banda II (en alemán). Springer Basilea AG.pág. 370
83. Arakawa et al. (2014) definen por la expansión de ${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}}$ ${\displaystyle 1/\operatorname {sl} ^{2}.}$
84. Eisenstein, G. (1846). "Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 30 .Eisenstein utiliza y . ${\displaystyle \varphi =\operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \omega =2\varpi }$
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87. Adams (1925)
88. Adams (1925); Lee (1976).
89. Rančić, sobrecargo y Mesinger (1996); McGregor (2005).

Enlaces externos

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